王莉莉，張建華

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

von Neumann代數(shù)上的Jordan雙導(dǎo)子

王莉莉，張建華＊

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119）

證明了無非零中心理想von Neumann代數(shù)上的Jordan雙導(dǎo)子是內(nèi)雙導(dǎo)子。作為應(yīng)用，給出了無非零中心理想von Neumann代數(shù)中所有自伴算子構(gòu)成的實Jordan代數(shù)上Jordan雙導(dǎo)子的具體結(jié)構(gòu)。

von Neumann代數(shù)；雙導(dǎo)子；Jordan雙導(dǎo)子

設(shè)A是一個代數(shù)，其中心記為Z（A）。如果一個映射f：A→A滿足?x、y∈A有f（x+y）－f（x）－f（y）∈Z（A）成立，則稱f是A上的模中心可加映射。如果一個映射f：A→A滿足對任意的x∈A有［f（x），x］＝0，則稱f為A上的交換映射，其中［x，y］＝xy－yx為x與y的Lie積。設(shè)δ：A→A是一個線性映射。如果?x、y∈A，有δ（xy）＝δ（x）y+ xδ（y），則稱δ是A上的導(dǎo)子；如果存在a∈A使得?x∈A，有δ（x）＝xa－ax，則稱δ是A上的內(nèi)導(dǎo)子。如果?a∈A，有δ（a2）＝δ（a）a+aδ（a），則稱δ是A上的Jordan導(dǎo)子。顯然，導(dǎo)子一定是Jordan導(dǎo)子，反之不成立。

設(shè)φ：A×A→A是一個雙線性映射。如果對每一個y∈A，映射x→φ（x，y）和x→φ（y，x）都是A上的導(dǎo)子，則稱φ是A上的雙導(dǎo)子；如果存在a∈ Z（A）使得?x、y∈A，有φ（x，y）＝a［x，y］，則稱φ是A上的內(nèi)雙導(dǎo)子。如果對每一個y∈A，映射x→φ（x，y）和x→φ（y，x）都是A的Jordan導(dǎo)子，則稱φ是A上的Jordan雙導(dǎo)子。顯然，雙導(dǎo)子一定是Jordan雙導(dǎo)子，反之不成立。

導(dǎo)子、Jordan導(dǎo)子與雙導(dǎo)子是代數(shù)或環(huán)上的重要映射，它們對代數(shù)或環(huán)的結(jié)構(gòu)及相關(guān)問題的研究具有重要的作用。一直以來，關(guān)于代數(shù)或環(huán)上導(dǎo)子、Jordan導(dǎo)子與雙導(dǎo)子的研究備受關(guān)注，并涌現(xiàn)出許多深刻結(jié)論［1－4］。文獻［5］證明了半素環(huán)上的Jordan導(dǎo)子一定是導(dǎo)子。文獻［6］得到了素環(huán)上雙導(dǎo)子的具體結(jié)構(gòu)。文獻［7］給出了套代數(shù)上雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子的充要條件。文獻［8］證明了可交換環(huán)上的上三角矩陣代數(shù)中的雙導(dǎo)子是極值雙導(dǎo)子與內(nèi)雙導(dǎo)子之和。文獻［9］給出了三角代數(shù)上的雙導(dǎo)子是極雙導(dǎo)子與內(nèi)雙導(dǎo)子之和的充分條件。文獻［10］給出了廣義矩陣代數(shù)上的雙導(dǎo)子是極雙導(dǎo)子與內(nèi)雙導(dǎo)子之和的充分條件。von Neumann代數(shù)是一類不滿足文獻［10］中條件的算子代數(shù)，本文將考慮von Neumann代數(shù)上的Jordan雙導(dǎo)子以及von Neumann代數(shù)中自伴算子全體構(gòu)成的實Jordan代數(shù)上的Jordan雙導(dǎo)子。

1 幾個引理

設(shè)R是一個半素環(huán)，Q是R的Martindale商環(huán)，則R可以同構(gòu)嵌入Q，從而可看成Q的一個子環(huán)。記C＝｛q｜q∈Q且對任意的x∈R有qx＝xq｝，并稱其為R的擴展中心。

引理1 設(shè)R是一個半素環(huán)，f：R→R是一個模中心可加交換映射，則存在λ∈C及映射ζ：R→C使得f（x）＝λx+ζ（x）對任意的x∈R成立，其中C是R的擴展中心。

證明 由于f：R→R是一個模中心可加交換映射，在［f（x），x］＝0中用x+y替換x，則對任意x、y∈R，有［x，f（y）］＝［f（x），y］。設(shè)φ（x，y）＝［f（x），y］，則φ：R×R→R是一個可加雙導(dǎo)子。由文獻［11］中定理4.1，從而存在η∈C及冪等元e∈C使得（1－e）R可交換，且對任意的x、y∈R，有eφ（x，y）＝eη［x，y］。由φ的定義，則對任意的x、y∈R，有［ef（x）－eηx，y］＝0，從而對任意的x∈R，有ef（x）－eηx∈C。記λ＝eη，并定義映射ζ：R→C為ζ（x）＝（ef（x）－λx）+（1－e）f（x）。于是，f（x）＝λx+ζ（x）對任意的x∈R成立。證畢。

引理2 設(shè)R是一個含單位元的半素環(huán)，f：R→R是模中心可加映射。如果對任意的x、y∈R，有［x，f（yx）－f（y）x］＝0，則存在a∈R及映射ζ：R→C使得對任意的x∈R，有f（x）＝ax+ζ（x）成立，其中C是R的擴展中心。

證明 在［x，f（yx）－f（y）x］＝0中，取y＝1，則對任意的x∈R，有［x，f（x）－f（1）x］＝0。定義映射g：R→R為g（x）＝f（x）－f（1）x，則g是R上的模中心可加映射，且對任意的x∈R，有［x，g（x）］＝0。由引理1，從而存在λ∈C及映射ζ：R→C使得對任意的x∈R，有g(shù)（x）＝λx+ζ（x）。于是對任意的x∈R，有f（x）＝ax+ζ（x），其中a＝λ+f（1）。證畢。

引理3 設(shè)R是一個半素環(huán)，如果存在a∈R使得任意的x、y∈R，有［x，y］a＝0，則a∈Z（R）。

證明 對任意的x、z∈R，有

由R的半素性，則對任意的z∈R，有［z，a］＝0。從而，a∈Z（R）。證畢。

引理4 設(shè)R是一個無非零中心理想含單位元的半素環(huán)，f、g：R→R是映射，且滿足下列條件之一：

（1）對任意的x、y∈R，有xf（y）+yg（x）＝0；

（2）對任意的x、y∈R，有f（x）y+g（y）x＝0，則對任意的x∈R，有f（x）＝g（x）＝0。

證明 假設(shè)條件（1）成立，在xf（y）+yg（x）＝0中，取x＝1，則對任意的y∈R，有f（y）＝－yg（1）；取y＝1，則對任意的x∈R，有g(shù)（x）＝－xf（1）；取x＝y(tǒng)＝1，則f（1）+g（1）＝0。從而對任意的x、y∈R，有

由引理3，則f（1）∈Z（R）。令I(lǐng)＝｛xf（1）：x∈R｝。顯然，I是R的一個理想。由（1）式，對任意的z∈R，y∈I，有［z，y］＝0，從而I?Z（R）。這說明I是R的一個中心理想。由于R無非零中心理想，則f（1）∈I＝｛0｝。因此，對任意的x∈R，有f（x）＝g（x）＝0。類似可得，在條件（2）下，結(jié)論也成立。證畢。

下面的例子說明引理4中的條件“R無非零中心理想”不可少。

例1 設(shè)R1是一個含單位元的半素環(huán)，R2＝Z為整數(shù)環(huán)，則

R＝R1⊕R2＝｛（x，n）：x∈R1，n∈R2｝。

在運算（x，n）+（y，m）＝（x+y，n+m）和（x，n）（y，m）＝（xy，nm）下是一個含單位元的半素環(huán)，并且M＝｛（0，n）：n∈R2｝是R的一個非零中心理想。定義映射f、g：R→R如下：

f（（x，n））＝（0，n），g（（x，n））＝（0，－n）。則對任意的x＝（u，n）、y＝（v，m）∈R，有xf（y）+ yg（x）＝0。但f、g均為非零映射。

引理5［6］設(shè)R是一個環(huán)，f1、f2、f3、f4：R→R為映射。如果對任意的x、y∈R，有

則對任意的x、y、z∈R，有

引理6 設(shè)R是一個無非零中心理想含單位元的半素環(huán)，f1、f2、f3、f4：R→R是模中心可加映射，且對任意的x、y∈R，有

則存在a、b∈R及映射ζ、ξ：R→C使得

對任意的x∈R成立。

證明 由引理5，則對任意的x、y、z∈R，有

對任一z∈R，定義映射gz、hz：R→R為

由（2）式，則對任意的x、y∈R，有xgz（y）+ yhz（x）＝0。從而由引理4及gz、hz的定義，對任意的x、z∈R，有

由（3）式和引理2，則存在a、b∈R及映射ζ、ξ：R→C使得對任意的x∈R，有

將（4）式代入f1（x）y+xf2（y）+f3（y）x+ yf4（x）＝0并整理得：對任意的x、y∈R，有

再由引理4，則對任意的x∈R，有

證畢。

2 主要定理及應(yīng)用

von Neumann代數(shù)是一類半素的算子代數(shù)，并且其擴展中心與中心相同。本節(jié)將討論von Neumann代數(shù)上的Jordan雙導(dǎo)子，并得到以下主要定理。

定理1 設(shè)A是一個無非零中心理想的von Neumann代數(shù)，φ：A×A→A是Jordan雙導(dǎo)子。則存在a∈Z（A）使得對任意的x、y∈A，有φ（x，y）＝a［x，y］。

證明 由于von Neumann代數(shù)A上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子并且A上的導(dǎo)子是內(nèi)導(dǎo)子［4］，則對任一固定的y∈A，φ：（·，y）是A上的內(nèi)導(dǎo)子，從而存在映射f：A→A使得對任意的x∈A，有

同樣地，對任一固定的x∈A，由于φ（x，·）是A上的內(nèi)導(dǎo)子，則存在映射g：A→A使得對任意的y∈A，有

由（5）式，對任意的y、z∈A，有

另一方面，

于是，f（y+z）－f（y）－f（z）∈Z（A）。即f是A上的模中心可加映射。類似可得g也是A上的模中心可加映射。由（5）式和（6）式知，對任意的x、y∈A，有

由引理6，則存在a、b∈A及映射ζ、ξ：A→Z（A）使得對任意的x∈A，有

這說明對任意的x∈A，有ax＝xb。從而a＝b且a∈Z（A）。因此，由（5）式，對任意的x、y∈A，有

證畢。

設(shè)As表示Von Neumann代數(shù)A中的自伴算子全體，則As在Jordan積x?y＝xy+yx下是一個實Jordan代數(shù)。作為定理1的一個應(yīng)用，可得到實Jordan代數(shù)As上Jordan雙導(dǎo)子的如下結(jié)論：

定理2 設(shè)A是一個無非零中心理想的von Neumann代數(shù)，φ：As×As→As是Jordan雙導(dǎo)子。則存在自伴算子a∈Z（A）使得對任意的x、y∈As，有φ（x，y）＝i a［x，y］。

證明 設(shè)x∈A，以下用xr和xi分別表示x的實部和虛部。即

顯然，xr、xi∈As且x＝xr+i xi。設(shè)φ：As×As→As是一個Jordan雙導(dǎo)子。定義映射：~φ：A×A→A如下：

這說明~φ（·，z）是A上的線性映射。類似可得~φ（z，·）也是A上的線性映射。從而~φ是一個雙線性映射。

由于（x?y）r＝xr?yr－xi?yi且（x?y）i＝xr?yi+xi?yi，則

即（c+c＊）［x，y］＝0對任意的x、y∈As成立。由此，易驗證：對任意的u、v∈A，有

由于A無非零中心理想，從而由（9）式可得c+c＊＝0。令a＝－i c，則a是Z（A）中的自伴算子且對任意的x、y∈As，有φ（x，y）＝i a［x，y］成立。證畢。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

Jordan biderivations on von Neumann algebras

WANG Lili，ZHANG Jianhua＊
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi'an 710119，Shaanxi，China）

It is proved that every Jordan biderivation of any von Neumann algebra without nonzero central ideals is an inner biderivation.As an application，it is obtained that the concrete structure of a Jordan biderivation on the real Jordan algebra of all self－adjoint operators of a von Neumann algebra without nonzero central ideals.

von Neumann algebra；biderivation；Jordan biderivation

47L30

O177.1

：A

1672－4291（2015）06－0017－04

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.06.163

2014－12－09

國家自然科學(xué)基金（11371233，11471199）；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20110202110002）

王莉莉，女，碩士研究生，主要研究方向為算子代數(shù)。E－mail：1214566085＠qq.com

＊通信作者：張建華，男，教授，博士生導(dǎo)師。E－mail：jhzhang＠snnu.edu.cn