張彩明

《二次根式》一章的主要內(nèi)容，有二次根式的概念，二次根式的性質(zhì)，二次根式的加、減、乘、除的運(yùn)算法則等，二次根式的題目往往在填空題、選擇題或者簡(jiǎn)單的計(jì)算題中出現(xiàn)，考查的重點(diǎn)為二次根式的概念、性質(zhì)、化簡(jiǎn)以及計(jì)算，題目難度一般為中低檔.

一 知識(shí)要點(diǎn)

1.二次根式的性質(zhì)：

（1） （3）積的算術(shù)平方根：

（4）商的算術(shù)平方根：

2.二次根式的運(yùn)算法則：

（1）乘法運(yùn)算：

（2）除法運(yùn)算：

（3）二次根式的加減：先將各二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

二 解題技巧

1.對(duì)于二次根式的概念及其性質(zhì)的復(fù)習(xí)，要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是二次根式的概念，在理解二次根式意義的時(shí)候，應(yīng)注意被開(kāi)方數(shù)非負(fù)的條件，并會(huì)確定其中字母的取值范圍：二是弄清二次根式的性質(zhì)：（1）、

2.與整式的乘除類(lèi)似，二次根式的乘除也可以運(yùn)用運(yùn)算律、乘法公式等來(lái)化簡(jiǎn)運(yùn)算，解題時(shí)要抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

（1）最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

（2）二次根式的乘法法則，即.運(yùn)用法則進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算時(shí)，要結(jié)合兩個(gè)公式進(jìn)行：①

（3）二次根式的除法法則，即運(yùn)用法則化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要結(jié)合公式

3.與整式的加減類(lèi)似，二次根式的加減中，化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的根式類(lèi)似于同類(lèi)項(xiàng).加法的運(yùn)算律也同樣適用，合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，類(lèi)似于合并同類(lèi)項(xiàng).

三 典型題賞析

解析：2x-5與5-2x應(yīng)同時(shí)為非負(fù)數(shù)，即2x-5≥o且5-2x≥o，故代人已知式求得y=-3，所以應(yīng)選A.

反思：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，由此可以解出x的值，進(jìn)而求出y的值.

例2 已知a為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的值，

簡(jiǎn)析：由，所以a=0，從而可求，

例3 實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖1所示，則化簡(jiǎn)后為（）.

解析：從數(shù)軸可知30，所以故選D.

解析：原式

反思：化去分母中的根號(hào)時(shí)，若分母僅有一項(xiàng)，則分子分母同時(shí)乘以分母中的根式：若分母有兩項(xiàng)，則分子和分母同時(shí)乘以分母中根式的有理化因式（以便使分母能運(yùn)用平方差公式將根號(hào)化去）.

例5 先化簡(jiǎn)，再求值：其中x=

解析：略.

反思：與二次根式有關(guān)的條件求值，一直是中考的熱點(diǎn)之一，常與整式、分式的化簡(jiǎn)結(jié)合在一起.這類(lèi)問(wèn)題往往要求先化簡(jiǎn)求值式，再將數(shù)值代入求值：有時(shí)還需要將所給的條件式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形.這類(lèi)題目解法靈活多變，技巧性較強(qiáng)，

反思：把被開(kāi)方式通分并把分子寫(xiě)成完全平方式的形式，是解題的關(guān)鍵.

例7 圖2是一輛自行車(chē)的側(cè)面示意圖.已知車(chē)架中AC的長(zhǎng)為42cm，座桿AE的長(zhǎng)為18cm.點(diǎn)E，A，C在同一條直線上，后軸軸心B與中軸軸心C所在的直線BC與地面平行，且BC=50cm.ED⊥BC于D.BD=32cm.ED的延長(zhǎng)線交地面于F，求車(chē)座E到地面的距離EF

簡(jiǎn)析：欲求EF的長(zhǎng)，只需求DE的長(zhǎng)，因?yàn)镈F已知.可在Rt△EDC中利用勾股定理求出ED.再利用EF=ED+DF即可，具體計(jì)算略.

例8（2014年·鎮(zhèn)江）讀取下面表格中的信息，然后解決后面的問(wèn)題.

因，故n可以取得的最小整數(shù)是7.

反思：通過(guò)求和，找出與n的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

四 易錯(cuò)點(diǎn)析

1.概念理解不透徹

例9 如果是二次根式，那么x的取值范圍是______.

錯(cuò)解：由題意可知，所以2-x≤0，即x≥2.

剖析：本題忽視了分母2-x≠0的情況.正確的答案是x>2.

2.忽視二次根式的非負(fù)性

例l0 已知xy<0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）.

錯(cuò)解：故選A.

剖析：上解忽略了隱含條件.而由xy<0，知x≠0且y≠0，所以，y>0，x<0.上面化簡(jiǎn)的結(jié)果顯然是個(gè)負(fù)數(shù).

正解：由二次根式的意義可知.結(jié)合x(chóng)y