姚明建

“測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”是普通高校招生全國(guó)考試統(tǒng)一大綱要求大家掌握的實(shí)驗(yàn)之一，這個(gè)實(shí)驗(yàn)從實(shí)驗(yàn)的原理到數(shù)據(jù)采集、處理以及誤差的分析都具有一定的難度，特別是在實(shí)驗(yàn)中，我們應(yīng)該選擇圖1還是圖2所示的電路，安培表到底接在哪，以及相應(yīng)地產(chǎn)生了什么樣的系統(tǒng)誤差，一直是困惑各位同學(xué)的問(wèn)題，下面我們將使用戴維南定理，定量地比較這兩個(gè)測(cè)量電路的優(yōu)缺點(diǎn)。

戴維南定理（又譯為戴維寧定理）又稱等效電壓源定律，是由法國(guó)科學(xué)家戴維南于1883年提出的一個(gè)電學(xué)定理。由于早在1853年，亥姆霍茲也提出過(guò)本定理，所以又稱亥姆霍茲-戴維南定理。它的內(nèi)容是這樣的：對(duì)于含獨(dú)立源、線性電阻和線性受控源的單口網(wǎng)絡(luò)，都可以用一個(gè)電壓源與電阻相串聯(lián)的單口網(wǎng)絡(luò)來(lái)等效，這個(gè)電壓源的電壓，就是此單口網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓，這個(gè)串聯(lián)電阻就是從此單口網(wǎng)絡(luò)兩端看進(jìn)去，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源均置零以后的等效電阻。

在“測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”的實(shí)驗(yàn)中，如果采用如圖1所示的電路，其系統(tǒng)誤差主要來(lái)自于電壓表的分流，導(dǎo)致安培表沒(méi)有準(zhǔn)確地測(cè)量干路的電流。用戴維南定理去處理，相當(dāng)于本電路測(cè)量的是如圖3所示等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。設(shè)電壓表內(nèi)阻為RV，所測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻為r。由戴維南定理，易知所測(cè)的等效電動(dòng)勢(shì)為E'=—E，r'=—，顯然其電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值都比實(shí)際值要小，但是教材上本實(shí)驗(yàn)要求測(cè)量的是干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，而干電池的內(nèi)阻遠(yuǎn)小于電壓表內(nèi)阻，所以兩個(gè)測(cè)量值和實(shí)際值都很接近。

如果選擇圖2電路進(jìn)行測(cè)量，其系統(tǒng)誤差主要是來(lái)自于電流表的分壓，導(dǎo)致電壓表沒(méi)有準(zhǔn)確測(cè)量路端電壓。從等效電路的角度出發(fā)，使用圖2電路進(jìn)行測(cè)量相當(dāng)于測(cè)量的是圖4所示的a、b之間的等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。設(shè)電流表的內(nèi)阻為RA，由戴維南定理可知，所測(cè)的等效電動(dòng)勢(shì)為E'=E，r'=RA+r。由于電流表的內(nèi)阻和干電池的內(nèi)阻接近，所以雖然圖2 電路的電動(dòng)勢(shì)測(cè)量沒(méi)有系統(tǒng)誤差，但是內(nèi)阻的測(cè)量值誤差較大。這就是書(shū)本選用圖1所示電路進(jìn)行測(cè)量的原因。

但是，不是所有的電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量圖1電路都優(yōu)于圖2電路，其電路的選擇要看測(cè)量的是什么樣的電源，如下例所示：

【例題】測(cè)量“水果電池”的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的實(shí)驗(yàn)中，將一銅片和一鋅片分別插入同一只蘋(píng)果內(nèi)，就構(gòu)成了簡(jiǎn)單的“水果電池”，其電動(dòng)勢(shì)約為1.5V，可是這種電池并不能點(diǎn)亮額定電壓為1.5V，額定電流為0.3A的手電筒上的小燈泡。原因是流過(guò)小燈泡的電流太小了，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)定電流約為3mA?，F(xiàn)有下列器材：

待測(cè)“水果電池”

電流表A ：滿偏電流3mA，電阻約10Ω

電壓表V ：量程1.5V，電阻約1000Ω

滑動(dòng)變阻器R1： 30Ω

滑動(dòng)變阻器R2： 30kΩ

開(kāi)關(guān)、導(dǎo)線等實(shí)驗(yàn)器材

（1）本實(shí)驗(yàn)應(yīng)該選用哪種規(guī)格的滑動(dòng)變阻器？

（2）若不計(jì)測(cè)量中的偶然誤差，用這種方法測(cè)量得出的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的值與真實(shí)值相比較，電動(dòng)勢(shì)E （選填“偏大”或“相等”或“偏小”），內(nèi)電阻r （選填“偏大”或“相等”或“偏小”）。

就本題而言，“水果電池”的電動(dòng)勢(shì)約為1.5V，電流約為3mA，估算其內(nèi)阻約為500Ω，為了使電路中電流變化范圍大一些，選用與電源內(nèi)阻接近的滑動(dòng)變阻器，故選用R2。比較電池內(nèi)阻和電流表、電壓表的關(guān)系，可知，其內(nèi)阻與電壓表的內(nèi)阻較為接近，遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻。由前面的敘述可知：應(yīng)該選用如圖2所示電路測(cè)量。此時(shí)，不計(jì)偶然誤差，其電動(dòng)勢(shì)測(cè)量值準(zhǔn)確，內(nèi)阻偏大。由戴維南定理，所測(cè)內(nèi)阻為RA+r約為510Ω，如果選擇圖1所示電路則所測(cè)電阻為—，約為333Ω，顯然圖2電路較圖1電路更為接近實(shí)際值。

綜上所述，在“測(cè)電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量?jī)?nèi)阻較大的電池時(shí)，圖2電路誤差較小；測(cè)量?jī)?nèi)阻較小的電池時(shí)，圖1電路誤差較小。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，戴維南定理非常直觀的定量讓我們看到了不同電路的誤差大小。通過(guò)戴維南的定理的分析，讓學(xué)生的思維和視野得到了開(kāi)闊，也有利于學(xué)生適應(yīng)靈活的創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)題。

（作者單位：安徽省六安市舒城中學(xué)）