馮 志，楊 光，許志樂，李 娜

(武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢430070)

平行四邊形刀架機構(gòu)可以實現(xiàn)曲軸連桿頸的隨動車削［1］，但其存在如下不足之處。①平行四邊形機構(gòu)具有一個自由度，因此需要一個原動件，那么當平行四邊形機構(gòu)的四桿處在一條直線上時，從動件的運動方向不確定［2］;②平行四邊形機構(gòu)由旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成，由于旋轉(zhuǎn)副間隙的存在，刀架連桿將沿水平方向“躥動”，從而導致“扎刀”現(xiàn)象［3］。通過對平行四邊形機構(gòu)的變形可以彌補上述不足，并分析新機構(gòu)中各桿件的桿長精度對機構(gòu)位置的影響。

1 含移動副的五桿機構(gòu)

為解決平行四邊形機構(gòu)的不足，在平行四邊形機構(gòu)基礎(chǔ)上演化出含一個移動副的五桿機構(gòu)，該機構(gòu)是由移動副和旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成的五桿機構(gòu)［4］，如圖1 所示，滑塊4 長度為無限長時，D的軌跡變?yōu)橹本€，而D處的旋轉(zhuǎn)副變?yōu)橐苿痈薄?/p>

由于帶移動副的五桿機構(gòu)運動副的剛度與桿長精度是相互獨立的，不存在耦合問題［5］，因此，暫不考慮連接副的精度問題，獨立地分析各個桿件的桿長精度對連架桿2 上尖點M點位置誤差的影響。

2 誤差分析理論

實際工程的機構(gòu)中均會存在測量誤差、加工制造誤差及裝配誤差等，而機構(gòu)在運動過程中，由于各種阻力的存在亦會產(chǎn)生一定的變形。以上靜態(tài)與動態(tài)因素綜合改變著機構(gòu)的實際運動軌跡，使得實際機構(gòu)與理想機構(gòu)之間存在差別，該差別即為機構(gòu)誤差［6］。從動件的位置參數(shù)φk可由機構(gòu)的相關(guān)參數(shù)表示，其表達式為：

可簡寫為：

式中：m為機構(gòu)自由度;ln為構(gòu)件尺寸參數(shù);φk為從動件k的位置參數(shù);θi為第i個廣義坐標;lj為第j個尺寸參數(shù)值;Xr(r=1，2，…，n)為(θi，lj)的縮寫。

由于加工制造、裝配等影響因素，實際機構(gòu)中不可避免存在誤差，當從動件存在誤差ΔXr時，上式可變形為：

圖1 五桿機構(gòu)模型

假定誤差ΔXr相互獨立，因此將式(1)在X=Xr處按照泰勒級數(shù)展開，由于ΔXr對于Xr來說是很小的，因此二階及以上階數(shù)的微分部分忽略不計，展開后可得：

式中：φk為從動件k的實際位置;φk(Xr)為從動件k的理想位置，從而得到從動件k的位置誤差為：

3 誤差計算與分析

3.1 誤差計算

含一個移動副的五桿機構(gòu)的自由度為2，因此需要兩個主動件即連架桿1 和連架桿3 為主動件。這里需要兩連架桿的初始相位和轉(zhuǎn)速都相同，可以利用差速輪系做到這點，類似于最基本的同向等角速平面鉸鏈四桿機構(gòu)［8］，即θ1=θ3。由于只考慮桿長精度誤差對機構(gòu)中尖點M的位置誤差的影響，因此，θ1=θ3且為準確值。L為BM長度值，L1為AB長度值，L2為BC長度值，L3為CD長度值。計算過程如下：

由圖1 可知，坐標原點A到連桿上點M(xM，yM)的向量為：

將式(4)寫成分量形式：

根據(jù)微分定理可知，dxM≈ΔxM;dyM≈ΔyM;dLi≈ΔLi;dθi≈Δθi。將式(5)兩邊微分并結(jié)合微分定理，可得：

根據(jù)四邊形ABCD的矢量封閉，可得：

可變形為：)

在此需要四邊形ABCD為平行四邊形，故θ2為微量，即sin θ2≈θ2，cos θ2≈1，因此，式(7)可變形為：

將式(8)兩邊微分，可得：

將式(9)代入式(6)中，即可得到機構(gòu)M點處的位置誤差。根據(jù)式(5)可知，在理想的情況下，θ2應為零，進而尖點M的理想位置為以點(-L，0)為圓心，以L1為半徑的圓。綜上，在只考慮桿長精度影響的情況下，相對于連架桿1 和連架桿2 的桿長精度而言，連架桿3 的桿長精度對尖點M的位置誤差影響更小。在式(6)中，因為θ1為準確值，所以可以判斷連架桿1 的加工精度對連架桿2 上M點的位置誤差影響最大。

3.2 Matlab 仿真計算分析

筆者分4 種情況進行仿真計算。

(1)各桿件加工精度全部取7 級精度，尺寸為：L1= 60.5 ± 0.015，ΔL1= 0.03;L2= 600 ±0.035，ΔL2=0.07;L3=60 ±0.015，ΔL3=0.03;L=250±0.025，ΔL=0.05，計算結(jié)果如圖2 所示。

圖2 各桿件為7 級精度計算結(jié)果

圖2 結(jié)果顯示，尖點M水平方向的位置誤差在-0.08 ～-0.02 之間波動，而垂直方向的位置誤差在-0.03 ～0.03 之間波動。

(2)桿件1 取8 級精度，其余取7 級精度，尺寸為：L1=60.5 ±0.023，ΔL1=0.047;其余尺寸與情況(1)相同，計算結(jié)果如圖3 所示。圖3 顯示，尖點M的水平方向的位置誤差約在-0.10 ～0 之間波動，而垂直方向的位置誤差約在-0.045 ～0.045之間波動。

(3)桿件2 取8 級精度，其余取7 級精度，尺寸為：L2=600 ±0.11，ΔL2=0.22;其余尺寸與情況(1)相同，計算結(jié)果如圖4 所示，結(jié)果與情況(1)接近。

圖3 桿1 為8 級精度計算結(jié)果

圖4 桿2 為8 級精度計算結(jié)果

(4)BM段的桿長L取8 級精度，其余取7 級精度，尺寸為：L=250 ±0.04 ，ΔL=0.08，其余尺寸與情況(1)相同，計算結(jié)果如圖5 所示。

圖5 BM 段8 級精度計算結(jié)果

圖5 結(jié)果顯示，尖點M的水平方向的位置誤差約在-0.11 ～-0.05 之間波動，而垂直方向的位置誤差約在-0.03 ～0.03 之間波動。

比較圖2 與圖3 可知，連架桿1 的桿長精度降一個等級，即變?yōu)? 級時，尖點M的水平方向的位置誤差由-0.08 ～-0.02 之間波動變?yōu)榧s在-0.10 ～0 之間波動，而尖點M的垂直方向的位置誤差由-0.03 ～0.03 之間波動變?yōu)榧s在-0.045 ～0.045 之間波動。由此可見，連架桿1的桿長精度對尖點M的位置誤差影響很大。

比較圖2 與圖4 可知，連架桿2 的桿長精度降一個等級，即變?yōu)? 級時，尖點M的水平方向和垂直方向的位置誤差均與連架桿2 的桿長精度為7 級時的位置誤差很接近，因此，適當降低連架桿2 的桿長精度對誤差影響不大。連架桿3 的桿長精度對尖點M的位置誤差的影響比連架桿2的桿長精度對尖點M的位置誤差的影響更小。

比較圖2 與圖5 可知，BM段桿長L的精度降為8 級時，尖點M的水平方向的位置誤差由-0.08 ～-0.02 之間波動變?yōu)榧s在-0.11 ～-0.05 之間波動，而尖點M的垂直方向的位置誤差依然約在-0.03 ～0.03 之間波動，可以看出，BM段桿長L的桿長精度對尖點M的水平方向的位置誤差影響較大。

4 結(jié)論

構(gòu)建機構(gòu)位置方程組后，利用全微分法對其求全微分可以直接得到機構(gòu)位置誤差方程組［9］，因此利用全微分法對含有一個移動副的五桿機構(gòu)的桿長誤差導致的機構(gòu)誤差進行計算，而借助Matlab 軟件強大的數(shù)據(jù)處理能力［10］，將尖點M的位置誤差隨著曲柄變化顯示出來，即連架桿1的旋轉(zhuǎn)而變化的具體數(shù)據(jù)可視化，有助于更加科學地分析出兩者之間的關(guān)系，為以后的工作提供科學的指導。

［1］楊光，王三武，黃繼雄，等.曲軸外圓切削加工方法：中國，CN200810046773.8［P］.2008 -07 -16.

［2］孫恒，陳作模.機械原理［M］.北京：高等教育出版社，2000：100 -134.

［3］李輝鵬，楊光，薛利峰，等.實現(xiàn)曲軸隨動車削的刀架機構(gòu)分析［J］. 武漢理工大學學報，2012，34(5)：127 -128.

［4］盧迪.可調(diào)曲柄長度圓度平動刀架的研究及精度分析［D］.武漢：武漢理工大學圖書館，2013.

［5］薛利峰.基于齒輪-連桿組合機構(gòu)的曲軸復合車削刀架系統(tǒng)研究［D］. 武漢：武漢理工大學圖書館，2012.

［6］鄒蕾.曲軸復合車削工藝試驗裝置誤差因素分析與研究［D］.武漢：武漢理工大學圖書館，2011.

［7］吳石林.誤差分析與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：清華大學出版社，2010：54 -55.

［8］王忠.平行四邊形機構(gòu)的拓展及其應用［J］.機械設(shè)計，2005，22(12)：57 -58.

［9］閔學習，賈育秦.齒輪五桿機構(gòu)位置誤差分析［J］.機械工程師，2011(9)：36 -37.

［10］周建興. Matlab 從入門到精通［M］. 北京：人民郵電出版社，2012：152 -157.