田為剛，王銀河，李玉姣

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

一類非線性不確定系統(tǒng)的輸出跟蹤控制

田為剛，王銀河，李玉姣

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

設(shè)計了一類不確定非線性系統(tǒng)模糊自適應(yīng)輸出跟蹤控制器. 首先將一個時變參數(shù)引入到規(guī)則前件的高斯型隸屬度函數(shù)中, 形成一組帶有時變參數(shù)的模糊規(guī)則, 通過時變參數(shù)的變化改變高斯型隸屬度函數(shù)的中心和寬度，進而改變原Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，形成新的帶有時變參數(shù)的模糊邏輯系統(tǒng). 然后以這種改造后的模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)的未知非線性項，構(gòu)造時變參數(shù)和逼近精度的自適應(yīng)律，設(shè)計相應(yīng)的自適應(yīng)輸出跟蹤控制器. 這種方法的優(yōu)越性在于充分利用原有的有限數(shù)目的模糊規(guī)則，合成具有較少自適應(yīng)律的模糊自適應(yīng)輸出跟蹤控制器. 最后，通過Duffing的仿真算例驗證了本文提出方法的可行性和有效性.

模糊邏輯系統(tǒng)； 時變參數(shù)； 輸出跟蹤； 自適應(yīng)控制

在工程實踐中，針對具有不確定的動態(tài)控制系統(tǒng)，模糊If-then規(guī)則后件為模糊集的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)是一種常見的逼近工具，并且逼近精度與模糊規(guī)則質(zhì)量和數(shù)目緊密相關(guān)[1]，由于Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出可以寫成一些模糊基函數(shù)的線性組合形式，因此產(chǎn)生了基于這些組合系數(shù)的模糊自適應(yīng)控制方法[2-5]，在這種模糊自適應(yīng)控制方法中，自適應(yīng)律的數(shù)目取決于模糊規(guī)則數(shù)目，這就造成了一種矛盾：一方面為了提高逼近精度和控制效果需要選用大量的模糊規(guī)則; 另一方面過多的自適應(yīng)律往往會增大運算量和在線調(diào)節(jié)時間, 以至于導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.

為了減少自適應(yīng)律和在線運算量，文獻[6]采用未知參數(shù)向量范數(shù)平方的Backstepping方法來降低自適應(yīng)參數(shù)的數(shù)目; 文獻[7]利用加裝在模糊邏輯系統(tǒng)輸入和輸出端的伸縮器和飽和器, 通過調(diào)節(jié)伸縮器和飽和器的參數(shù)達到減少自適應(yīng)律的目的.值得注意的是，這些研究方法中，規(guī)則前件中的隸屬度函數(shù)在整個控制過程中是固定不變的，一般認為,模糊隸屬函數(shù)能夠定量反映語言值的含義，隸屬函數(shù)的確切定量描述有助于提高模糊邏輯系統(tǒng)的逼近精度[8].由于高斯型隸屬度函數(shù)有最佳的逼近性能，當高斯型的隸屬度函數(shù)的中心和寬度都固定時，上述模糊自適應(yīng)方法意味著控制過程中即使系統(tǒng)的不確定性發(fā)生改變，相應(yīng)的模糊隸屬度函數(shù)也并不為之改變，這可能導(dǎo)致較大的逼近誤差，降低控制性能，甚至造成控制失效. 由此可見，如何依據(jù)有限條模糊If-then規(guī)則，改變以往根據(jù)逼近對象的采樣或歷史數(shù)據(jù)而構(gòu)成的自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)[9],以控制目標為準則，著眼于規(guī)則前件的隸屬函數(shù)，在線動態(tài)地調(diào)整高斯型隸屬度函數(shù)的中心和寬度而構(gòu)造相應(yīng)的自適應(yīng)律，從而改善被控系統(tǒng)的控制效果是一個值得研究的問題.

鑒于以上問題，針對一類非線性不確定系統(tǒng)，本文著眼于帶有高斯型隸屬度函數(shù)的有限多個模糊規(guī)則，首先將一個時變參數(shù)引入到規(guī)則前件中的高斯型隸屬度函數(shù)之中, 形成一種帶有可調(diào)參數(shù)的模糊邏輯系統(tǒng),然后依據(jù)控制目標, 利用這種帶有可調(diào)參數(shù)的模糊邏輯系統(tǒng)逼近非線性系統(tǒng)中未知非線性函數(shù)，同時構(gòu)造這個時變參數(shù)的更新律和原模糊邏輯系統(tǒng)逼近精度的自適應(yīng)律，進而設(shè)計相應(yīng)的自適應(yīng)跟蹤控制器. 相比已有的一些模糊自適應(yīng)控制方法[3-4,10-11]，本文提出的方法不僅減少了自適應(yīng)參數(shù)的數(shù)目，而且簡化控制器的設(shè)計步驟. 最后，通過Duffing系統(tǒng)的仿真實例證明了本文方法的可行性和有效性.

1 系統(tǒng)描述

1.1 模糊系統(tǒng)描述

由模糊產(chǎn)生器、模糊規(guī)則庫、模糊推理機、解模糊器構(gòu)成的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)F，模糊規(guī)則庫由以下N條模糊If-then規(guī)則構(gòu)成：

(1)

根據(jù)文獻[12], 采用單點模糊化、乘積推理和中心平均解模糊，模糊邏輯系統(tǒng)F的輸出可以表示為

(2)

從而形成N條帶有參數(shù)的新規(guī)則：

(3)

(4)

注1 (1) 從論域覆蓋的角度看, 一組模糊規(guī)則的前件語言變量取值范圍形成了對其輸入論域的一組(完全或不完全)覆蓋, 其中每一條規(guī)則對應(yīng)于覆蓋中的一個“補丁”[14]. 模糊規(guī)則(3)可以看作是模糊規(guī)則(1)的一種參數(shù)化形式, 由于參數(shù)θ=θ(t)的時變性，因此與規(guī)則(1)相比較，規(guī)則(3)中的“補丁”具有動態(tài)性, 因而規(guī)則(3)具有動態(tài)的語言可解釋性. (2) 本文將根據(jù)控制目標設(shè)計時變參數(shù)θ=θ(t)的更新律，這意味著模糊規(guī)則(3)能夠依據(jù)控制目標在線變化，而高斯型隸屬度函數(shù)有全局支撐的性質(zhì)(即隸屬度函數(shù)值處處不為0)，這也意味著當專家給出有限的語言信息(模糊If-then規(guī)則(1))時，通過時變參數(shù)θ的引入, 規(guī)則前件中的隸屬函數(shù)的中心值和寬度實時地變化，派生出新的動態(tài)變化的模糊If-then規(guī)則，這不僅將原有規(guī)則(1)中的語言信息細化了，而且極大地豐富了原有的專家經(jīng)驗.

1.2 被控對象描述

考慮一類非線性系統(tǒng)[1,5]

(5)

(6)

(7)

顯然矩陣對(A,B)是完全可控的，即存在一個1×n階矩陣K使得對于任意給定的正定矩陣Q,下列Lyapunov方程有唯一正定矩陣解P:

(A+BK)TP+P(A+BK)=-Q.

(8)

2 輸出跟蹤控制器設(shè)計

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

u=u(x,e,θ),

(9e)

式(9a～9e)表示的擴展閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為Ζ=[eT,θ,,]T,x(*)表示時變參數(shù)θ的更新律，?(*)和ζ(*)分別表示參數(shù)L和E估計值的自適應(yīng)律，控制器(9e)是依據(jù)以下控制目標而設(shè)計的自適應(yīng)控制器.

控制目標：設(shè)計形如式(9e)的控制器u和參數(shù)自適應(yīng)律(9b～9d)使得擴展系統(tǒng)的狀態(tài)變量Ζ=[eT,θ,,]T有界，同時使系統(tǒng)(5)的輸出跟蹤誤差

為了達到以上控制目標，本文提出如下控制方案：

(10a)

(11)

(12)

(13)

其中參數(shù)υ，β，γ1，γ2，γ3是可調(diào)正常數(shù).

定理1 針對系統(tǒng)(7)，在假設(shè)1～假設(shè)4成立的條件下，采用控制器(10a)～(10b)和參數(shù)自適應(yīng)律(11)～(13),能夠保證擴展閉環(huán)系統(tǒng)(9a～9e)的狀態(tài)向量Ζ=[eT,θ,,]T有界，同時使系統(tǒng)(7)的狀態(tài)誤差向量

下面分兩種情況證明定理1.

在這種情形下，采用開環(huán)控制，即u=0. 在假設(shè)1和假設(shè)4成立的條件下, 首先可以證明狀態(tài)向量Ζ=[eT,θ,,]T能夠在有限的時間內(nèi)進入集合中.記容易看出當時，s>0. 考慮關(guān)于s的正定函數(shù)V=0.5s2，利用式(10)～(13)，沿著擴展閉環(huán)系統(tǒng)(9a～9e),V關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

s.

(14)

由文獻[15]的結(jié)果可知，不等式(14)意味著，狀態(tài)向量Ζ=[eT,θ,,]T能夠在有限的時間內(nèi)到達滑模面s=0,注意到?情形1得證.

(15)

V(t)沿著擴展閉環(huán)系統(tǒng)(9a～9e)關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(16)

利用式(10b)得

(17)

(18)

所以由(16)～(18)得

).

(19)

利用式(11)～(13)可以得

(20)

不等式(20)表明擴展閉環(huán)控制系統(tǒng)(9a)～(9e)的狀態(tài)向量Ζ=[eT,θ,,]T是有界的，由(9a)、(10a)、(10b)以及假設(shè)1和假設(shè)2可以看出，在第二種情況下同樣是有界的, 因此利用Barbalat引理[15]可得綜合情形1和情形2的證明可知定理1的結(jié)論成立.

注4 (1) 參數(shù)自適應(yīng)律(11)～(13)具有下一特點：參數(shù)自適應(yīng)律(12)和(13)在[0,+∞]上是單調(diào)遞增的，因此初始條件(0)>0和(0)>0可以保證(t)>0和(t)>0, 同時，時變參數(shù)θ2(t)在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，因此時變參數(shù)θ(0)≠0可以保證在內(nèi)θ(t)≠0；(2) 在以上參數(shù)的初始條件下，如果誤差向量e(t)隨著時間增大，由式(11)可以看出增加得更快，從而使得在有限的時間內(nèi)落入從而保證系統(tǒng)的狀態(tài)進入Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)(1)的論域以內(nèi); (3) 如果誤差向量進入以內(nèi)，此時隨著時間單調(diào)遞減，采用帶有時變參數(shù)θ(t)的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)(3)構(gòu)成的控制器(10a)和(10b)以及自適應(yīng)律(11)～(13)，不但可以保證輸出跟蹤誤差趨近于0，而且可以保證跟蹤誤差的1到n階導(dǎo)數(shù)趨近于0;(4) 在實際應(yīng)用中，為了保證(t)和(t)有界，需要選擇較小的可調(diào)參數(shù)β、γ1、γ2、γ3.

3 仿真算例

考慮Duffing受迫振動系統(tǒng)[9-10]

(21)

g=1.當干擾d=0,

系統(tǒng)(21)在未控時狀態(tài)呈現(xiàn)混沌.

選取K=[-1,-2],Q=diag[10,10],初始條件x1(0)=x2(0)=2,θ(0)=1,(0)=0.5,(0)=0.4，其他參數(shù)為:υ=50,α=20,β=0.001,γ1=0.002,γ2=0.002,γ3=0.001,ω(x,t)=12，gmax=gmin=1.取參考信號r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))，干擾為白噪聲時，選取ψ=1，dmax=5.仿真結(jié)果如圖1～圖3.

圖1 參考信號為r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))時的輸出跟蹤軌跡Fig.1 Output tracking trajectories for the reference signal r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))

圖2 參考信號為r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))時狀態(tài)x2(t)的跟蹤軌跡Fig.2 The tracking trajectories of x2(t) for the reference signal r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))

圖3 時變參數(shù)θ以及參數(shù)L和E的估計量的時間響應(yīng)曲線Fig.3 The time response of time-varying parameter θ and the estimated values of L and E

注5 (1) 由圖1～圖3可以看出不但系統(tǒng)的輸出可以漸近地跟蹤輸入信號，而且系統(tǒng)的其他狀態(tài)不但保證了有界同時也實現(xiàn)良好的跟蹤，同時所有自適應(yīng)參數(shù)有界；(2)自適應(yīng)律僅有3個，保證了控制算法運算量小.

圖4 參考信號為r(t)=sin(t)時本文與文獻[9]中系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的時間響應(yīng)曲線Fig.4 The time response of the output tracking errors in this paper and [9] for the reference signal r(t)=sin(t)

圖5 參考信號為r(t)=sin(t)時本文與文獻[9]中系統(tǒng)的狀態(tài)x2的跟蹤誤差的時間響應(yīng)曲線Fig.5 The time response of the tracking errorsx2in this paper and [9] for the reference signal r(t)=sin(t)

注6 (1) 由對比圖4的輸出跟蹤誤差可以發(fā)現(xiàn)，本文提出自適應(yīng)控制方法不僅可以保證輸出跟蹤誤差漸近地趨近于零，而且響應(yīng)的速度要比文獻[9]更快; (2) 由對比圖5可以看出，文獻[9]中系統(tǒng)的狀態(tài)x2的跟蹤誤差在開始階段是震蕩的，因此本文提出的自適應(yīng)控制算法的狀態(tài)跟蹤效果要優(yōu)于文獻[9].

4 結(jié)論

本文主要著眼于當專家給出一組有限數(shù)目的模糊規(guī)則時，首先將一個時變參數(shù)引入到這組模糊規(guī)則前件的高斯隸屬函數(shù)中將原有規(guī)則參數(shù)化. 通過時變參數(shù)的變化，改變了高斯隸屬函數(shù)的中心和寬度，進而改變了原模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，從而得到一種新的帶有時變參數(shù)的Mamdani模糊邏輯系統(tǒng). 如果利用這種新的模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù)，并且以此為基礎(chǔ)構(gòu)造控制器和自適應(yīng)律, 那么所給出的模糊自適應(yīng)控制方法不僅能夠保證被控系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差漸近趨近于零，而且與現(xiàn)有的模糊自適應(yīng)控制方法相比較, 具有較少的自適應(yīng)律和較強的模糊邏輯系統(tǒng)規(guī)則的語言可解釋性.

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Fuzzy Adaptive Output Tracking Control for a Class of Uncertain Nonlinear Systems

Tian Wei-gang, Wang Yin-he, Li Yu-jiao

In this paper, a fuzzy adaptive output tracking controller is designed for a class of uncertain nonlinear systems to track a given sign. First, a time-varying parameter is introduced into the Gaussian membership functions of the rule antecedent, so that a new set of fuzzy rules with a time-varying parameter is given. This implies that the update motion of time-varying parameter changes not only the centers and widths of Gaussian membership functions, but also the output of the previous Mamdani fuzzy logic system, and thus a new fuzzy logic system with a time-varying parameter is synthesized. And then the modified fuzzy logic system can be used to approximate the unknown nonlinear term of the system, and the adaptive laws of time-varying parameter and the estimated values of the fuzzy approximate accuracy can be constructed, accordingly the fuzzy adaptive output tracking controller of the system can be synthesized. The advantage of the proposed method in this paper is that by the full use of existing limited number of fuzzy rules, the fuzzy adaptive output tracking controller can be synthesized with more fewer adaptive laws. Finally, the Duffing system′s simulation example demonstrates that the proposed method in this paper is feasible and effective.

fuzzy logic system; time-varying parameter; output tracking; adaptive control

2013- 09- 30

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273219)；廣東省自然科學(xué)基金資助項目(S2013010015768；2011010005029)

田為剛(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向為非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制.

10.3969/j.issn.1007- 7162.2015.01.019

TP273

A

1007-7162(2015)01- 0091- 07

(School of Automation, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China)