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        題小方法多 思維訓練廣

        2015-05-30 19:22:06杜盛伙
        中學教學參考·理科版 2015年6期
        關(guān)鍵詞:解法小題思維能力

        杜盛伙

        [摘 要]小題涵蓋的知識點較多,針對同一道題闡述幾種解題方法,以期提高學生的解題能力.

        [關(guān)鍵詞]小題 解法 思維能力

        “小題不要大作”,這在現(xiàn)實生活中很有道理,可以很好地解決矛盾,有利于社會的和諧發(fā)展.但在平時的數(shù)學教學工作中,不少教師對填空題、選擇題的講解,也經(jīng)常遵循“小題不要大作”的思想,僅僅停留在把答案找出來,為解題而解題,長期如此,學生的數(shù)學的思維能力很難得到更深程度的訓練和提高.因此,在平時的教學中,應注意挖掘一些小題的內(nèi)涵,想盡辦法讓學生的思維呈立體狀,盡可能地讓一道題目變得更豐滿,知識容量更大,讓小題目也大有文章可作,從而有效地訓練學生的解題思維能力.

        【例題】 若直線xa+yb=1 與圓x2+y2=1有公共點,則( ?).

        A.a2+b2≥1 ? ?B.a2+b2≤1

        C.1a2+1b2≥1 D.1a2+1b2≤1

        解法1:取a=b=1,排除B和D,取a=b=12,排除A,故選擇C.

        評析:此解法訓練了學生由特殊到一般、由偶然到必然的思維能力,可以大大提高學生答題的速度和準確性.分析歷年的高考試題,考查特殊到一般思想的題目比比皆是:有的考查利用歸納推理進行猜想,有的通過特殊點,確定特殊位置,還有的利用特殊值、特殊方程等解決一般問題、抽象問題、運動問題等.

        解法2:設(shè)圓心到直線xa+yb=1 的距離為d,則由已知得d≤1,即 11a2+1b2≤1 , 所以有:1a2 +1b2≥1 .

        評析:此解法訓練了學生用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的思維能力.具備了數(shù)形結(jié)合能力,則可截迂為直、快速準確、一蹴而就.數(shù)形結(jié)合思想通過以形助數(shù)、以數(shù)解形,使復雜問題簡單化、抽象問題具體化,有助于學生掌握數(shù)學問題的本質(zhì).

        解法3:由 xa+yb=1

        x2+y2=1 ,得(a2+b2)x2-2ab2x+a2b2-a2=0, 由Δ=a4-a4b2+a2b2≥0,可得正確答案為C.

        評析:此解法從方程的角度來觀察、分析問題,運用數(shù)學語言問題中的條件轉(zhuǎn)化成方程模型加以解決.對于直線和曲線相交問題,經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問題,利用方程的理論加以解決.

        解法4:設(shè)OA=(x,y),OB=(1a,1b),OA與OB的夾角為θ,則有:xa+yb= OA·OB= |OA||OB|cosθ=1 ,而|OA|=x2+y2, |OB|=1a2+1b2 ,

        所以1a2+1b2cosθ=1,故有1a2+1b2≥1.

        評析:此解法引入向量來解決問題,向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”.正是由于向量的“雙重身份”,所以很多數(shù)學知識和問題可利用向量的代數(shù)運算性、幾何直觀性及二者相互轉(zhuǎn)化的簡明性,清晰扼要地來描述和解決問題.這不僅有利于學生形成良好的認知結(jié)構(gòu),有利于學生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng),而且可提高學生分析和解決數(shù)學問題的能力.

        解法5:由x2+y2=1,可設(shè)x=cosα,y=sinα,代入直線方程得:

        1acosα+1bsinα=1,由三角知識可轉(zhuǎn)化為:1a2+1b2sin(φ+α)=1. 其中,sinφ=1a1a2+1b2 ,cosφ=1b1a2+1b2 ,故有1a2+1b2≥1.

        評析:此解法引入了參數(shù),利用三角知識解決問題,參數(shù)往往與一些隱性變量存在各種關(guān)系,因而用靈活的數(shù)學觀點看待參數(shù),對開啟學生解題思路非常有益,能很好地促進學生數(shù)學解題能力與數(shù)學思維的多元化發(fā)展.

        高考是一種選拔性考試,數(shù)學學科的考查最終落實到數(shù)學解題上,數(shù)學試題是思維的載體,一道好的試題會讓人津津樂道,回味無窮.數(shù)學教學的核心是培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力,教師在數(shù)學解題教學的過程中,應把重點放在引導學生對解題思路的探索和對解題方法的概括上,教學不僅要注重結(jié)果,更要注重過程,只有關(guān)注過程,學生的思維能力才能得到很好的培養(yǎng).本文從特值法、幾何、代數(shù)、三角、向量、不等式等多角度求解題目,這樣可以抓住數(shù)學的本質(zhì),更有效地培養(yǎng)學生的解題思維能力.因此,教師在教學中要多列舉一些案例,鼓勵學生嘗試解題,鍛煉學生的數(shù)學思維能力.

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