歐陽(yáng)通

【摘要】本文考慮一類由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程，利用不動(dòng)點(diǎn)理論研究方程mild解均方指數(shù)穩(wěn)定性.

【關(guān)鍵詞】不動(dòng)點(diǎn)； 指數(shù)穩(wěn)定； 隨機(jī)微分方程

0.引 言

近年來(lái)，對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程mild解的研究日趨活躍.本文研究f（t，0，0）=0時(shí)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程

dx（t）=（Ax（t）+f（t，x（t），xt））dt+g（t）dBQH（t）， t∈[0，T]，x（t） =φ（t），-r≤t≤0，（1）

mild解存在唯一性及均方指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題.

1.相關(guān)概念及主要結(jié)果

設(shè){Ω，F(xiàn)，P}是完備的概率空間，具有通常條件的流{Ft}t≥0.記（U，|·|u，〈·〉U）（V，|·|v，<·>v）是可分的Hilbert空間，L（V，U）表示所有V到U的有界線性算子空間，Q∈L（V，V）是一個(gè)非負(fù)自伴算子，L0Q（V，U）表示所有ξ∈L（V，U）滿足ξQ12是一個(gè)Hilbert-Schmidt算子的空間.

引理A[1]對(duì)任φ：[0，T]→L0Q（V，U）滿足∑∞n=1‖φQ12en‖LH1（[O，T]；U）<∞

，其中en是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則對(duì)任α，β∈[O，T]，α>β，若∑∞n=1||φQ12en||U一致收斂，則E∫t0φ（s）dBQH（s）2U≤cH（2H-1）t2H-1∫t0φ（s）|2LQO（V，U）ds

（1.1）.

定義1 若x∈c（-r，T；L2（Ω，U）），當(dāng)t∈[-r，0]，x（t）=φ（t）；當(dāng)t∈[0，T]，x（t）=S（t）φ（0）+∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s），則U-值過(guò)程x（t）叫做方程（1）的mild解.

為解決穩(wěn)定性問(wèn)題，假設(shè)下列條件成立：

（H1）S（·） 是強(qiáng)連續(xù)半群，A為其無(wú)窮小算子.設(shè)S（t）U≤Me-λt，M，λ>0，t≥0.

（H2）xt（s）=x（t+s），s∈[-r，0]，對(duì)任x，y∈c（-r，T；L2（Ω，U）），t∈[0，T]，存在一個(gè)常數(shù)cb>0滿足：|f（t，x（t），xt）-f（t，y（t），yt）|2U≤cb（|x（t）-y（t）|2U+|xt-yt|2U）.

（H3） 函數(shù)g（t）：[0，T]→L0Q（V，U）滿足引理A中條件，且∫∞0eλsg（s）2L0Q（V，U）<∞.

定理1若（H1）- （H3）成立，且η=Mλ2cb<1，則方程（1）存在唯一均方穩(wěn)定mild解.

2. 定理1的證明

證明 S表示所有F-適應(yīng)過(guò)程（t，w）：[-r，∞）×Ω→ R的Banach空間，對(duì)固定點(diǎn)w∈Ω，（t，w）關(guān)于t幾乎處處連續(xù)的.此外，（s，w）=φ（s），s∈[-r，0]；t→∞，eαtE（t，w）2U→0，其中0<α<λ，不妨令λ=α+β.且‖‖s=supt≥-rE（s，w）2.

定義映射π：（πx）（t）=φ（t），t∈[-r，0]；

（πx）（t）=s（t）φ（0）+∫t0s（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0s（t-s）g（s）dBQH（s）=∑3i-1Ii（t），t≥0. （2.1）

先證均方連續(xù)性.設(shè)x∈S，t≥0且θ充分小，則E|（πx）（t1+θ）-（πx）（t1）|2U≤3∑3i=1E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U

.

顯然，i=1，2，有E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U→0.此外，由（1.1）容易得到

E|I3（t1+θ）-I3（t1）|2U→0.

因此連續(xù)性成立.下面證明π（S）S.由（2.1）有

eatE|（πX）（t）|2U≤3eatE|s（t）φ（0）|2U+3eatE∫0ts（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U+3eatE∫0ts（t-s）g（s）dBQH（s）2U.（2.2）

當(dāng)t→∞時(shí)，估算（2.2）式右邊的三項(xiàng)：

3eatE|s（t）φ（0）|2U≤3M2e-（2λ-α）t‖φ（0）‖→0.

由赫爾德不等式、條件（H1）-（H3）及λ=α+β，得

3eαtE∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U→0

3eαtE∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s）2U→0

.從上式可知π（S）S.最后我們證明映射π是壓縮的.對(duì)x，y∈S有

Esups∈[0，T]（πx）（s）-（πy）（s）2u≤2M2cbλ2sups∈[0，T]Ex（s）-y（s）2u

.故當(dāng)η=Mλ2cb<1時(shí)，π是壓縮映射.由壓縮映射原理，π在空間S上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x（t），x（t）是方程（1）的解，并且當(dāng)t→∞，eαtEx（t）2U→0.證畢.