劉俊輝，單家元，劉永善

（北京理工大學宇航學院飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081）

脈沖力末端修正追蹤制導律穩(wěn)定性分析

劉俊輝，單家元，劉永善

（北京理工大學宇航學院飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081）

脈沖力控制的離散性和彈體動力學的連續(xù)性使得脈沖力控制制導控制系統(tǒng)成為難于分析的混雜控制系統(tǒng)。鑒于此，建立了脈沖力控制彈體和制導回路動力學模型，通過將脈沖力控制制導系統(tǒng)等價為幅值式脈沖調(diào)制（amplitude pulse frequency modulator，APF-M）系統(tǒng)，解決了脈沖力控制制導回路的變周期離散化建模問題。進一步利用滑模理論分析了制導回路的穩(wěn)定性，得出脈沖沖量、噴管點火等待時間及重力對制導回路穩(wěn)定性的影響。提出了偏置閾值法進行重力補償，并對脈沖力控制制導回路進行了仿真分析。仿真結果驗證了偏置閾值法重力補償?shù)挠行裕⒌贸黾哟竺}沖沖量，減小噴管點火等待時間能有效減緩失調(diào)角發(fā)散的結論。

脈沖力控制；末端修正；變周期離散化建模；滑?？刂?；偏置閾值重力補償

0 引 言

制導回路中，導引頭及自駕駛儀動力學滯后直接降低制導回路性能。在比例導引中，動力學滯后會增加制導回路所需末制導時間［1］。采用直接脈沖力和捷聯(lián)導引頭直接減小了自駕儀及導引頭的動力學滯后，可使制導回路性能大幅提升。

相比于傳統(tǒng)的氣動力控制，脈沖力控制具有控制指令的響應時間短，反應速度快以及彈上設備簡單的優(yōu)點，但是具有脈沖控制力的作用時間短、彈道修正能力有限、不能夠連續(xù)作用、具有離散性、理論分析復雜的缺點。

對于捷聯(lián)導引頭的使用一般有兩種思路，一種是通過提取視線角速度來實現(xiàn)比例導引，另一種直接采用彈體追蹤。利用捷聯(lián)導引頭提取的視線角速度進行制導時，隔離度寄生回路問題容易導致制導系統(tǒng)不穩(wěn)定［2］。而直接采用彈體追蹤［3］時，導彈和目標的速度不能太大，當制導回路中存在固有滯后時，彈體穩(wěn)定回路需要有一定阻尼，并且飛行過程中攻角要較小，這就使得常規(guī)彈體追蹤制導律效果較差。本文中的制導策略是通過等待時間的設置，利用彈體靜穩(wěn)定性使攻角在等待時間內(nèi)收斂到足夠小，然后通過判斷由捷聯(lián)導引頭近似量測的彈體速度矢量與彈目視線的夾角是否大于點火閾值來決定是否點火位于質心的噴管來實現(xiàn)近似的速度追蹤法。

脈沖力控制本質上屬于非線性系統(tǒng)或者是切換控制系統(tǒng)以及混雜動力學系統(tǒng)［4］。對于脈沖力控制的理論分析國外20世紀60至70年代就已經(jīng)開始，俄羅斯和美國較先研究了脈沖力控制理論。脈沖力控制的研究主要用于航天器控制及神經(jīng)系統(tǒng)信號傳遞理論。在滑模狀態(tài)下，脈沖力控制等價于繼電控制［5］。文獻［6］通過離散系統(tǒng)理論對脈沖力控制進行了深入透徹的研究。

檢索到的公開發(fā)表的文獻顯示，對于應用于制導回路的脈沖力質心控制的研究主要集中在通過彈道仿真的方法分析參數(shù)的選取對制導精度的影響，還鮮有學者從穩(wěn)定性角度對參數(shù)選取進行分析。文獻［7］通過彈道仿真對比了比例導引、拋物線比例導引及彈道追蹤制導律在不同脈沖噴管數(shù)及沖量下對落點散步的影響，并分析了敏感器測量誤差對制導精度的影響。文獻［8］提出了基于脈沖頻率調(diào)制的彈道追蹤制導策略，可以減少脈沖噴管個數(shù)和脈沖沖量的使用。文獻［9］提出了具有超前攔截角的制導律，直接計算制導律所需的脈沖開啟時間來實現(xiàn)制導律，仿真驗證了該制導律比零控脫靶量制導律更優(yōu)越。文獻［10］針對脈沖噴管控制設計了預測最優(yōu)控制制導律，此制導律能較好地減少脫靶量。文獻［11］從控制能力、零控脫靶量角度分析了各因素對脈沖式控制大氣層外攔截器脫靶量的影響。文獻［12］結合預測控制和最優(yōu)控制理論設計脈沖噴管點火閾值。并通過李雅普諾夫理論證明了制導系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。文獻［13］設計了非光滑利普希茨閾值從而減少了開關脈沖力制導中脈沖噴管的開關次數(shù)。

本文旨在通過建立脈沖力末端修正制導回路的模型，然后從制導回路穩(wěn)定性的角度分析影響脈沖力控制制導回路穩(wěn)定性的主要因素。首先建立彈體動力學模型，確定控制力到彈道傾角角速度的傳函；然后引入平均失調(diào)角變化速度，將點火等待時間等價為幅值式脈沖頻率調(diào)制，利用離散化控制理論建立離散化脈沖力控制制導回路模型；最后應用滑?？刂评碚摲治龌？蛇_性條件，確定了失調(diào)角趨近于點火閾值的條件，分析了失調(diào)角穩(wěn)定于點火閾值滑模帶中條件。同時，提出了偏置閾值法重力補償。仿真結果驗證了以上理論分析的正確性及所提方法的有效性。

1 脈沖力質心控制建模

1.1 脈沖力控制末修彈藥概述

脈沖力控制制導彈藥的制導問題實質上是利用彈目相對信息來改變彈目相對位置關系。末修彈藥確定彈目相對位置關系通常采用兩種方法，一種是彈上裝慣導或GPS設備，另一種是彈上裝捷聯(lián)導引頭設備［14］。本文中所討論的脈沖力控制制導就是采用頭部加裝捷聯(lián)導引頭，質心附近安裝脈沖噴管，并在彈上安裝滾轉陀螺測量彈體滾轉角。捷聯(lián)導引頭量測彈體軸與彈目連線的夾角，彈上計算機判斷當前的點火等待時間是否達到所需的等待時間并且失調(diào)角是否達到點火閾值來決定是否點火。通過設置脈沖點火等待時間來使判斷決策時刻彈體的攻角足夠小，以達到近似速度追蹤的目的。

脈沖力控制脈沖噴管的設計參數(shù)主要包括脈沖發(fā)動機個數(shù)、單脈沖沖量大小、單個脈沖持續(xù)作用時間、脈沖發(fā)動機在彈體上的布局參數(shù)及彈體轉速等，控制策略設計參數(shù)包括點火閾值范圍、點火等待時間，彈上量測設備的參數(shù)選取主要包括滾轉陀螺滾轉角測量誤差和導引頭測量誤差。由于重力因素對制導回路的影響較大，并且滾轉彈控制通常利用準彈體系分解為縱向和橫向平面，因此為簡化問題分析，本文不考慮彈體滾轉問題，只在縱向平面內(nèi)分析脈沖力控制追蹤制導律的性能。本文假設脈沖噴管個數(shù)足夠、脈沖噴管環(huán)形安裝于質心附近。主要從理論上分析單脈沖沖量大小、點火閾值范圍、點火等待時間對失調(diào)角發(fā)散時間的影響。

1.2 彈體動力學建模

重力對彈道傾角角速度的影響在制導回路里考慮，這里只考慮空氣動力、空氣動力矩及脈沖力產(chǎn)生的力和力矩。同時，為了簡化研究，僅研究縱向運動，得到彈體縱向運動動力學方程為

式中，?為彈體俯仰角；α為彈體攻角；θ為彈道傾角；l為脈沖噴管離質心的距離，由安裝偏差產(chǎn)生（彈頭方向為正方向，脈沖力作用點位于質心之后l取負，反之為正）；F為脈沖控制力；m為彈體質量；Jz為彈體轉動慣量；Vm為彈體速度；aα為靜穩(wěn)定力矩系數(shù)；aω為阻尼力矩系數(shù)；bα為攻角產(chǎn)生的力系數(shù)，三者為彈體動力學系數(shù)，具體定義參考文獻［15］。

由方程組（1）零狀態(tài)拉氏變換后聯(lián)立求解，得到脈沖控制力彈體傳遞函數(shù)為

1.3 制導回路建模

縱向平面內(nèi)彈體和靜止目標之間的相對運動幾何關系如圖1所示。圖中oxy為地面系下的縱向平面，ox、oy分別為水平和高度方向，ym為縱向彈目相對高度，RTM為彈目相對距離，nM為彈體法向加速度，q為彈目視線角，θ為彈道傾角，α為飛行攻角，ζ為速度初始指向角誤差，ε為準彈體系下縱向失調(diào)角。

圖1 彈目交匯幾何關系圖

一般彈目將要交會時，彈體的速度變化已不大，文中假設彈體速度為常值。指向角偏差一般較小可忽略，在ym相對于RTM較小時，建立速度追蹤法彈目交會的動力學方程組為

由彈目交會幾何關系圖可以得到

式中，F(xiàn)為法向脈沖控制力；Fm為脈沖力的平均值；εth為脈沖點火閾值；sgn為符號函數(shù)；g為重力加速度；x為中間變量；Vr為彈目接近速度近似等于彈體飛行速度；TF、t分別為總飛行時間和當前飛行時刻。

實際中制導回路常采用彈體追蹤法，即誤差量為ε＝q－?＝q－（θ＋α）。采用彈體追蹤制導律時，通過等待時間來使彈體攻角降至一定的幅值范圍然后進行閾值判斷，近似于速度追蹤法。實際中也可以通過雙加速度計估算彈體攻角的方法來獲得彈體的速度方向從而實現(xiàn)速度追蹤法。結合第1.2節(jié)中脈沖控制力至彈道傾角角速度彈體傳遞函數(shù)和第1.3節(jié)中得到的彈目交會動力學及幾何關系方程可以獲得如圖2所示的脈沖力控制制導回路框圖。

圖2 脈沖力控制制導回路框圖

2 制導回路模型離散化

脈沖力控制制導回路實質上是控制周期不固定的超離散切換控制系統(tǒng)。參考文獻［6］建模方法，將脈沖力控制系統(tǒng)等效為時變的幅值式脈沖調(diào)制（amplitude pulse frequency modulator，APF-M）控制系統(tǒng)。

脈沖點火等待時間由失調(diào)角大小決定，失調(diào)角大于點火閾值時，點火等待時間為最小點火等待周期T。若失調(diào)角小于點火閾值，那么點火策略會繼續(xù)等待，等到失調(diào)角積累到點火閾值時才點火。典型的失調(diào)角隨時間變化關系如圖3所示。其中，λ為脈沖力作用時間，mkT為脈沖點火等待時間，Δθ為單個脈沖點火彈道傾角改變量。

圖3 失調(diào)角隨時間的變化

脈沖點火等待時間與一個脈沖點火后的失調(diào)角大小有直接關系?？梢越⑷缦陆脐P系來描述脈沖點火等待時間。

式中，T為脈沖點火最小時間間隔；˙εav為失調(diào)角平均變化速度。

脈沖點火等待時間與失調(diào)角大小的關系如圖4所示。

圖4 幅值式脈沖頻率調(diào)制

一般脈沖力控制修正彈藥，彈體靜穩(wěn)定度較大，升力系數(shù)較小。因此，通常式（2）中bα?aω，bαaω?aα，lbαmv?Jzaα，這時有如下近似關系

由式（3）簡化后得到

令y1＝y(tǒng)m／Vm，y2＝x，將以上動力學方程表示成狀態(tài)空間形式為

求解控制周期不固定的離散時間狀態(tài)方程需要首先確定控制周期間隔內(nèi)系統(tǒng)所受的輸入控制及擾動。實際中的脈沖力在作用時間內(nèi)會發(fā)生變化，這里可以將其理想化為幅值不變的矩形脈沖信號。由于制導回路的低通特性，理想化矩形波信號與實際變化的脈沖力對彈的控制效果是相同的。真正起作用的是單個脈沖作用的沖量大小。脈沖力控制彈體所受控制力如圖5所示，其中tk為脈沖點火時刻。

對以上狀態(tài)空間表達式進行離散化得到：

圖5 控制力模型

對于式（9），當t＋k≤t≤t－k＋λ時

當t＋k＋λ≤t≤t－k＋1時

將式（11）代入式（12）得

對式（13）中G（－λ）H（λ）和G（－λ）Q（λ）可進行如下簡化：

簡化后得到

得到

3 制導回路穩(wěn)定性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

脈沖點火控制是一種帶死區(qū)的繼電控制。可以用滑?？刂频乃枷雭矸治鲋茖Щ芈返姆€(wěn)定性。在制導過程中，誤差信息為失調(diào)角ε，控制的目的就是在整個末制導過程中使失調(diào)角ε在一定的誤差邊界內(nèi)。這樣就能保證末端脫靶量較小。但是只要在制導末端有脫靶量，失調(diào)角都會發(fā)散，所以期望失調(diào)角越晚發(fā)散越好。運用滑?？刂苼矸治雒}沖力控制追蹤制導律的穩(wěn)定性，主要有兩個步驟：①分析滑模帶的可達性條件；②分析滑模帶中的運動特性。

3.1.1 滑模帶的可達性

對于對稱點火閾值追蹤制導律，取滑模面切換函數(shù)為失調(diào)角ε，k時刻有

取一個k時刻的Lyapunov函數(shù)為

那么

假定式（19）中k時刻的剩余飛行時間為k＋1時刻的n倍。

對式（19）作以下代換，設

由式（19）和式（21）可知

式中，Vm≈Vr；y2（k）＝θk－ζ；λ?mkT。這時

下面對于對稱點火閾值制導律的穩(wěn)定性分兩段進行考慮，一段是剩余時間較大tgo（k）≥5T，另一段剩余時間較小tgo（k）＜5T。

（1）當tgo（k）≥5T時，則n＜5／4，此時（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）值較小可以忽略。

當Z≥εth＞0（ε≤－εth）時，mk＝1，脈沖力向下，Ip＜0并且起控段彈道傾角θk＜0。由式（23）可知，當且僅當X＋Y＜0，ΔV才有可能小于零。

若要滑模面滿足可達性條件，那么ΔV≤0，則

同理，當Z≤－εth＜0（ε＞εth）時，mk＝1，脈沖力向上，Ip＞0并且起控段彈道傾角θk＜0。只有當X＋Y＞0時，ΔV≤0才有可能成立。

若要滑模面滿足可達性條件，則ΔV≤0，那么

以上分析中：

由以上分析可知，在滑模帶外，失調(diào)角的穩(wěn)定性由式（27）的正負決定，當Z＝－εth＞0，必須滿足X＋Y＜0才能滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，同理當Z＝－εth＜0，必須滿足X＋Y＞0。由式（27）可知，當Ip／T較大時，控制量就能決定X＋Y的大小，也就能決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，可以通過增大Ip或減小T來使系統(tǒng)更穩(wěn)定。

由于脈沖力修正彈藥一般在彈道降弧段起控，因此式（27）中θk＜0，重力影響項也小于0，控制決策時（αk＋1－αk）／T很小可以忽略，因此X＋Y＜0的條件更易滿足，此時滿足Z≥－（X＋Y）／2條件時系統(tǒng)穩(wěn)定，并且由式（16）可知，重力作用使y1，y2減小，從而使失調(diào)角ε由負逐漸增大為正。因此提出偏置閾值法來補償重力對失調(diào)角的作用。

（2）當tgo（k）＜5T時，則n＞5／4，此時（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）值較大不能忽略。

此時，由于（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）＝（n－1）· ym（k＋1）／（Vmtgo（k））＞0大小不確定而且相比于式（27）具有相當?shù)拇笮?。因此，此時X＋Y的正負不確定，那么也不能確定ΔV的正負。不能使用李雅普諾夫穩(wěn)定性確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于X＋Y通常為負，此時ym（k＋1）保持較小時，而且ε≤（X＋Y）／2時，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定。然而若要使X＋Y＞0，必須使ym（k＋1）較大才行，而且ε≥（X＋Y）／2。彈道末端期望ym（k＋1）越小越好，因此期望前一種的穩(wěn)定方式。偏置閾值重力補償法可以較好地實現(xiàn)前一種穩(wěn)定方式。

由于以上分析可以得到如下結論：脈沖修正初期，tgo（k）≥5T，X＋Y＜0，此時只有ε＜0，系統(tǒng)才穩(wěn)定，也就是失調(diào)角增大，模值穩(wěn)定下降。tgo（k）＜5T時，X＋Y的正負取決于（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）的大小與式（27）和的正負。由于式（27）為負，若要使X＋Y＞0需要較大的y1（k＋1）的才行，導致較大的脫靶量。

3.1.2 偏置閾值重力補償法

通過偏置閾值法來補償重力作用，使失調(diào)角誤差更好地滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性。如圖6和圖7所示，將點火閾值±εth增加偏置量－εbia變?yōu)椤捆舤h－εbia。

圖6 對稱閾值控制策略

圖7 偏置閾值控制策略

此時，當0＜Z≤－εth＋εbia（0＞ε＞εth－εbia）時，mk＝1，Ip＞0并且起控段彈道傾角θk＜0。當X＋Y＜0且ε≤（X＋Y）／2系統(tǒng)穩(wěn)定。當－Z＜－εth－εbia＜0（ε＜－εth－εbia＜0）時，mk＝1，Ip＜0并且起控段彈道傾角θk＜0。當X＋Y＜0且ε≤（X＋Y）／2，系統(tǒng)穩(wěn)定。這樣就滿足了滑?？刂频目蛇_性條件，下面主要分析在什么條件下失調(diào)角一直保持在滑模帶中。

3.1.3 滑模帶中的運動特性

在滑模帶中，當mk＞1時，由圖6和圖7可知，失調(diào)角誤差一定能停留在滑模帶±εth中。只有當mk＝1，在一個等待周期內(nèi)，失調(diào)角的變化角速度超過一定數(shù)值時，失調(diào)角會逃離滑模帶發(fā)散。失調(diào)角的變化角速度為

由式（29）可知，若要保證失調(diào)角不發(fā)散，必須使平均視線角速度小于一定值。增大Δθ（即增大Ip），減小T，以及減小gcosθ／Vm的影響都能擴大可穩(wěn)定的視線角速度。

3.2 仿真結果

基于圖2的制導回路框圖，假設脈沖噴管無窮多，仿真條件為g＝9.8m／s2，脈沖力為Fm＝2 500～3 700N，脈沖噴管的作用力持續(xù)時間λ＝30ms，噴管作用最小等待時間T＝200～400ms，Vm＝200m／s，θ（0）＝－23°，ζ＝5°，aα＝620s－2，aω＝3.3s－1，bα＝0.5s－1，l＝15mm，m＝35kg，Jz＝2kg·m2，ym（0）＝800m，仿真時間tf＝10s，采用四階龍格庫塔算法，仿真步長為0.001s。不同的脈沖沖量，不同噴管點火最小等待時間及點火閾值偏置情況下的失調(diào)角如圖8所示。

圖8 不同控制策略下的失調(diào)角

圖8中方法1為對稱點火閾值，標稱脈沖沖量，標稱最小點火等待時間下的失調(diào)角隨時間的變化；方法2為其他條件不變增大脈沖沖量后失調(diào)角的變化；方法3為減小最小點火等待時間后失調(diào)角的變化；方法4為偏置點火閾值后失調(diào)角隨時間的變化。仿真結果驗證了，增大脈沖沖量，減小噴管點火等待時間及偏置點火閾值可以延長失調(diào)角處于滑模帶中的時間的結論。偏置點火閾值，使失調(diào)角點火閾值下移來補償重力對失調(diào)角的作用，可以較好延緩失調(diào)角發(fā)散時間，從而減小脫靶量。

4 結 論

脈沖力控制能有效減小彈道散布，過去的研究通常將其當成一種彈道修正方式。對其僅進行彈道仿真來分析脈沖力控制參數(shù)的選取。而利用彈道仿真方法無法揭示各參數(shù)對制導系統(tǒng)產(chǎn)生影響的原因。為了從穩(wěn)定性理論上分析脈沖力控制制導回路，本文建立了脈沖力控制彈體追蹤法變周期離散化模型。在滑模控制理論的基礎上詳細分析了脈沖力控制追蹤制導律的穩(wěn)定性條件。最終得出通過增大脈沖沖量，減小噴管點火等待時間及偏置點火閾值可以延長失調(diào)角處于滑模帶中的時間的重要結論。減緩失調(diào)角的發(fā)散就意味著減小脫靶量。

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Stability analysis of pursuit guidance law using impulse force control

LIU Jun-hui，SHAN Jia-yuan，LIU Yong-shan
（Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle，Ministry of Education，School of Aerospace and Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The impulse force control guidance system belongs to the complex hybrid control system due to the discreteness of impulse force control and the continuity of missile dynamics.A dynamics model of impulse force control missile is established.And，varying period discrete modeling of the impulse force control guidance loop is completed by finding the equivalence between the impulse force control guidance system and the amplitude pulse frequency modulator（APF-M）control system.Then，the impact of pulse jet impulse，pulse jet ignition waiting time and gravity on the guidance loop is obtained via analyzing the guidance loop stability using the sliding-mode control theory.Moreover，a bias threshold gravity compensation method is proposed and then simulated.The simulation results verify the gravity compensation method，and demonstrate the conclusion that increase pulse jet impulse and decrease pulse jet ignition waiting time can slow down the speed of boresight error divergence.

impulse force control；terminal correction；varying period discrete modeling；sliding-mode control；bias threshold gravity compensation

TJ 765.3

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.21

劉俊輝（1990－），男，博士研究生，主要研究方向為導引頭、直接力控制，飛行器導航、制導與控制。

E-mail：ljh0023＠bit.edu.cn

單家元（1967－），男，教授，博士，主要研究方向為飛行器設計，飛行器制導、控制與仿真。

E-mail：sjy1919＠bit.edu.cn

劉永善（1965－），男，副教授，博士，主要研究方向為飛行器制導、控制與仿真。

E-mail：liuysh＠bit.edu.cn

1001－506X201508－1852－06

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－07－22；

2014－11－03；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014－11－25。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20141125.1459.001.html

武器裝備研制項目資助課題