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        一類三階時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性和有界性

        2015-04-17 07:30:18宋常修
        關(guān)鍵詞:零解三階時(shí)滯

        徐 林,宋常修

        (廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東廣州510520)

        1 問題的提出

        時(shí)滯微分方程主要用來描述依賴當(dāng)前和過去歷史狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng),因此它在物理、信息、化學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)以及生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.由于時(shí)滯微分方程在實(shí)際中應(yīng)用如此廣泛,所以對時(shí)滯微分方程的理論研究就顯得十分重要,也是非常有意義的.對時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論的研究的轉(zhuǎn)折點(diǎn)可以追溯到1892年,這一年俄國數(shù)學(xué)家Lyapunov發(fā)表了一篇名為《運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性的一般問題》的論文,該論文給出了研究穩(wěn)定性的一種很有效的方法,稱為Lyapunov第二方法,它至今仍是研究時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性的主要方法,Lyapunov直接法的關(guān)鍵是構(gòu)造Lyapunov泛函.至今已經(jīng)有很多學(xué)者在這方面有很好的研究成果,文獻(xiàn)[1-16]中有很多的介紹.

        特別地,關(guān)于時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性和有界性的研究現(xiàn)狀.

        2003年,Sadek[16]研究了如下三階時(shí)滯微分方程

        得到了當(dāng)p(t)=0時(shí)它的零解漸近穩(wěn)定的充分條件,及p(t)≠0時(shí)它的所有解有界的充分條件.

        2006年,CemilTunc[10]研究了一類三階非線性時(shí)滯微分方程

        的零解穩(wěn)定的充分條件.

        2007年,姚洪興和孟偉業(yè)[4]討論了如下三階雙滯量時(shí)滯微分方程的全局漸近穩(wěn)定性

        給出了其零解全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

        受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),本文研究了一類三階時(shí)滯微分方程解的穩(wěn)定性和有界性,給出了其零解漸近穩(wěn)定和所有解有界的充分性條件.

        本文研究三階時(shí)滯微分方程

        零解的漸近穩(wěn)定性和所有解的有界性.其中,f(0)=h(0)=g(0,0)=φ(0)=0,0≤r(t)≤r,g(x,y),f(x),h(x),φ(x)均為連續(xù)函數(shù).

        系統(tǒng)(1)等價(jià)于系統(tǒng)

        2 漸近穩(wěn)定性

        當(dāng)p(t,x(t),x′(t),x(t-r(t)),x′(t-r(t)),x″(t))=0時(shí),討論式(1)的漸近穩(wěn)定性.

        考慮自治RFDE系統(tǒng):

        其中,f:CH→Rn是連續(xù)泛函,f(0)=0,CH={φ ∈C([-r,0],Rn):φ≤H}且滿足對H1<H,若Φ≤H1,則存在L(H1)>0,使

        引理1[6]令V(Φ):CH→R為滿足局部Lipschitz條件的連續(xù)泛函,V(0)=0且滿足下列條件:

        定理1若存在正整數(shù)a,b,c,d,L,M,B且滿足:

        (1)0<[h(x)φ(x])′<ab-c;

        (3)h(x)φ(x)sgnx>0(x≠0),對任意的x都有

        (4)g′x(x,y)y≤0且g(x,y)≥a+d;

        (5)0≤r(t)≤ σ,r′(t)≤ β,0< β <1,那么當(dāng)

        則系(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.

        證明 先定義一個(gè)Lyapunov泛函V(xt,yt,zt),

        明顯地,V(0,0,0)=0.

        又由定理1條件(3)和(4)知h(x)φ(x)sgnx>0,g(x,y)-a>d.

        顯然,對于以上不等式,存在足夠小的正常數(shù)Di(i=1,2,3),使得

        成立,則V(xt,yt,zt)正定.

        因此,泛函V(xt,yt,zt)滿足引理1的條件(1).

        由定理1所給的條件可得

        同理

        又因?yàn)?/p>

        則由上面不等式得

        若取

        因此,泛函V(xt,yt,zt)滿足引理1的條件(2).

        容易證明Z中最大不變集是Q={0},在這里Z={Φ ∈CH,V′(Φ)=0},根據(jù)

        因此,引理1的所有條件都滿足,所以式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.

        定理得證.

        3 有界性

        引理2[7]Gronwall-Reid-Bellman不等式:若u(t)與α(t)都是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),β(t)≥0在[a,b]上可積且成立

        則必有

        若α(t)非減,則成立

        對于p(t,x(t),x′(t),x(t-r(t)),x′(tr(t)),x″(t))≠0的情況,有下列結(jié)論:

        定理2[9]假設(shè)定理1的條件成立且連續(xù)函數(shù)p滿足下列條件:

        其中q(t)∈L1(0,∞),L1(0,∞)是Lebesgue可積函數(shù)空間.

        當(dāng)

        時(shí),存在一個(gè)有限正常數(shù)M使系統(tǒng)(2)的解x(t)對所有的t≥t0滿足不等式

        注:這里用來證明定理2的Lyapunov函數(shù)V(xt,yt,zt)與定理1相同.

        證明 對于p(t,x(t),x′(t),x(t-r(t)),x′(t-r(t)),x″(t))≠0的情況,有

        其中D7=max{1,a}.

        對式(4)從0到t進(jìn)行積分,并利用假設(shè)q∈L1(0,∞)和Gronwall-Reid-Bellman不等式,可得

        其 中M1是 正 常 數(shù),M1=(V(x0,y0,z0)+所以

        其中M=D-14M1.

        因此,當(dāng)t≥t0時(shí),不等式成立.

        即當(dāng)t≥t0時(shí)成立.

        證畢.

        例題1考慮三階時(shí)滯微分方程

        方程(5)可表示為如下系統(tǒng)

        顯然方程(5)是式(1)的特殊形式,可知

        由于

        其中q∈L1(0,+∞).

        因此定理1和定理2的所有條件都成立,當(dāng)p≡0時(shí)方程(5)的零解漸近穩(wěn)定,當(dāng)p≠0時(shí)方程(5)所有解有界.

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