黃國(guó)福

摘 ? 要：學(xué)習(xí)需要方法.類比法是一種極有價(jià)值的方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，用好此法，不但對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)有益，還能培養(yǎng)人的思維廣闊性和創(chuàng)新性，應(yīng)予以重視.

關(guān)鍵詞：思維方法;類比;創(chuàng)新

引言

素質(zhì)教育的今天，除了要教學(xué)生知識(shí)，我們更應(yīng)該是教給學(xué)生思維方法，變學(xué)會(huì)知識(shí)為會(huì)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的能力，這是我們的重要任務(wù).本文著重談?wù)勅绾螒?yīng)用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

1 ? 類比的概念及方式

類比就是類比推理，它是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象具有某些相同屬性而作出它們的另一些屬性也相同論斷的一種推理.當(dāng)然，類比結(jié)果正確與否，是要證明或論證的.

類比通常有兩種方式.其一是根據(jù)兩種事物的屬性在某些方面相似，推想此二事物的屬性在其它一些方面也相似.比如，由矩形的兩條對(duì)角線相等且互相平分，推想長(zhǎng)方體的對(duì)角線也相等且互相平分;由冪的整數(shù)指數(shù)運(yùn)算法則推想冪的分?jǐn)?shù)指數(shù)運(yùn)算相應(yīng)法則等.用好此法，能起“舉一反三”，“觸類旁通”的作用.

其二是將處理某種富有成效的經(jīng)驗(yàn)或方法借用到處理與其性質(zhì)相似的另一事物上去.比如，用模擬力學(xué)系統(tǒng)平衡來(lái)求數(shù)學(xué)上一些極值問題的解;用數(shù)學(xué)上群論的方法來(lái)確定化學(xué)中物質(zhì)的晶體結(jié)構(gòu)等.此法應(yīng)用得好，能使我們有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造 [1 ].

2 ? 類比的運(yùn)用

2.1 ? 抓住對(duì)象的本質(zhì)屬性進(jìn)行類比

若兩個(gè)對(duì)象間的某些相同屬性是本質(zhì)的，則類比推導(dǎo)的屬性比較可靠，并且相同屬性愈多，則愈可靠.

例如分?jǐn)?shù)和分式，分?jǐn)?shù)是分式的特殊情況，進(jìn)行類比是有意義的.所以，由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算法則，可類比推出分式的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算法則.

再如，平面幾何和立體幾何，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展，它們的很多基本元素是相同的.許多性質(zhì)有本質(zhì)上聯(lián)系，注意進(jìn)行類比可將平幾的一些重要結(jié)論推廣到立幾中去.

例如：

平面 ? ? ? ? ? ? ?類比 ? ? ? ? ? ?空間

平行于同一條直線的 ? ? ? ? ? ? 平行于同一條直線的

兩條直線互相平行 ? ? ? ? ? ? 兩條直線互相平行

平行于同一條直線的 ? ? ? ? ? ?平行于同一個(gè)平面的

兩條直線互相平行 ? ? ? ? ? ?兩個(gè)平面互相平行等等

2.2 ? 利用抽象分析進(jìn)行類比，得出新結(jié)論

數(shù)學(xué)中的類比并不總是淺顯的，經(jīng)常要通過深入分析，才能順利地應(yīng)用從而得出新概念，引出新猜想，得出新方法.例如，將平面幾何的勾股定理用類比推廣到空間必須通過一番分析（如圖1）.

平 ?面 ? ? ? ? ? ? ? ?類比 ? ? ? ? 空間

①三角形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①′四面體

②直角三角形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②′直四面體

③三邊有兩邊互相垂直 ? ? ?③′四個(gè)面（除一面外）

有三個(gè)面兩兩互相垂直

④c2=a2+b2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④′So2=Sa2+Sb2+Sc2 ? ? [2 ]

2.3 ? 對(duì)有些探索性問題，通過觀察、分析、類比，可以構(gòu)造出符合條件的實(shí)例，通過對(duì)具體的實(shí)例進(jìn)行剖析從而能探索出結(jié)論.

例如，已知λ為非零常數(shù)，x∈R且f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x） ].問f（x）是否為周期函數(shù)？若是，試求其周期，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

提示：由于探求的是周期函數(shù)問題，容易聯(lián)想到三角函數(shù)，又f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x）]的結(jié)構(gòu)形式極易與tan（x+π/4）=（1+tanx）/（1-tanx）進(jìn)行類比，故可把tanx看成是f（x）的一個(gè)原型實(shí)例，且題中的λ相當(dāng)于實(shí)例中的л/4，由于周期函數(shù)tanx的周期T=π=4×π/4，故可猜想f（x）也為周期函數(shù)，且周期為4λ，即利用題中已知去證f（x+4λ）= f（x）成立（過程略）.

本例的類比聯(lián)想給探索開拓了思路，并找到了結(jié)論的實(shí)例原型.

3 ? 使用類比的注意點(diǎn)

3.1 ? 利用類比要善于觀察事物的特點(diǎn)，注意從不同事物身上發(fā)現(xiàn)它們的共同或相似之處，并探究造成這種共同或相似的原因，要大膽地放寬眼界，不受自己的研究對(duì)象與學(xué)科的限制

例如，b>a>0，m>0，則a/b<（a+m）/（b+m）此不等式與化學(xué)中溶液濃度求法對(duì)比，在溶質(zhì)為a的b溶液中加入溶質(zhì)為m的溶液，濃度自然提高，所以此不等式不證自明.

再如下圖2所示的某地區(qū)的交通圖.其中小圈代表城鎮(zhèn)，小圈間的連線代表道路，連線旁的ak表示該段道路的公里數(shù).要選擇一條從A到B的最短路線，此圖論中最短路線問題，目前已有多種解法，但計(jì)算量較大，頗費(fèi)腦筋，當(dāng)然現(xiàn)在也可交給計(jì)算機(jī)去做，不過有沒有另外簡(jiǎn)單而有效的辦法呢 [3 ]？

利用蜘蛛沿最短路徑捕捉昆蟲得到啟發(fā).用一種沒彈性脆細(xì)線設(shè)計(jì)一種模仿最短路線的“交通網(wǎng)”，利用拉牽A、B兩端，最易斷的則為最短路徑的簡(jiǎn)單方法（原理、過程略）.

簡(jiǎn)單的東西往往蘊(yùn)含著深刻的道理，不僅僅是蜘蛛網(wǎng)給予我們?nèi)绾吻笞疃搪肪€的啟示，而且還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)及其自然科學(xué)上“模擬”這一重要方法的精神實(shí)質(zhì).

例如在圖3任意銳角ΔABC中求作內(nèi)接ΔA′B′C′，使其周長(zhǎng)A′B′+B′C′+C′A′為最短.此例利用了“光行最速原理”就可方便解決.

再比如，點(diǎn)K是雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)H在點(diǎn)K北偏東30°方向，長(zhǎng)度為2的位置上.經(jīng)測(cè)算，在雙曲線右支上，任何一處到點(diǎn)H的費(fèi)用是到點(diǎn)K費(fèi)用的2倍，問如何在雙曲線右支上選取一個(gè)位置，使它到點(diǎn)H和到點(diǎn)K的總費(fèi)用最低？

這也是一個(gè)可類比利用光線從焦點(diǎn)K發(fā)出，經(jīng)凹鏡反射后可平行反射出去的原理就可較快解決的問題.

3.2 ? 要善于聯(lián)想，從一事物聯(lián)想到與它性質(zhì)相似的其他事物，從一種方式方法聯(lián)想到與其作用相似的其他方式方法，從一個(gè)概念或定理聯(lián)想到與其相關(guān)的一串概念或定理

如①若arctanX+arctanY+arctanZ=π.求證：X+Y+Z=XYZ

②試證：（a-b）/（1+ab）+（b-c）/（1+bc）+（c-a）/（1+ac）

=（a-b）（b-c）（c-a）/（1+ab）（1+bc）（1+ac）

以上二道題都可由我們熟悉的題目得出：在△ABC中， tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC以及其推廣：若∠A+∠B+∠C=Kπ（K∈Z）則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立，得到巧妙解法.

3.3 ? 類比往往配合歸納法，幫助我們得出新的發(fā)現(xiàn).

例如證明恒等式

sinX/cosX=tanX①

（sinX+sin3X）/（cosX+cos3X）=tan2X ? ?②

（sinX+sin3X+sin5X）/（cosX+cos3X+cos5X）=tan3X ? ?③

之后，我們會(huì)很快歸納出：

[sinX+sin3X+…+sin（2n-1）X]/ [cosX+cos3X+…+cos（2n-1）X]=tan（nX） ? （n∈N）.

運(yùn)用類比法，考慮與以上①、②、③式類似的，但X前的系數(shù)為偶數(shù)的式子，則我們又可歸納出

（sin2X+sin4X+…+sin（2nX））/（cos2X+cos4X+…+cos2nX）= tan（n+1）X（n∈N）.

再運(yùn)用類比法，X前的系數(shù)成等比數(shù)列的式子，我們歸納出更帶有普遍性的式子.

{sinX+sin（a+d）X+…+sin [a+（n-1）d]X} / {cosX+cos（a+d）X+…+cos[a+（n-1）d]X}=tan[a+（n-1）d/2]X（n∈N） [4 ].

3.4 ? 使用類比應(yīng)特別注意：

（1）只有本質(zhì)上相同或相似的事物，才能進(jìn)行類比.如果僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物，不問青紅皂白地亂加類比，就會(huì)造成錯(cuò)誤.

例如，由n（a+b）=na+nb“類比”出sin（α+β）=sinα+ sinβ，lg（X+Y）=lgX+lgY等等都是錯(cuò)誤的.

（2）有限與無(wú)限的類比要謹(jǐn)慎，有時(shí)可以通過有限與無(wú)限類比來(lái)從事無(wú)限性對(duì)象的研究.但是，由于數(shù)學(xué)中有限與無(wú)限之間有著深刻的本質(zhì)差異，這種類比的結(jié)論時(shí)常是不可靠的.如將有限和的加法法則運(yùn)用到無(wú)限和會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤：例如

1+（-1）+1+（-1）+…

若我們隨意進(jìn)行結(jié)合，則可能導(dǎo)致荒謬結(jié)論：

ⅰ） [1+（-1）]+ [1+（-1）]+…=0;

ⅱ）1+ [（-1）+1]+ [（-1）+1] +…=1.

結(jié)果1=0.

又如，在無(wú)限過程中錯(cuò)誤地類比有限過程的運(yùn)算法則

=0+0+0+…+0=0 .

（3）類比得到的結(jié)論不一定正確.例如下面類比的結(jié)果是錯(cuò)誤的.

平面幾何 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?立體幾何

垂直于同一直線的兩條 ? ? ? ? ? ? ? 垂直于同一直線的

直線互相平行 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩條直線互相平行

存在著任意邊數(shù)的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 存在任意面數(shù)的

正多邊形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多面體

由于類比是特殊到特殊的推理，其實(shí)質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)而不是論證方法.從邏輯上看，由類比法得到的結(jié)論，其真實(shí)性依據(jù)是不足的，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明和檢驗(yàn)，否則也會(huì)造成意想不到的錯(cuò)誤.

4 ? 類比的意義

雖然數(shù)學(xué)注重邏輯推理，但單純的邏輯推理有時(shí)也會(huì)到了“山窮水盡”的時(shí)候，那么我們?cè)陬惐戎星蟀l(fā)現(xiàn)，在比較中去鑒別和認(rèn)識(shí)事物掌握事物的本質(zhì)屬性就顯得尤為重要;同時(shí)用好類比法，可給我們學(xué)生掌握概念法則，啟迪思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突破教學(xué)中的難點(diǎn)起到很好的輔助作用.更為重要的一點(diǎn)是：類比不只是一種機(jī)械性模仿操作方法，實(shí)際上類比中還伴隨著聯(lián)想、猜測(cè)、概括及歸納等思維活動(dòng)，所以它對(duì)于我們培養(yǎng)思維的廣闊性、創(chuàng)造性是非常有利的.

參考文獻(xiàn)：

[1]章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版， ?1996.

[2] 楊泰良.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理論與實(shí)踐[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社 ，1989.

[3] 曾曉新.中學(xué)數(shù)學(xué)的思維與解題[M].重慶：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社重慶分社，1985.

[4]汪江松.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧[M].武漢：湖北教育出版社，2006.