張爾光

【摘要】本文依照循序逐增原理將組合數(shù)編為組合數(shù)表，從中發(fā)現(xiàn)了組合數(shù)表的奧秘及其規(guī)律，對(duì)組合數(shù)循序逐增的若干規(guī)律進(jìn)行了證明，同時(shí)論證了組合數(shù)與1、自然數(shù)、奇數(shù)、平方數(shù)、金字塔形數(shù)等數(shù)列之間的循序逐增關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】循序逐增規(guī)律；組合數(shù)；組合數(shù)表

本文開篇，請(qǐng)?jiān)试S筆者提出這樣一道數(shù)學(xué)題：

C22+（C22+1+C2+12+1+C2+22+2+C2+32+3+…+C2+982+98）+（C22+1+1+C2+12+1+1+C2+22+2+1+C2+32+3+1+…+C2+982+98+1）+（C22+1+2+C2+12+1+2+C2+22+2+2+C2+32+3+2+…+C2+982+98+2）+（C22+1+3+C2+12+1+3+C2+22+2+3+C2+32+3+3+…+C2+982+98+3）+…+（C22+1+97+C2+12+1+97+C2+22+2+97+C2+32+3+97+…+C2+982+98+97）= ？

這是一道99列縱列組合數(shù)循序累加的數(shù)學(xué)題.不知有哪一位數(shù)學(xué)老師在沒有閱看本文前，能寫出其答案的組合式.

筆者之所以以這道數(shù)學(xué)題開篇，目的是想告訴人們，只要了解了組合數(shù)表的奧秘以及組合數(shù)的循序逐增規(guī)律，就可輕易做到這一點(diǎn).

循序逐增是數(shù)學(xué)的組合、排列共有的基本原理.這是筆者在《地圖與數(shù)學(xué)的組合、排列及三角矩陣》（見《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2011年第17期）一文中得出的一個(gè)結(jié)論.經(jīng)深入研究，筆者發(fā)現(xiàn)了組合數(shù)學(xué)（確切地說組合數(shù)）更多的循序逐增規(guī)律.本文將這些發(fā)現(xiàn)記錄下來，有請(qǐng)老師指教.

一、循序逐增的組合數(shù)表

組合數(shù)表是依照循序逐增原理，循著Cmn的n、 m“+1”的逐增規(guī)律，將組合數(shù)有序記錄下來而形成的一個(gè)表.如圖1所示.

對(duì)該表做分析，可發(fā)現(xiàn)其所隱藏的奧秘和規(guī)律.

圖1 組合數(shù)表

二、組合數(shù)表的奧秘

奧秘1 橫看成嶺側(cè)成峰，橫豎斜列規(guī)律異有同

認(rèn)真細(xì)看組合數(shù)表的數(shù)字，不論是橫看還是豎看、斜看，都是一串有規(guī)律的循序逐增的組合數(shù).橫看，是n不變， m依序“+1”逐增的組合數(shù)；豎看，是m不變，n依序“+1”逐增的組合數(shù)；斜看（左上角至右下角），是n， m同依序“+1”逐增的組合數(shù).此奧秘又藏著若干規(guī)律.

圖2 帕斯卡三角奧秘2 從組合數(shù)表中看出，在n不變（即n相同）的條件下，最大的組合數(shù)，既不是最大的m的組合數(shù)，也不是最小的m的組合數(shù)，而是處于中間的m（即中軸線框內(nèi)）的組合數(shù)，組合數(shù)與m既不存在正比關(guān)系，也不存在反比關(guān)系.

奧秘3 組合數(shù)表與楊輝三角（帕斯卡三角）完全是同曲異工.

只要將圖1向右傾斜45度，就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖1的數(shù)字與楊輝三角（見圖2，也稱帕斯卡三角）完全相同.這表明，楊輝三角（帕斯卡三角）的每一個(gè)數(shù)字都是Cmn的組合數(shù).由此可見，組合數(shù)表與楊輝三角（帕斯卡三角）完全是同曲異工.

三、楊輝三角（帕斯卡三角）已知的規(guī)律

規(guī)律1 三角形中的每一行數(shù)字表示的是二項(xiàng)式的整系數(shù)（a+b）的特定次冪.見圖3.

規(guī)律2 三角形中的每一行數(shù)字相加之和，從第二行起，是2的次冪之積.見圖4.

圖 3 圖 4

規(guī)律3 三角形中，每條斜線所經(jīng)過的數(shù)字相加之和均為斐波納契數(shù).見圖5.

圖 5

四、組合數(shù)表中反映出來的組合數(shù)循序逐增的規(guī)律

規(guī)律1 橫列組合數(shù)的規(guī)律之一

Cmn+Cm+1n=Cm+1n+1 （ 式中n≥m+1）.

例證1C23+C2+13=C23+C33=C34=3+1=4.

例證2C24+C2+14=C24+C34=C35=6+4=10.

例證3C25+C2+15=C25+C35=C36=10+10=20.

例證4C26+C2+16=C26+C36=C37=15+20=35.

依照歸納法，可把這一規(guī)律的定理表為：

Cmn+Cm+1n=Cm+1n+1 （式中n≥m+1）.

規(guī)律2 橫列組合數(shù)的規(guī)律之二

如 m1+m2= n，則Cm1n =Cm2n，亦即Cmn=Cn-mn （ 式中n≥m）.

將圖1中加粗的線框內(nèi)的數(shù)字作為中軸線，可清楚看到，中軸線兩邊相對(duì)應(yīng)的組合數(shù)是等同的.即在n相同的同一行組合數(shù)中，在相對(duì)應(yīng)的位置可找到兩個(gè)相同的組合數(shù)，且此兩個(gè)相同的組合數(shù)的Cmn等式的兩個(gè)m相加之和正好等于n.

例如Cm7的組合數(shù).

已知n=7，Cm7的組合等式有8個(gè)，組合數(shù)相同的等式有4對(duì)：

C37=C47 m1=3 m2=4 m1+m2=3+4=7C37=35C47=35 可見C37=C47.

C27=C57 m1=2 m2=5 m1+m2=2+5=7C27=21C57=21 可見C27=C57.

C17=C67 m1=1 m2=6 m1+m2=1+6=7C17=7C67=7 可見C17=C67.

C07=C77 m1=0 m2=7 m1+m2=0+7=7C07=1C77=1 可見C07=C77.

又例如Cm8的組合數(shù).

已知n=8，Cm8的組合等式有9個(gè)，組合數(shù)相同的等式有4對(duì)：

C38=C58 m1=3 m2=5 m1+m2=3+5=8C38=56C58=56 可見C38=C58.

C28=C68 m1=2 m2=6 m1+m2=2+6=8C28=28C68=28 可見C28=C68.

C18=C78 m1=1 m2=7 m1+m2=1+7=8C18=8C78=8 可見C18=C78.

C08=C88 m1=0 m2=8 m1+m2=0+8=8C08=1C88=1 可見C08=C88.

兩個(gè)相同的組合數(shù)的Cmn等式還告訴我們這樣一個(gè)規(guī)律：Cmn=Cn-mn.

以Cm7的組合等式為例，如C37，已知 n=7，m=3，那么，C7-37=C47.

C37=35C47=35 可見C37=C47.

又如C57，已知 n=7，m=5，那么，C7-57=C27.C27=21C57=21，可見C57=C27.

在此，應(yīng)指出的，我們不能以除法的計(jì)算方法來理解“C0n=1”的問題，而以組合的對(duì)等原理來理解“C0n=1（包括C00=1）”的問題，因?yàn)樽C明結(jié)果表明：C0n=1.組合的計(jì)算方式只是“借用”了除法的計(jì)算方法而已.

事實(shí)證明1 循序逐增的組合數(shù)表清楚地告訴我們：C0n=1.

事實(shí)證明2Cmn=Cn-mn的定理表明：C0n=Cn-0n=Cnn，Cnn=1，所以C0n=1.

因此，C0n=1，不存在“設(shè)定C0n=1”的問題.

規(guī)律3 橫列組合數(shù)的規(guī)律之三

橫列組合數(shù)依序相加規(guī)律表明，Cmn的n =2n的n ，即：

C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n（式中n≥2）

如：n=1 那么，C01+C11=1+1=2 2=21.

n=2 那么，C02+C12+C22=1+2+1=4 4=22.

n=3 那么，C03+C13+C23+C33=1+3+3+1=8 8=23.

n=4 那么，C04+C14+C24+C34+C44=1+4+6+4+1=16 16=24.

依照歸納法，得：C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n（式中n≥2）.

此規(guī)律表明，就橫列Cmn的組合數(shù)依序相加來說， n為2的組合數(shù)依序相加之和是n為1的組合數(shù)依序相加之和的2倍； n為3的組合數(shù)依序相加之和是n為2的組合數(shù)依序相加之和的2倍；n為4的組合數(shù)依序相加之和是n為3的組合數(shù)依序相加之和的2倍，余此類推.可見，橫列每行組合數(shù)依序相加之和隨著n“+1”而增加1倍.

規(guī)律4 縱列（豎列）組合數(shù)的規(guī)律之一

單列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律.即在m不變的條件下，n循著“+1”逐增，依序?qū)⒏鹘M合數(shù)累加.其定理為：

Cmn+Cmn+1+Cmn+2+Cmn+3+Cmn+4+…+Cmn+k=Cm+1n+k+1（式中m = n ）.

例證1 見圖6. 例證2 見圖7.

圖 6 圖 7 圖 8

根據(jù)例證1的C00+k組合數(shù)循序累加之規(guī)律，可將其公式表為：

C00+C00+1+C00+2+C00+3+C00+4+…+C00+k=C0+10+k+1

根據(jù)例證2的C11+k組合數(shù)循序累加之規(guī)律，可將其公式表為：

C11+C11+1+C11+2+C11+3+C11+4+…+C11+k=C1+11+k+1

綜例證1、例證2，依照歸納法，其定理為：

Cmn+Cmn+1+Cmn+2+Cmn+3+Cmn+4+…+Cmn+k=Cm+1n+k+1 （式中m = n ）

單列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律表明，在m不變的條件下，n循著“+1”逐增，其組合數(shù)依序累加之和，正是“m+1”后不變、n循著“+1” 逐增的組合數(shù)，即上縱列組合數(shù)循序累加之和，正是下縱列的組合數(shù).如C組合數(shù)循序累加之和，乃是C1n的組合數(shù)；而C1n組合數(shù)循序累加之和，乃是C2n的組合數(shù)；又C2n組合數(shù)循序累加之和，則是C3n的組合數(shù)……余此類推.可見，單列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律是一條“上加成下”的循序累加“鏈條”， 沒有窮盡（見圖8）.

規(guī)律5 縱列（豎列）組合數(shù)的規(guī)律之二

相鄰雙列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律.其定理為：

Cmn+（Cmn+1+Cm+1n+1）+（Cmn+2+Cm+1n+2）+（Cmn+3+Cm+1n+3）+（Cmn+4+Cm+1n+4）+…+（Cmn+k+Cm+1n+k）=Cm+2n+k+2（式中m = n ）.

例證1 見圖9.

圖 9 圖 10

例證2 見圖10.

根據(jù)例證1的“C0n+C1n”組合數(shù)循序累加之規(guī)律，可將其公式表達(dá)為：

C00+（C00+1+C0+10+1）+（C00+2+C0+10+2）+（C00+3+C0+10+3）+…+（C00+k+C0+10+k）=C0+20+k+2.

根據(jù)例證2的“C1n+C2n”組合數(shù)循序累加之規(guī)律，可將其公式表達(dá)為：

C11+（C11+1+C1+11+1）+（C11+2+C1+11+2）+（C11+3+C1+11+3）+…+（C11+k+C1+11+k）=C1+21+k+2.

綜例證1、例證2的證明，依照歸納法，其定理為：

Cmn+（Cmn+1+Cm+1n+1）+（Cmn+2+Cm+1n+2）+（Cmn+3+Cm+1n+3）+…+（Cmn+k+Cm+1n+k）=Cm+2n+k+2（式中m = n ）.

圖 11

圖9、圖10、圖11的證明表明，相鄰雙列縱列組合數(shù)依序累加之和，正是后列下一縱列循序逐增的組合數(shù).具體地說，C0n與C1n雙列組合數(shù)循序累加之和，是C1n下一縱列C2n的組合數(shù)，即與前文C1n單列組合數(shù)循序累加之和同；C1n與C2n雙列組合數(shù)循序累加之和，是C2n下

一縱列C3n的組合數(shù)，即與前文C2n單列組合數(shù)循序累加之和同；C2n與C3n雙列組合數(shù)循序累加之和，是C3n下一縱列C4n的組合數(shù)，即與前文C3n單列組合數(shù)循序累加之和同……余此類推.可見，雙列組合數(shù)循序累加之和，也是一條“上加成下”的循序累加“鏈條”，沒有窮盡.

規(guī)律6 縱列（豎列）組合數(shù)的規(guī)律之三

相鄰3列以上縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律.

循著列數(shù)的逐增，當(dāng)相鄰列數(shù)增至3列、4列、5列……n列，其組合數(shù)循序累加又是什么樣的規(guī)律呢？請(qǐng)看下面證明.

筆者研究結(jié)果表明，3列以上縱列組合數(shù)循序累加有兩種不同方法.兩種方法，兩種規(guī)律.

循序累加方法1的證明 將相鄰的第二、三、四……列的起始組合數(shù)1，與首列的第二個(gè)組合數(shù)同行位置上（即同一括號(hào)內(nèi)），見圖12、圖13.

例證1 圖12所示，是相鄰3列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 12

從圖12看出，C0n，C1n，C2n 3列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C2n下一縱列C3n的組合數(shù)，與前文C2n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同；C1n，C2n，C3n 3列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C3n下一縱列C4n的組合數(shù)，與前文C3n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同；C2n，C3n，C4n3列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C4n下一縱列C5n的組合數(shù)，與前文C4n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同.可見，相鄰3列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列下一縱列的組合數(shù)，其規(guī)律與相鄰2列縱列組合數(shù)循序累加之規(guī)律同.

例證2 圖13所示，是相鄰4列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 13

從圖13看出，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C3n下一縱列C4n的組合數(shù)，與前文C3n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同；C1n，C2n，C3n，C4n 4列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C4n下一縱列C5n的組合數(shù)，與前文C4n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同；C2n，C3n，C4n，C5n 4列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列C5n下一縱列C6n的組合數(shù)，與前文C5n單列縱列組合數(shù)循序累加之和同.可見，相鄰4列縱列組合數(shù)循序累加之和為后列下一縱列的組合數(shù)，其規(guī)律與相鄰2列、3列縱列組合數(shù)循序累加之規(guī)律同.

縱圖12、圖13的證明，得出結(jié)論：循序累加方法1的累加結(jié)果表明，不論多少列縱列組合數(shù)循序累加，其累加之和為后列下一縱列的組合數(shù)，與后列單列縱列組合數(shù)循序累加之和同. 亦即其答案的組合數(shù)的組合式，是后列縱列最后一個(gè)組合式Cmn的n+2，m+1，即：Cm+1n+2.

如圖12的“C0n，C1n，C2n” 3列縱列組合數(shù)循序累加，其后列縱列C2n的最后一個(gè)組合數(shù)21的組合式為C27，那么，其相對(duì)應(yīng)的累加之和84的組合式為C2+17+2，即C2+17+2=C39=84.

再如圖13的“C0n，C1n，C2n ，C3n” 4列縱列組合數(shù)循序累加，其后列縱列C3n的最后一個(gè)組合數(shù)252的組合式為C510，那么，其相對(duì)應(yīng)的累加之和924的組合式為C5+110+2，即C5+110+2=C612=924.

又以本文開篇的數(shù)學(xué)題為例，其后列縱列C100n的最后一個(gè)組合式為

C100197，那么，該題答案的組合式為C100+1197+2，即C100+1197+2=C101199.

循序累加方法2的證明 相鄰的若干列縱列組合數(shù)依照組合數(shù)表的序列（即Cmn的n相同的組合式為同一括號(hào)內(nèi)）進(jìn)行累加，見圖14、圖15.

例證1 圖14所示，是相鄰3列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 14

例證2 圖15所示，是相鄰4列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 15

從圖14、圖15看出，方法2的3列、4列縱列組合數(shù)循序累加之和均不是后列下一列縱列的組合數(shù)，也不是其他有序的組合數(shù)，其結(jié)果與方法1的結(jié)果不相同.雖然如此，但前組相鄰若干列縱列組合數(shù)循序累加之和與后組相鄰若干列縱列組合數(shù)循序累加之和存在著循序逐增的關(guān)系.如C0n，C1n，C2n 3列縱列組合數(shù)循序累加之和是后組C1n，C2n，C3n3列縱列組合數(shù)循序累加數(shù)（即逐增數(shù)），而C1n，C2n，C3n3列縱列組合數(shù)循序累加之和則是其后C2n，C3n，C4n 3列縱列組合數(shù)循序累加數(shù)，余此類推.同理，圖15的相鄰4列縱列組合數(shù)循序累加的結(jié)果也是如此，C0n，C1n，C2n ，C3n 4列縱列組合數(shù)循序累加之和是后組C1n，C2n，C3n，C4n 4列縱列組合數(shù)循序累加數(shù)（即逐增數(shù)），而C1n，C2n，C3n，C4n 4列縱列組合數(shù)循序累加之和則是其后C2n，C3n，C4n ，C5n 4列縱列組合數(shù)循序累加數(shù)，余此類推.可見，方法2的若干列縱列組合數(shù)循序累加之和與后組若干列縱列組合數(shù)循序累加之和存在著循序逐增的關(guān)系.

方法1、方法2的證明表明，方法1的組合數(shù)循序累加之和為循序逐增的組合數(shù)，其規(guī)律可以組合式表達(dá)出來，而方法2的組合數(shù)循序累加之和為有序的其他數(shù)，其規(guī)律不可以組合式表達(dá).據(jù)此，筆者認(rèn)為，在弄懂此兩種方法的同時(shí)，應(yīng)著重掌握方法1的組合數(shù)循序累加原理.

規(guī)律7 依照循序逐增原理，縱列的各個(gè)組合數(shù)等于斜列（左上角至右下角）的各個(gè)組合數(shù)，見圖16.

圖 16

從圖16看出，縱列1（即C0n）的各個(gè)組合數(shù)等于斜列1（即Cnn）的各個(gè)組合數(shù)，亦即C00+k=C0+k0+k；

縱列2（即C1n）的各個(gè)組合數(shù)等于斜列2（即Cn-1n）的各個(gè)組合數(shù)，亦即C11+k=C0+k1+k；

縱列3（即C2n）的各個(gè)組合數(shù)等于斜列3（即Cn-2n）的各個(gè)組合數(shù)，亦即C22+k=C0+k2+k；

縱列4（即C3n）的各個(gè)組合數(shù)等于斜列4（即Cn-3n）的各個(gè)組合數(shù)，亦即C33+k=C0+k3+k.其余以此類推.

依照歸納法，得：Cmn+k=C0+kn+k（式中m = n），即Cmn=Cn-mn.

根據(jù)“縱列的各個(gè)組合數(shù)等于斜列（左上角至右下角）的各個(gè)組合數(shù)”的事實(shí)，無疑，縱列組合數(shù)存在的規(guī)律，斜列組合數(shù)也應(yīng)存在相應(yīng)的規(guī)律.

規(guī)律8 斜列組合數(shù)的規(guī)律之一

單列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律.即以C0n=1為累加起始數(shù)，n、0同時(shí)循著“+1”逐增，并依序?qū)⒏鹘M合數(shù)累加.其定理為：

C0n+C0+1n+1+C0+2n+2+C0+3n+3+C0+4n+4+…+C0+kn+k=Co+kn+k+i（式中n≥0）.

例證1 見圖17.

例證2 見圖18.

圖 17 圖 18

從圖17看出，“第三步”和“累加之和”與圖6的“第三步”和“累加之和”同，這證明斜列1（即Cnn）循序累加之規(guī)律與縱列1（即C0n）循序累加之規(guī)律同.根據(jù)圖17反映出來的斜列1（即Cnn）循序累加之規(guī)律，其定理為：

C00+C0+10+1+C0+20+2+C0+30+3+C0+40+4+…+C0+k0+k=C0+k0+k+1.

從圖18看出，“第三步”和“累加之和”與圖7的“第三步”和“累加之和”同，這證明斜列2（即Cn-1n）循序累加之規(guī)律與縱列2（即C1n）循序累加之規(guī)律同.根據(jù)圖18反映出來的斜列2（即Cn-1n）循序累加之規(guī)律，其定理為：

C01+C0+11+1+C0+21+2+C0+31+3+C0+41+4+…+C0+k1+k=C0+k1+k+1.

根據(jù)圖17、圖18的證明結(jié)果與圖6、圖7的證明結(jié)果同，又已知單列縱列組合數(shù)循序累加之規(guī)律是“上列單列縱列組合數(shù)循序累加之和為下列單列縱列組合數(shù)循序累加數(shù)”，那么，由此可推斷，單列斜列組合數(shù)循序累加之規(guī)律為： 上列單列斜列組合數(shù)循序累加之和為下列單列斜列組合數(shù)循序累加數(shù).請(qǐng)看圖.

圖 19

綜圖17、圖18、圖19的證明，依照歸納法，得單列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律之定理為：

C0n+C0+1n+1+C0+2n+2+C0+3n+3+C0+4n+4+…+C0+kn+k=Co+kn+k+i（式中n≥0）.

單列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律表明，各列斜列組合數(shù)均以C0n=1為累加起始數(shù)，n、0同時(shí)循著“+1”逐增.其組合數(shù)依序累加之和，正是n、0同時(shí)循著“+1”逐增后再“n+1”的組合數(shù)，即上列斜列組合數(shù)循序累加之和，正是下列斜列的組合數(shù).可見，單列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律，與單列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律一樣，是一條“上加成下”的循序累加“鏈條”.

規(guī)律9 斜列組合數(shù)的規(guī)律之二

相鄰雙列斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律.其定理為：

C0n+（C0+1n+1+C0+1-1n+1）+（C0+2n+2+C0+2-1n+2）+（C0+3n+3+C0+3-1n+3）+…+（C0+kn+k+C0+k-1n+k）=C0+kn+k+2.

例證1 見圖20.

圖 20 圖 21

根據(jù)圖20的“斜列1+斜列2”循序累加之規(guī)律，其公式可表為：

C00+（C0+10+1+C0+10+1-1）+（C0+20+2+C0+20+2-1）+（C0+30+3+C0+30+3-1）+…+（C0+k0+k+C0+k0+k-1）=C0+k0+k+2.

例證2 見圖21.

根據(jù)圖21的“斜列1+斜列2”循序累加之規(guī)律，其公式可表為：

C01+（C0+11+1+C0+11+1-1）+（C0+21+2+C0+21+2-1）+（C0+31+3+C0+31+3-1）+…+（C0+k1+k+C0+k1+k-1）=C0+k1+k+2.

綜例證1、例證2的證明，依照歸納法，得定理：

C0n+（C0+1n+1+C0+1-1n+1）+（C0+2n+2+C0+2-1n+2）+（C0+3n+3+C0+3-1n+3）+…+（C0+kn+k+C0+k-1n+k）=C0+kn+k+2.

規(guī)律10 斜列組合數(shù)的規(guī)律之三

相鄰3列以上斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律.

前文對(duì)單列、相鄰雙列斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律進(jìn)行了證明，其結(jié)果與單列、相鄰雙列縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律同.那么，當(dāng)相鄰列數(shù)增至3列、4列、5列……n列，其組合數(shù)循序累加的規(guī)律是不是也與3列以上縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律一樣呢？請(qǐng)看下面證明.

3列以上縱列組合數(shù)循序累加有兩種方法，為精簡(jiǎn)文章篇幅，只選方法1（即將相鄰的第二、三、四……列的起始組合數(shù)1，與首列的第二個(gè)組合數(shù)為同一括號(hào)內(nèi)）予以證明.見圖22、圖23.

例證1 圖22所示，是相鄰3列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 22

例證2 圖23所示，是相鄰4列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律例證表.

圖 23

從圖22、圖23看出，相鄰3列斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律與相鄰3列縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律（見圖14）同.相鄰4列斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律與相鄰4列縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律（見圖15）同.可見，相鄰3列以上斜列組合數(shù)循序累加的規(guī)律與相鄰3列以上縱列組合數(shù)循序累加的規(guī)律同，即：不論多少列斜列組合數(shù)循序累加，其累加之和為后列下一斜列的組合數(shù).

規(guī)律11 縱列組合數(shù)規(guī)律等同于斜列組合數(shù)規(guī)律之規(guī)律

綜前面對(duì)縱列組合數(shù)規(guī)律與斜列組合數(shù)規(guī)律之證明，縱列組合數(shù)規(guī)律與斜列組合數(shù)規(guī)律之間存在若干等同規(guī)律，除前面規(guī)律10同外，還有：

等同規(guī)律1 單列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律等同于單列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律，即：

“Cmn+Cmn+1+Cmn+2+Cmn+3+Cmn+4+…+Cmn+k=Cm+1n+k+1 （式中m = n ）”

等同于“C0n+C0+1n+1+C0+2n+2+C0+3n+3+C0+4n+4+……+C0+kn+k=Co+kn+k+i（式中n≥0）”.

等同規(guī)律2 雙列縱列組合數(shù)循序累加規(guī)律等同于雙列斜列組合數(shù)循序累加規(guī)律，即：

“Cmn+（Cmn+1+Cm+1n+1）+（Cmn+2+Cm+1n+2）+（Cmn+3+Cm+1n+3）+…+（Cmn+k+Cm+1n+k）=Cm+2n+k+2 （式中m = n ）”等同于“C0n+（C0+1n+1+C0+1-1n+1）+（C0+2n+2+C0+2-1n+2）+（C0+3n+3+C0+3-1n+3）+…+（C0+kn+k+C0+k-1n+k）=C0+kn+k+2”.

五、組合數(shù)表與其他數(shù)列循序逐增的規(guī)律

本文說的其他數(shù)列，主要是指以下若干數(shù)列：

在此要說明的，金字塔形數(shù)后的“其他形數(shù)”，是筆者不知其名而創(chuàng)之.

筆者研究結(jié)果表明，組合數(shù)表不僅反映了組合數(shù)與組合數(shù)之間的循序逐增的關(guān)系，而且也反映了組合數(shù)與自然數(shù)起始數(shù)1、自然數(shù)、平方數(shù)、金字塔形數(shù)、其他形數(shù)等數(shù)列存在循序逐增的關(guān)系及其規(guī)律.

規(guī)律1 自然數(shù)起始數(shù)1與C0n的循序逐增規(guī)律

C0n的任何一個(gè)組合數(shù)均是自然數(shù)1，即C0n=1.為此，見圖24.

圖 24

從圖24看出，C0n的組合式從C00開始，循著“+1”逐增，其組合數(shù)均為1.可見，自然數(shù)起始數(shù)是1，組合數(shù)起始數(shù)也是1.

規(guī)律2 自然數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9 ……與C0n的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖25）

從圖25看出，C0n的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的自然數(shù)數(shù)列.

圖 25 圖 26

規(guī)律3 奇數(shù)1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 ……與“C0n+C0n-1”的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖26）

從圖26看出，“C0n+C0n-1”的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的奇數(shù)數(shù)列.

規(guī)律4 平方數(shù)1，4，9，16，25，36，49……與“C1n+C1n-1” 的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖27）

從圖27看出，“C1n+C1n-1”的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的平方數(shù)數(shù)列.

圖 27 圖 28

規(guī)律5 金字塔形數(shù)1，5，14，30，55，91，140……與“C2n+C2n-1” 的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖28）

從圖28看出，“C2n+C2n-1”的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的金字塔形數(shù)數(shù)列.

規(guī)律6 其他形數(shù)（a）1，6，20，50，105，196，336……與“C3n+C3n-1” 的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖29）

從圖29看出，“C3n+C3n-1”的組合數(shù)循

序累加之和正是循序逐增的其他形數(shù)（a）數(shù)列.

圖 29

規(guī)律7 其他形數(shù)（b）1，7，27，77，182，378，714……與“C4n+C4n-1” 的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖29）

從圖29看出，“C4n+C4n-1”的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的其他形數(shù)（b）數(shù)列.

規(guī)律8 其他形數(shù) （c）1，8，35，112，294，672，1386……與“C5n+C5n-1” 的組合數(shù)循序累加規(guī)律（見圖29）

從圖29看出，“C5n+C5n-1”的組合數(shù)循序累加之和正是循序逐增的其他形數(shù)（c）數(shù)列.

從以上“Cmn+Cmn-1”的組合數(shù)循序累加規(guī)律可推知，其他形數(shù)（d）數(shù)列必定是“C6n+C6n-1”的組合數(shù)循序累加之和，其他形數(shù)（e）數(shù)列必定是“C7n+C7n-1”的組合數(shù)循序累加之和……由此可見，“Cmn+Cmn-1”的組合數(shù)循序累加規(guī)律是一條沒有窮盡的循序累加“鏈條”.