張紅玲　沈永祥

摘要：本文探討了開(kāi)口弧上帶根號(hào)Riemann邊值問(wèn)題.通過(guò)對(duì)未知函數(shù)Ψ（z）結(jié)構(gòu)的分析，把帶根號(hào)的Riemann邊值問(wèn)題化為一般的Riemann邊值問(wèn)題，進(jìn)一步又可將其化為經(jīng)典的Riemann邊值問(wèn)題，從而得到問(wèn)題的解。

關(guān)鍵詞：Riemann邊值問(wèn)題；根號(hào)；開(kāi)口弧線段

一、相關(guān)問(wèn)題，記法

本文討論L為一開(kāi)口弧段帶根號(hào)Riemann邊值問(wèn)題，即設(shè)L為復(fù)平面中一開(kāi)口光滑弧段ab（a≠b），取定a至b為其正向，要求再?gòu)?fù)平面被L剖開(kāi)后的區(qū)域S中的全純函數(shù)ψ（z），滿足邊值條件：

ψ+（t）=G（t）ψ-（t）+g（t），t∈L，t≠a，b，（1.1）

其中G（t），g（t）∈H（L），在L上G（t）≠0（正則）且要求ψ±（t）在L＼{a，b}，ψ（z）在z=∞處至多為K階（K為一確定的整數(shù)，正數(shù)、負(fù)數(shù)、零均可）。

為簡(jiǎn)明，要求ψ（z）∈h0，即它在a與b處可能有不到1的奇異性.要求ψ（z）在z=∞處的階數(shù)為K，K-2，K-4，…這種問(wèn)題（1.1）記為K.

二、K與N均為偶數(shù)或均為奇數(shù)開(kāi)口弧段帶根號(hào)Riemann邊值問(wèn)題的求解

設(shè)K問(wèn)題（1.1）的解ψ（z）在區(qū)域S中奇數(shù)階零點(diǎn)為c1，c2，…cN，并記

Π（z）=（z-z1）（z-z2）…（z-zN），（1.2）

其中N為非負(fù)整數(shù).

當(dāng)K=2r與N=2m或K=2r-1與N=2m-1時(shí)，ψ（z）/ Π（z）在z=∞處有偶數(shù)階，至多為2（r-m）階.由單值化定理可以寫成

ψ（z）=Π（z）Φ（z）2，z∈S，

或

ψ（z）=Π（z）Φ（z），z∈S，（1.3）

其中Φ（z）在S中全純，在z=∞處至多為r-m階，而ψ（z）為取定的連續(xù)分支，此時(shí)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了Φ（z）在h0類中的經(jīng)典問(wèn)題

Φ+（t）=G（t）+g（t）/Π（t），t∈L＼{a，b} t∈L＼{a，b}（1.4）

求出這個(gè)問(wèn)題的解以及可解條件后，我們所要的解就由（1.3）得出.

設(shè)G（t）在h0類中的典則函數(shù)為X（z），指標(biāo)為κ.

其中

k=κ+r-m，（1.5）

分情況討論

（1）k≥-1，問(wèn)題（1.4）在h0類中的一般解為

Φ（z）=X（z）[F（z）+Pk （z）]，zL，（1.6）

其中

F（z）=1/2πi∫Lg（t）d（t）/Π（t）X+（t）（t-z），zL（1.7）

Pk（z）為k次任意多項(xiàng)式.于是，由（1.3），K問(wèn)題（1.1）在h0類中的一般解為

Ψ（z） =Π（z）X（z）[F（z）+Pk（z）]，zL（1.8）

（2）k<-1，問(wèn)題（1.4）在h0類中有唯一解（1.8），其中Pk（z）≡0，此時(shí)可解條件為∫Ltjg（t）d（t）/Π（t）X+（t）=0，j=0，1，….-k-2。（作者單位：吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

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