葉仁壽

摘 要：創(chuàng)設(shè)問題的探究情景，引領(lǐng)學(xué)生對問題進(jìn)行探究、類比、提出猜想，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、分享交流，學(xué)會(huì)對探究問題進(jìn)行歸納、總結(jié)與拓展，通過對問題的探究基本方法的操作，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)生發(fā)展所需的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：問題；探究；驗(yàn)證；拓展

我國在基礎(chǔ)教育特別是有著高考壓力的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師的課堂教學(xué)更多關(guān)注講授與認(rèn)知量，忽略關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的情感與探究思維的培養(yǎng).教師更多的成了課堂的播放器，學(xué)生成了課堂的錄音機(jī).這種課堂的特點(diǎn)就是容量大，進(jìn)度快，學(xué)生被動(dòng)接受知識，缺少主觀能動(dòng)性，看似完成了教學(xué)目標(biāo)任務(wù)，但在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“四基”與“四能”方面未必有效.什么才是真正有效的數(shù)學(xué)課堂？所謂有效教學(xué)，是指在師生雙方的教學(xué)活動(dòng)中，通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，使學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力、發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力得到很好的發(fā)展.《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）解讀》指出：所謂“有效”，主要是指通過教師在一段時(shí)間的教學(xué)之后，學(xué)生所獲得的具體的進(jìn)步或發(fā)展.也就是說，學(xué)生有無進(jìn)步或發(fā)展是教學(xué)有沒有效益的唯一指標(biāo).有效的數(shù)學(xué)課堂是以關(guān)注能否促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展為主，課堂中學(xué)生積極主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，并在思考的快樂中探究知識、發(fā)展思維.

有效的數(shù)學(xué)探究式教學(xué)案例：“已知函數(shù)在定義域內(nèi)某一個(gè)子區(qū)間的解析式，求它在其他區(qū)間內(nèi)的解析式”這一問題上的一堂教學(xué)公開課.這堂課主要由教師“導(dǎo)演”，學(xué)生“主演”，有歸納，有拓展，有效率，有深度，受到聽課老師的一致肯定.現(xiàn)將課堂實(shí)況部分記錄如下：

1 創(chuàng)設(shè)問題的探究情景

老師：同學(xué)們，在前面學(xué)習(xí)函數(shù)解析式的求法中，主要通過常用的三種方法：換元法、迭代法、解方程組法來解決問題，今天這節(jié)課我們一起探索這樣一類問題：已知函數(shù)在定義域內(nèi)某一個(gè)子區(qū)間的解析式，求其他區(qū)間內(nèi)的解析式.這也是屬于函數(shù)解析式求法的范疇.即把這類問題稱之為：“已知函數(shù)的一部分”求“函數(shù)的另一部分” .

2 引領(lǐng)學(xué)生對問題進(jìn)行探究、類比、提出猜想，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、分享交流

下面請同學(xué)們思考這一具體的問題：已知y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)， f（x）=x2-2x，則在R上f（x）的解析式為（ ）.

A. -x（x-2） B. x（|x|-2） C. |x|（x-2） D. |x|（|x|-2）

在給出題目后，學(xué)生們開始思考，并在草稿紙上演算，幾分鐘后，學(xué)生們有了思考結(jié)果.

教師用手機(jī)把有代表性的幾種做法拍成相片，通過云同步，在多媒體屏幕上出現(xiàn)相應(yīng)的內(nèi)容：

學(xué)生1：x>0則-x<0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故選B.

學(xué)生2：設(shè)x<0則-x>0，所以f（-x）=x2+2x，由f（x）為奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），f（x）=-x2-2x，故選B.

學(xué)生3：f（x）=f（-x）=-f（x）=-x2+2x，故選A.

教師追問：

①以上解法是否正確，為什么？

②你認(rèn)為哪種解法比較好？

③你還能提供其它解法嗎？

學(xué)生們開始思考以上三位同學(xué)的解法，并交流討論判斷出只有學(xué)生2的解法是正確的，但無法給出比較合理的解釋.

學(xué)生4認(rèn)為應(yīng)該這樣分析：設(shè)t<0則-t>0，所以f（-t）=t2+2t，由f（x）為奇函數(shù)，f（t）也是奇函數(shù)，得f（-t）=-f（t），f（t）=-t2-2t，即f（x）=-x2-2x，故選B，

這時(shí)，同學(xué)們的意見不統(tǒng)一，有人說錯(cuò)，有人說對，還有人不理解為什么要引入字母t？

師：你能對這類問題的解法用自己的語言進(jìn)行歸納嗎？

3 學(xué)會(huì)對探究問題進(jìn)行歸納、總結(jié)與拓展

學(xué)生們在教師的幫助引導(dǎo)下，共同整理歸納出解這類問題的基本方法：（1）所求自變量假設(shè)；（2）將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)域范圍內(nèi)；（3）將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知區(qū)域的函數(shù)解析式；（4）通過函數(shù)性質(zhì)化簡求出f（x）.

師：本例的已知條件是“函數(shù)為奇函數(shù)”，你能從函數(shù)的基本性質(zhì)（教師著重強(qiáng)調(diào)了“基本性質(zhì)”四個(gè)字）去考慮，改變它的條件或結(jié)論，對這類問題進(jìn)行比較深入的研究嗎？

4 通過對問題的探究基本方法操作，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

此時(shí)，同學(xué)們積極投入對問題的思考，教師到學(xué)生中收集到學(xué)生的典型之作，并把這些典型之作當(dāng)作例題進(jìn)行分析點(diǎn)評：

學(xué)生作品1：已知y=f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x，求f（x）在R上的解析式.

師：把條件改為偶函數(shù)，換二次函數(shù)為指數(shù)函數(shù).

學(xué)生作品2：已知f（x）定義域?yàn)镽，且f（2+x）=f（x-2），當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=lnx，求x>1時(shí)，f（x）的解析式.

師：介入周期性知識，換二次函數(shù)為對數(shù)函數(shù).

學(xué)生作品3：已知f（x）定義域?yàn)镽，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=sinx，求x>2時(shí)，f（x）的解析式.

師：介入對稱性知識，換二次函數(shù)為三角函數(shù).

學(xué)生作品4：定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x2，求f（x）在[-4，4]上的解析式.

師：這位同學(xué)“更狠”，把奇偶性、對稱性都介入進(jìn)來了，好樣的.

由于時(shí)間關(guān)系，教師安排同學(xué)們先思考四道題的解題思路，然后按組對應(yīng)分別做一道題，速度快的同學(xué)做完本組題后，可以做其他組的題，課堂上無法完成的題，課后再完成.這樣很好地保證課堂效率.

5 培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)生所需的核心素養(yǎng)

訓(xùn)練完這組題型后，教師引導(dǎo)同學(xué)們比較這5個(gè)例題，并發(fā)問： “通過比較，你能發(fā)現(xiàn)剛才歸納出的每一步驟的注意事項(xiàng)嗎？請對它一一細(xì)化.”（結(jié)合例題，師生一起歸納）

（1）假設(shè)（一定要設(shè)x在所求區(qū)間，即要求哪部分的解析式就把變量設(shè)在哪部分，不能對調(diào)）；（2）轉(zhuǎn)化（把x的范圍轉(zhuǎn)化到解析式已知的區(qū)間上，不能隨意轉(zhuǎn)化，而要根據(jù)已知的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則代入后將無法化簡.這是解決問題的關(guān)鍵，常用奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化）；（3）代入（把轉(zhuǎn)化后的變量代入到已知解析式中去）；（4）化簡（由（3）結(jié)合已知函數(shù)的性質(zhì)化簡出f（x）的解析式）.（這些文字也已經(jīng)放在了課件里）.

歸納完了，同學(xué)們露出歡快的表情，甚至有些得意.教師拋出一句：“同學(xué)們，我給你來個(gè)‘更狠的，有信心挑戰(zhàn)嗎？”“有”，同學(xué)們異口同聲.“很好，愛思考也會(huì)思考??！”教師打趣地說道，并順勢給出了課后思考的作業(yè)：

（1）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對任意x∈R，均有f（x）=f（x+2）成立，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，

f（x）=loga（2-x）（a>1）.

①當(dāng)x∈[-1，1]，求f（x）解析式；

②當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，求f（x）的解析式.

（2）（2010年福建省高考理科第15題改編）已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x.給出如下結(jié)論：

①對任意的m∈Z，有f（2m）=0；②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；

④“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”則 “存在k∈Z，使得（a，b）？哿（2k，2k+1）”.

其中所有正確結(jié)論的序號是 .

本節(jié)課堂教學(xué)在學(xué)生的積極思考中快樂地完成了學(xué)習(xí)目標(biāo)任務(wù).

匯集聽課老師的評議是：本節(jié)課，教師在教學(xué)過程中引領(lǐng)學(xué)生明確了對數(shù)學(xué)問題的思考方向，理解并運(yùn)用探究數(shù)學(xué)問題的基本思考方法，引領(lǐng)學(xué)生對問題進(jìn)行類比、拓展、猜想、驗(yàn)證、歸納、總結(jié)，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入的研究，建立出解決數(shù)學(xué)問題探究的基本模型.課堂高效、靈活，氛圍融洽，教學(xué)內(nèi)容中對問題思考有梯度、有深度且能做到深入淺出.這對提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)科素養(yǎng)有重要意義，是一個(gè)很好的問題探究教學(xué)案例.