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        牛頓第二定律中a與F/m成正比的推理

        2015-05-30 22:35:47王琴平
        雜文月刊·教育世界 2015年5期
        關(guān)鍵詞:成正比外力合力

        王琴平

        一、引言

        牛頓第二定律是高一物理最重要的規(guī)律之一,它是聯(lián)系力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要橋梁。對(duì)于牛頓第二定律規(guī)律的教學(xué),大部分老師都是把只它看做實(shí)驗(yàn)規(guī)律,并要求同學(xué)們記住該結(jié)論,或默認(rèn)它的正確性再采用控制變量法去驗(yàn)證它。然而,這并不符合我們認(rèn)識(shí)自然規(guī)律的一般過(guò)程。對(duì)于陌生的未知規(guī)律,它的呈現(xiàn)形式有多種可能性。對(duì)于未知的規(guī)律,我們往往是從經(jīng)驗(yàn)和已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上先對(duì)其進(jìn)行合理的猜想,再通過(guò)數(shù)學(xué)邏輯推理或?qū)嶒?yàn)的方法去驗(yàn)證我們的猜想是否正確。

        二、猜想與探究實(shí)驗(yàn)

        在闡述牛頓第二定律之前有兩個(gè)重要的探究實(shí)驗(yàn),第一個(gè)是探究加速度與質(zhì)量的關(guān)系,第二個(gè)探究加速度與合外力的關(guān)系。從生活經(jīng)驗(yàn)的角度出發(fā),我們很容易看出如果用相同的合外力分別啟動(dòng)火車、汽車、摩托車,他們獲得的加速度不同,質(zhì)量最小的摩托車獲得加速度最大,質(zhì)量較大的火車獲得的加速度最小,因此我們猜想在合外力相同的情況下,加速度和質(zhì)量成反比。對(duì)于同一種車,用不同大小的合力去啟動(dòng),合力越大,獲得的加速度越大,由此我們猜想,在質(zhì)量不變的情況下,加速度和合力成正比。通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了我們猜想的正確性。

        三、數(shù)學(xué)推理

        然而,我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證加速度a與質(zhì)量m成反比,與合力F成正比后,我們并不是很輕易的可以得出a與F/m成正比的結(jié)論。從學(xué)生初中的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備出發(fā),加速度a與質(zhì)量m成反比,可寫成數(shù)學(xué)表達(dá)ma=k1 ①(其中k1和m無(wú)關(guān))

        加速度與合外力成正比,可寫成數(shù)學(xué)表達(dá)a=k2 F ②

        (其中k2和F無(wú)關(guān))

        聯(lián)立 ① ② 我們可以得到ma2=k1k2 F,a2=k1k2 F/m

        似乎得到a2與F/m 成正比的結(jié)論,而與粵教版教材91頁(yè)中的a與F/m 成正比的結(jié)論相違背。難道是牛頓第二定律的結(jié)論錯(cuò)了么?

        牛頓第二定律沒(méi)錯(cuò),而是我們推導(dǎo)時(shí)容易忽視隱含信息,其中k1是和m無(wú)關(guān),但卻是合力F的函數(shù),在F一定的情況下,k1 才是確定的。而k2和F無(wú)關(guān),但卻是m的函數(shù),只有在m一定的情況下,k2才是確定的。因此,當(dāng)m或F在變化的時(shí)候,k1k2 不再是與F/m無(wú)關(guān)的常數(shù)。因此不能得出a2與F/m 成正比的結(jié)論。那要怎樣就能得出a與F/m 成正比的結(jié)論呢?

        生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們加速度a是合外力F和質(zhì)量m的二元函數(shù),由此a=f(F,m),由實(shí)驗(yàn)規(guī)律:在質(zhì)量一定的情況下,加速度與合力成正比,我們可以得到a=g(m)F (g(m)是關(guān)于質(zhì)量的函數(shù),與F無(wú)關(guān));

        由實(shí)驗(yàn)規(guī)律:在合力一定的情況下,加速度與質(zhì)量成反比,我們可以得到:a=h(F)/m (h(F)是合外力的函數(shù),與m無(wú)關(guān));

        由此我們得到 g(m)m=h(F)/F

        方程左邊與F無(wú)關(guān),式子右邊與m無(wú)關(guān)。

        那么我們可以得出結(jié)論g(m)m=h(F)/F=k

        (其中k是和m、F均無(wú)關(guān)的常數(shù))

        由此我們可以求出g(m)= k/m,h(F)=kF,因此a=kF/m

        即加速度a與F/m 成正比,教材結(jié)論正確。

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