顧紅俏

【摘要】在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)一個奇怪的問題，部分學(xué)生用法向量求二面角大小時不能準(zhǔn)確判斷法向量夾角與二面角大小的關(guān)系.為此，本文就向量法求二面角大小的教學(xué)提出解題策略和教學(xué)思考.

【關(guān)鍵詞】二面角；法向量；法向量夾角；里面；外面

一、意料之外

在高二年級立體幾何教學(xué)中，筆者給學(xué)生布置了一道作業(yè)題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD1-B1大小.本以為一道平常的二面角求解問題，可是筆者所教的兩個班級中竟然有三分之一學(xué)生出錯，這讓我感到非常驚訝，問題到底出現(xiàn)在哪里呢？

二、抓住問題本質(zhì)

使用幾何法的學(xué)生，多數(shù)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是正確的；可是用法向量求二面角大小的學(xué)生，多數(shù)計(jì)算結(jié)果是錯誤的.因此，筆者決定在作業(yè)講評時把向量法求二面角大小作為重點(diǎn).

不妨了解一下學(xué)生用向量法解題的過程（多媒體展示）.

解 建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz公式

三、還原向量色彩

圖 11.認(rèn)清向量相對于平面的方向

如圖1，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量n=0，0，1是平面xOy法向量，方向向上，向量n=0，0，-1方向向下.

若n=1，2，3是平面ABC的法向量，那么該向量的方向怎樣確定呢？其實(shí)在三個軸上的非零分量看哪一個都可以，在x軸（y軸，z軸）上的分量大于0（小于0）時，向量方向指向x軸（y軸，z軸）正向（負(fù)向）方向.

2.弄清法向量在二面角中的方向

我們知道，二面角范圍是[0°，180°]，設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，法向量與二面角的空間位置存在四種形式（如圖2，圖3，圖4，圖5），筆者給它們分別取名字，圖2中的兩個法向量都指向二面角的里面；圖3中的兩個法向量都指向二面角的外面；圖4中的法向量n1指向二面角的里面，法向量n2指向二面角的外面；圖5中的法向量n1指向二面角的外面，法向量n2指向二面角的里面.

3.確定二面角大小與法向量夾角的關(guān)系（師生共同討論，證明）

定理1 若二面角的法向量都向二面角里面，則二面角大小與法向量夾角互補(bǔ).

圖 6已知：如圖6，二面角α-l-β，設(shè)其大小為θ，α，β的

法向量分別為n1，n2，且都向二面角里面.

求證：θ+=180°.

證明：如圖6，設(shè)法向量n1與n2相交于點(diǎn)P，

n1與n2所在直線與平面α，β分別相交于點(diǎn)A，B，l∩平面PAB=C.則l⊥AC，l⊥BC，

所以∠ACB為二面角α-l-β的平面角.在平面四邊形PACB中，

∠PAC+∠PBC=180°.所以∠ACB+∠APB=180°，故θ+