曹 天，曾 偉，周洪濤

(華中科技大學(xué) 自動化學(xué)院，湖北 武漢430074)

工程項目質(zhì)量不僅關(guān)系到工程的適用性和建設(shè)項目的投資效果，而且關(guān)系到人民群眾的生命財產(chǎn)安全，工程質(zhì)量水平成為工程建設(shè)的核心問題。工程項目往往是由業(yè)主和多個承包商組成的工程項目團隊共同施工，業(yè)主與承包商之間關(guān)于工程質(zhì)量方面存在信息不對稱，承包商可利用有關(guān)工程質(zhì)量的私有信息優(yōu)勢追求自身利益最大化，從而損害業(yè)主的利益。為有效防止承包商降低工程質(zhì)量努力程度的道德風險行為，通過設(shè)計合理的激勵機制，使得承包商團隊與業(yè)主利益關(guān)系一致，減少承包商機會主義行為的可能性，實現(xiàn)業(yè)主效用和承包商收益的帕累托改善。

一些學(xué)者運用委托代理理論研究了業(yè)主和單一承包商之間激勵機制設(shè)計問題。BOWER 等在強調(diào)成本激勵的同時，提出有必要對工程質(zhì)量、安全、改進和成本進行有效激勵［1］。BERENDS 提出激勵合同的設(shè)計應(yīng)涉及到多個激勵因素，例如安全、環(huán)境保護、質(zhì)量和工期等［2］。翁東風等針對單一承包商同時引入成本、工期和質(zhì)量3 個激勵系數(shù)，建立了成本加激勵酬金契約模式下的主從遞階決策模型，算例結(jié)果表明該激勵機制可實現(xiàn)業(yè)主效用和承包商收益的帕累托改善［3］。汪嘉旻等針對工期-費用交換問題，指出因壓縮活動而追加的費用少于所帶來的收益時，工期的壓縮才是合理的。并假設(shè)承包商以凈收益最大化為目標選擇最優(yōu)的工期，利用主從遞階決策方法討論了收益激勵的優(yōu)化問題［4］。

然而，工程項目往往涉及業(yè)主和多個承包商組成的工程項目團隊，對承包商團隊設(shè)計有效的激勵機制具有重要的現(xiàn)實意義。LI 等指出國內(nèi)大多數(shù)的工程項目建設(shè)工期較長，往往有多個子工程同時施工，業(yè)主需要與多個承包商簽訂激勵合同［5］。LI 等研究了在并行發(fā)包模式下，運用錦標賽激勵機制構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析多個承包商的質(zhì)量努力程度激勵問題及錦標賽機制的獎金設(shè)置分配問題［6］。黃金芳等指出多承包商激勵模式包括“競爭”的錦標賽激勵模式和“合作”的團隊激勵模式。錦標賽機制可能會導(dǎo)致成員間的相互攻擊，不利于承包商間的合作。而承包商間相互監(jiān)督及同伴壓力能夠減少承包商的機會主義行為，故“合作”的團隊激勵模式越來越受到關(guān)注［7］。汪應(yīng)洛等綜合考慮工期和成本兩個激勵系數(shù)建立了多合同的Stackelberg 決策模型，通過求解模型得到了多合同的博弈均衡解［8］。王卓甫等針對工程項目的特點，提出了工程合同激勵機制應(yīng)以工程質(zhì)量為中心，圍繞工程建設(shè)的質(zhì)量目標制定有效的激勵方案［9］。

筆者重點圍繞業(yè)主對多個承包商工程質(zhì)量的團隊激勵問題，根據(jù)工程質(zhì)量管理的特點，運用粒子群算法求解工程質(zhì)量評價權(quán)重和承包商風險態(tài)度組合下團隊激勵模型的最優(yōu)均衡解。

1 模型分析與構(gòu)建

根據(jù)實際工程質(zhì)量評價過程作如下假設(shè)：業(yè)主將一個單位工程劃分為多個分部分項工程，分別由不同的承包商單獨負責完成;根據(jù)每個分部分項工程在整個工程中所占工作量大小及重要程度給出相應(yīng)的權(quán)重值;業(yè)主對承包商工程質(zhì)量評價、打分確定承包商工程質(zhì)量水平，質(zhì)量評價過程存在主觀因素等影響業(yè)主對工程質(zhì)量評價的準確性。

筆者從工程質(zhì)量激勵的角度，研究業(yè)主如何選擇合適的激勵強度(即激勵系數(shù))對每個承包商的工程質(zhì)量水平進行激勵，使工程整體質(zhì)量水平得到提高，承包商則根據(jù)激勵強度來選擇合適的質(zhì)量水平實現(xiàn)自身的利潤優(yōu)化。

1.1 模型的基本假設(shè)

(1)一項單位工程由n個分部分項工程組成(i=1，2，…，n)，分別由n個承包商負責，每個承包商獨立完成各自的分部分項工程，業(yè)主與n個承包商之間形成委托代理關(guān)系。業(yè)主與承包商之間存在信息不對稱，承包商為工程質(zhì)量付出的努力程度是私有信息。由于努力程度與質(zhì)量產(chǎn)出之間的關(guān)系很難用函數(shù)形式定量刻畫，筆者直接采用承包商工程質(zhì)量水平來刻畫承包商質(zhì)量努力程度［10］。

(2)設(shè)業(yè)主對承包商i評價的質(zhì)量水平Qi=其中，為承包商工程實際質(zhì)量水平;μi為隨機誤差項，代表影響質(zhì)量水平評價準確性的外生因素。單位工程的總體質(zhì)量水平Q通過各個分部分項工程的質(zhì)量水平Qi加權(quán)平均得到，即其中，ωi為第i個分部分項工程相對單位工程的權(quán)重

(3)業(yè)主為風險中性，承包商i具有不變的質(zhì)量風險厭惡系數(shù)ρi，用Ui= -e-ρiwi擬合承包商i的效用函數(shù)，其中wi為承包商i的貨幣收入。根據(jù)Arrow-Pratt 結(jié)論，風險厭惡的承包商i對應(yīng)的質(zhì)量風險成本為若將風險系數(shù)定義為Ri=ρi，則風險成本為

(4)業(yè)主采用線性激勵契約，即支付給承包商i的報酬Si由固定支付αi和質(zhì)量水平提高對應(yīng)的激勵支付βi(Qi-ηi)兩部分組成，即Si=αi+βi(Qi-ηi)，其中，βi為質(zhì)量激勵系數(shù);ηi為業(yè)主對承包商i負責的分部分項工程進行激勵的基準質(zhì)量水平。

(5)c(Qi)為承包商i達到質(zhì)量水平Qi所應(yīng)付出的質(zhì)量成本其中a1，a2，k1，k2可由承包商i的歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計求得。質(zhì)量成本指為了確保滿意的質(zhì)量而發(fā)生的費用及沒有達到滿意質(zhì)量而造成的損失。因此可將質(zhì)量成本分為兩類：①確保工程質(zhì)量而產(chǎn)生的預(yù)防及鑒定成本;②因工程質(zhì)量未達要求而產(chǎn)生的損失成本［12］。

(6)承包商利潤函數(shù)由固定收益、激勵收益、質(zhì)量成本和風險成本4 部分組成，即：Vi=αi+βi·

(7)假設(shè)承包商能夠按照工期要求完成工程任務(wù)，不考慮工期對業(yè)主效用的影響。業(yè)主的效用由以工程質(zhì)量Q和對承包商的支付投資S為變量的多屬性效用函數(shù)u(Q，S)表示。其中，u(Q，S)可分解為工程質(zhì)量效用函數(shù)u(Q)和支付給承包商報酬效用函數(shù)u(S)的加權(quán)和形式(權(quán)重λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1)，u(S)可表示為支付給每一個承包商報酬Si的效用權(quán)重之和，即(權(quán)重滿足1)。單屬性u(Q)和u(Si)可通過二次函數(shù)進行構(gòu)建，其中，工程質(zhì)量的效用函數(shù)形式為：

式中：Qmin為合格的質(zhì)量水平;Qmax為最高的質(zhì)量水平;且有u(Qmin)=0，u(Qmax)=1。

支付給承包商報酬的效用函數(shù)形式為：

將上下界效用值代入可求得：a=1，b= -1/

因此，業(yè)主的效用函數(shù)為：

1.2 模型的建立

業(yè)主目標是使其效用函數(shù)最大化：

承包商接受業(yè)主激勵合同時的收益應(yīng)不小于不接受合同時的最大收益，即承包商應(yīng)滿足參與約束(IR)。假設(shè)承包商i的保留收入水平為Wi，當確定性等價收入小于Wi時，承包商i將不接受激勵合同。因此，承包商i滿足參與約束(IR)：

業(yè)主期望承包商達到的質(zhì)量努力程度(工程質(zhì)量水平)只能通過承包商自身收益最大化而選擇的質(zhì)量努力程度來實現(xiàn)。因此，承包商i必須滿足激勵相容約束(IC)：

通過上述假設(shè)和分析，綜合考慮業(yè)主目標函數(shù)和承包商參與約束與激勵相容約束，根據(jù)式(1)～式(3)建立業(yè)主- 承包商委托代理激勵模型：

滿足約束條件：

該模型可以協(xié)調(diào)雙方利益關(guān)系，使業(yè)主總體效用最大化建立在承包商利潤最大化的基礎(chǔ)之上，可有效抑制承包商的機會主義行為動機。

2 模型求解

根據(jù)上述團隊激勵模型，在業(yè)主給定激勵系數(shù)策略下，各承包商選擇的質(zhì)量水平需滿足承包商利潤函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的條件，即：

求解式(4)可得：

將各個承包商尋優(yōu)的目標函數(shù)表示為業(yè)主尋優(yōu)時應(yīng)該滿足的約束條件。因此，業(yè)主-承包商團隊激勵模型可以等價于：

其中：Qmin為業(yè)主對分部分項工程進行激勵的基準質(zhì)量水平;Qmax為承包商能夠達到最高的質(zhì)量水平。該模型求解比較復(fù)雜，筆者運用粒子群算法對激勵系數(shù)βi和質(zhì)量水平Qi進行全局尋優(yōu)求解。令激勵系數(shù)βi為尋優(yōu)粒子;慣性權(quán)重為1;種群規(guī)模為m;最大速度為vmax。經(jīng)粒子群算法編程可快速求得模型均衡解。

3 算例分析

假設(shè)某項工程由兩個承包商負責，在計劃工期內(nèi)，至少應(yīng)達到的質(zhì)量水平Qmin為0.85，能夠達到的最高質(zhì)量水平Qmax為0.96，業(yè)主對承包商進行激勵的基準質(zhì)量水平為0.88，收集承包商以往工程數(shù)據(jù)，設(shè)兩個承包商質(zhì)量成本參數(shù)一致，均為a1=75，a2=3，k1=0.03，k2=10。業(yè)主在該項工程中給予每個承包商的報酬(Smin)至少需要500 萬元，最大報酬(Smax)不超過700 萬元，兩個承包商的保留收益都為300 萬元。業(yè)主對工程質(zhì)量和報酬支付兩項目標的偏好權(quán)重分別為0.5，0.5。假設(shè)δ1=δ2=0.5，η1=η2=0.88。

將數(shù)據(jù)代入委托-代理團隊激勵模型可得：［-2RiQi］時，Vi＜0，不合理，故應(yīng)該舍棄。業(yè)主決定β1和β2，承包商分別選擇合適的Q1和Q2來最大化承包商自身利潤。運用粒子群算法求解不同ωi，Ri參數(shù)組合下模型的最優(yōu)均衡解。粒子種群數(shù)取為20，最大速度為(0.08，0.08)，循環(huán)代數(shù)為200 代。分別采用兩種分析思路對算例進行分析：

(1)固定R1=R2為一個合適范圍的不變數(shù)值，變動ωi，觀察ωi的變化對β1，β2，Q1，Q2的影響。假設(shè)R1=R2=9 ×10-5，其中ω1+ω2=1。粒子群算法仿真分析如圖1 ～圖3 所示。

圖1 承包商風險厭惡時，ωi 對β1，β2 的影響

圖2 承包商風險厭惡時，ωi 對Q1，Q2 的影響

圖1 表明兩承包商風險厭惡程度相同時，其分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重ωi越大，即分部分項工程質(zhì)量水平對單位工程質(zhì)量水平的影響越大，業(yè)主應(yīng)給予相應(yīng)承包商設(shè)置較大的激勵系數(shù)，以利于提高業(yè)主單位工程的效用水平。

圖3 承包商風險厭惡時，ωi 對u 的影響

圖4 ωi 從0 到1 變化時，u 的變化趨勢

圖2 表明兩承包商風險厭惡程度相同時，承包商負責的分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重ωi越大，承包商為優(yōu)化自身利潤而選擇的最優(yōu)質(zhì)量水平Qi越大，應(yīng)付出更多的努力。但最優(yōu)質(zhì)量水平Qi一般小于最高質(zhì)量水平Qmax，因為質(zhì)量水平較高時，承包商進一步提高質(zhì)量水平所付出的努力成本比帶來的收益更大，所以會減少承包商的利潤。

圖3 表明兩承包商風險厭惡程度相同時，其負責的分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重差別越小，業(yè)主總體最優(yōu)效用水平越低;反之，分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重差別越大，業(yè)主總體最優(yōu)效用水平越大。工程實際中，存在關(guān)鍵分部分項工程和非關(guān)鍵分部分項工程，往往多個分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重會有差別，業(yè)主根據(jù)權(quán)重設(shè)置不同的激勵系數(shù)更有利于提高自身的效用水平。

(2)假設(shè)承包商是風險中性的，即R1=R2=0，不考慮風險成本時，變動ωi，觀察ωi的變化對β1，β2，Q1，Q2的影響，其中ω1+ω2=1。運用粒子群算法仿真求解所得結(jié)論與圖1 ～圖3 類似。

比較風險厭惡的承包商(R1=R2=9 ×10-5，ω1和ω2變化)和風險中性的承包商(R1=R2=0，ω1和ω2變化)兩種情形，業(yè)主效用水平變化趨勢如圖4 所示。圖4 表明兩承包商風險態(tài)度相同時，選擇偏風險中性承包商時，業(yè)主效用水平總比選擇風險厭惡承包商大。因為計算自身利潤時，風險厭惡的承包商會考慮風險成本，業(yè)主需要適當提高激勵強度才能更加有效地激勵承包商提高質(zhì)量努力程度，否則會降低業(yè)主效用水平。因此，業(yè)主從自身利益出發(fā)應(yīng)盡量選擇偏風險中性的承包商。

4 結(jié)論

筆者針對工程項目中業(yè)主和多個承包商組成的工程項目團隊質(zhì)量激勵機制設(shè)計問題，根據(jù)工程質(zhì)量管理的特點，構(gòu)造業(yè)主效用水平函數(shù)和承包商利潤函數(shù)，綜合考慮承包商的參與約束和激勵相容約束，利用委托-代理理論，建立工程項目質(zhì)量團隊激勵模型。運用粒子群算法仿真求解不同分部分項工程質(zhì)量評價權(quán)重和承包商風險態(tài)度的組合下團隊激勵模型的最優(yōu)均衡解，并比較分析質(zhì)量評價權(quán)重和承包商風險態(tài)度對激勵系數(shù)、工程質(zhì)量水平和業(yè)主效用水平的影響。結(jié)果表明，承包商風險態(tài)度相同時，質(zhì)量評價權(quán)重越大，業(yè)主應(yīng)該給予的激勵強度越大;承包商為了實現(xiàn)自身利潤最大化，應(yīng)該努力達到的工程質(zhì)量水平也越高。工程實際中，選擇偏風險中性的承包商比選擇風險厭惡的承包商更有利于實現(xiàn)業(yè)主自身效用的最大化。

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