郭 亮， 高宏力， 黃海鳳， 張筱辰

(西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031)

近年來，隨著計算機技術的發(fā)展和企業(yè)設備管理要求的提高，大型機械設備的在線監(jiān)測與診斷系統(tǒng)正朝著網(wǎng)絡化和遠程化的方向發(fā)展.但是工業(yè)現(xiàn)場采集信號數(shù)據(jù)量大，且有一定的冗余度，這給網(wǎng)絡實時傳輸帶來一定挑戰(zhàn).另外由于現(xiàn)場工況復雜和傳感系統(tǒng)自身的原因，采集信號含有噪聲.所以在傳輸過程中需對信號進行壓縮和去噪處理，無論對減少傳輸時所用帶寬還是提高信號的信噪比都具有重要意義[1].

大部分的機械振動信號都是時變信號，目前，常用的時變信號壓縮方法主要有無損編碼的算術編碼、霍夫曼編碼和有損編碼的數(shù)據(jù)稀疏化、正交變換、預測編碼[1-2]等，其中，基于小波變換的數(shù)據(jù)稀疏化壓縮方法是目前較通用的方法，也是效果較好的一種方法[3].小波變換能較好地刻畫信號的時頻局部特征，適用于機械振動時變信號的壓縮和編碼.由于信號的壓縮與去噪效果與小波基的選擇有很大的關系，因此基于小波變換的信號壓縮和去噪需要有處理信號的先驗知識，自適應能力不強.

壓縮感知是繼小波分析和多尺度集合分析之后，于2006年由Candes等[4-7]提出的一種新的信號分析理論.其基本思想是:若信號是稀疏的或者是可壓縮的(或者是在某個變換域內(nèi)滿足這兩個條件)，那么信號可以由測量矩陣將原始信號變換為低維信號，再通過重構算法優(yōu)化求解得到原始信號.在該理論框架下，信號采樣和壓縮不取決于信號帶寬，而取決于信號本身的結構和內(nèi)容.壓縮感知理論與傳統(tǒng)的內(nèi)奎斯特采樣定義不同，它提出了將模擬信號直接采樣壓縮為數(shù)字形式的有效途徑，給信號采樣方法帶來了一次新的革命[8]，其在圖像壓縮、圖像識別和圖像去噪[9-11]領域取得了突破性的進展.但是，目前應用壓縮感知理論進行機械振動信號處理的研究還鮮見報道[12-13].

針對上述問題，本文提出了一種基于壓縮感知的時變信號壓縮算法(time-varyingsignal compressed algorithm based on compressed sensing，TvCS).該算法以壓縮感知理論為基礎，應用有限等距性質作為限制條件構造稀疏矩陣和測量矩陣，在稀疏矩陣上構建壓縮信號，再通過正交匹配追蹤算法重構出原始信號.理論分析和實驗都證明了該算法的有效性和實用性.

1 壓縮感知理論

在傳統(tǒng)的內(nèi)奎斯特(Nyquist)采樣模式下，

式中:x∈RN為原始信號;yk為采樣點;φk為采樣向量(函數(shù))，采樣過程需要滿足fs≥2f，其中fs為采樣頻率，f為原始信號頻率.

若取M?N，即當原始信號x∈RN在具有一定稀疏性的情況下，測量值的大小遠小于原始信號小大，這個過程稱為壓縮感知:

式中:x∈RN為 k-稀疏原始高維信號;y∈RN為M 維的低維壓縮測量向量;Φ =[φ1，φ2，…，φM]為M×N階測量矩陣，或稱為抽樣矩陣.

但在現(xiàn)實中，信號x∈RN并不都具有稀疏性，需要構造稀疏矩陣，使信號在稀疏矩陣ψ空間內(nèi)可以稀疏表示.假設{ψi}∈RN是一組基向量，則任何信號x∈RN都可以線性表示為

式中:s是 x在 ψ 域的變換向量，si=〈 x，ψi〉=x，ψ=[ψ ，ψ ，…，ψ ]是 N × N 階變換矩陣.12N如果式(3)的線性表示只需不大于K的基向量{ψi}i∈Ω，Ω∈{1，2，…，N}，|Ω| ≤K，可以說變換向量s中最多有K個非零項{si≠0}i∈Ω.

因此，壓縮感知的過程變?yōu)?/p>

式中:Φ為測量矩陣;ψ為稀疏矩陣;s為原始信號;y為壓縮采集信號;θ為測度矩陣.

壓縮感知的信號重構是研究從測量值y∈RN中恢復出x.該問題在數(shù)學上是一個求l0范數(shù)最小化問題:

l0范數(shù)最小化的問題是一個NP難問題，通常用貪婪方法求解，主要包括匹配追蹤(MP)[7]、正交匹配追蹤(OMP)[9]等，貪婪方法需要的測量數(shù)m較多，而且恢復精度相對不高[14].

Candes等提出了受限等距性(restricted isometric property，RIP)的概念[15].對于任意常數(shù)K=1，2…，矩陣θ的受限等距常數(shù)δk為使式(6)成立的最小數(shù):

式中:s為任意的k-稀疏向量.

若δk?1，則稱測量滿足RIP性質.當測量滿足RIP性質時，可以將重構問題轉化為l1范數(shù)最小化.而l1范數(shù)最小化是一個凸優(yōu)化問題，Lasso[10]、最小角度回歸(LARS)[11]等多種稀疏重構算法都可以解決.

2 基于壓縮感知的時變信號壓縮

含噪時變信號可以由壓縮信號y表示為

式中:z為隨機噪聲;x(t)為原始信號.

在機械振動信號中，原始時變信號x(t)在時域內(nèi)一般是非稀疏的，因此，θ=Φφ.本文算法流程如圖1所示.

圖1 算法流程Fig.1 Flow chart of TvCS algorithm

2.1 基于DFT的稀疏矩陣設計

信號x(t)的稀疏性或可壓縮性是壓縮感知的重要前提[16]，因此，壓縮感知的首要研究任務就是信號的稀疏表示.傅里葉變換可以有效地稀疏表示振蕩時變信號，離散傅里葉變換(discrete fourier transform，DFT)是傅里葉變換在時域和頻率都呈離散的形式，將信號的時域采樣變換為其DFT的頻率采樣.對于 N 點序列{x[n]}0≤n≤N，它的離散傅里葉變換為

2.2 測量矩陣設計

測量矩陣的設計直接影響信號的壓縮率和信號的重構精度.獨立同分布地從均值為零、方差為1/M的正態(tài)分布生成測量矩陣 Φ，即 φi∈(0，1/M).由RIP準則可知，當測量數(shù)據(jù)滿足不等式(9)，壓縮信號能夠完整地被重構.

式中:M為測量個數(shù);C為常數(shù);K為稀疏系數(shù);N為原始信號長度.

2.3 基于Lasso的重構算法

因為原始信號x在稀疏域上具有稀疏性，基于Lasso的信號重構算法可以轉化為以下優(yōu)化問題:

式中:γ＞0為正則項參數(shù)，控制重構信號 ^x的稀疏度.

由式(10)可知，Lasso參數(shù)估計是一個非線性和非可微的函數(shù)，因此很難通過最小二乘法取得準確解.本文中，采用坐標下降(coordinate descent)算法進行求解，坐標下降算法的思想是在多維變量情況下固定其它所有維向量，僅進行一維處理.

2.4 算法設計

基于壓縮感知的時變信號壓縮與重構算法流程有以下幾步:

(1)信號稀疏:利用DFT矩陣變換原始信號s，得到原始信號在DFT矩陣空間內(nèi)的稀疏信號x;

(2)信號測量:選擇合適的隨機測量矩陣Φ，計算稀疏信號在測量矩陣下的壓縮表示y=Φx;

(3)信號重構:信號采集過程滿足RIP性質，通過Lasso算法重構出原始信號^x;

(4)信號恢復:在重構稀疏信號^x上乘以DFT稀疏變換矩陣，恢復出原始信號^s.

3 仿真實驗

為驗證提出算法對時變信號的壓縮和去噪性能，本文進行了如下實驗，分別通過對時域稀疏信號、無噪聲非時域稀疏信號和含噪聲非時域稀疏信號運用小波壓縮方法和TvCS算法進行壓縮與重構實驗，比較2種方法的壓縮重構效果和去噪能力.本文的仿真硬件環(huán)境為AMD 3.0 GHz處理器，內(nèi)存為4 GB，操作系統(tǒng)為Windows7.軟件環(huán)境平臺為MATLAB R2012a.

3.1 時域稀疏信號

機械裝備中，當某個零件出現(xiàn)松動、脫落后將會產(chǎn)生沖擊信號，一定條件下，沖擊信號呈現(xiàn)一定的時域稀疏性.為研究提出算法對時域稀疏時變信號的壓縮性能，隨機生成一個信號長度N=512的稀疏信號.由于信號在時域是稀疏的，采樣過程中只需測量矩陣對原始信號進行采樣，試驗中兩種算法的壓縮比均取為50%.小波壓縮重構算法采用Morlet小波作為母小波進行小波包分解，分解層數(shù)為3層.采用Huffman編碼對系數(shù)記性編碼.圖2中，f指原始信號，xp指TvCS算法重構信號，sd指小波壓縮重構信號.RMSE1:0.000 025是原始信號與TvCS算法重構信號之間的均方根誤差，RMSE2:4.502 514是原始信號與小波壓縮重構信號之間的均方根誤差.試驗結果表明，在同等壓縮比的情況下，TvCS算法的信號重構能力要好于小波壓縮重構算法.上文RMSE的計算式為

圖2 時域稀疏信號的壓縮與重構Fig.2 Compression and reconstruction of time-domain sparse signal

3.2 非時域稀疏無噪聲信號

為更近一步說明本文算法的時變信號壓縮能力，選擇非時域稀疏信號作為測試信號，對提出的算法進行實驗，測試信號長度N=102 4.信號是以3.4和9.1 Hz為基頻的正弦及其各次諧波的線性疊加，表達式如下:

頻域稀疏信號的壓縮與重構如圖3所示.

由圖3可知，小波壓縮重構信號與原始信號之間的均方根誤差為0.260 2，本文提出算法的均方根誤差為0.142 0.由此可知，對于非時域稀疏無噪聲信號，TvCS算法的信號重構能力要好于小波壓縮重構算法.

為研究提出算法壓縮比例對信號恢復的影響，本文進行如下對比實驗.在不同的壓縮比下分別測試相應重構信號與原始信號的均方根誤差.實驗結果如圖4所示.由圖可知，隨著采樣原子的個數(shù)增加(壓縮比例減小)，算法的信號恢復能力逐漸增強.當壓縮比例為25%時，算法的信號恢復能力基本趨于穩(wěn)定，RMSE達到0.25左右.

圖3 頻域稀疏信號的壓縮與重構Fig.3 Compression and reconstruction of frequency-domain sparse signal

圖4 壓縮率與重構信號均方根誤差關系Fig.4 Relationship between compression rate and RMSE of the reconstructed signal

3.3 非時域稀疏含噪信號

工業(yè)現(xiàn)場工況復雜，采集的數(shù)據(jù)往往是振動信號和噪聲的混合信號[17].因此，為驗證提出的算法對于含噪聲信號的壓縮和去噪能力，本文進行了如下實驗進行驗證:

在實驗信號中加入隨機噪聲z，即信號表達式變?yōu)?/p>

式中:z∈N(0，t).在原始信號有噪聲情況下，壓縮感知的優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

式中:ε為誤差項.

圖5中，由上至下分別是非時域稀疏含噪信號、本文算法壓縮重構信號和小波壓縮重構信號.本文提出的算法選取DFT矩陣為稀疏矩陣，隨機矩陣為測量矩陣，重構算法采用基于l1范數(shù)最小化的Lasso算法.信號長度為N=1 024，稀疏性為256，松弛稀疏為1×10-5.小波壓縮算法中，小波基函數(shù)為Morlet小波，對原始信號進行3層分解.選用全局閥值進行信號的壓縮處理，閥值取為40.由圖5可知，在當前參數(shù)條件下，本文算法重構后的信號與未加入噪聲的原始信號之間的RMSE為0.545 1，信噪比(RNS)為 -23.801 1.而小波壓縮重構后的信號與未加入噪聲的原始信號之間的RMSE 為0.864 3，信噪比 RNS 為 -24.033 3.結果表明，本文提出的方法相對于小波重構的方法壓縮性能好，并且有較強的去噪能力.

圖5 頻域稀疏含噪信號的壓縮與重構Fig.5 Compression and reconstruction of frequency-domain sparse signal tainted by noise

4 實驗分析

4.1 實驗設備

為進一步驗證TvCS的有效性和實用性，在長征718機床上采集主軸系統(tǒng)正常狀態(tài)振動信號并進行實驗，實驗系統(tǒng)如圖6所示.

圖6 試驗平臺示意圖Fig.6 Schematic of experimental platform

在圖6中，主軸系統(tǒng)前端安裝INV9832型加速度振動傳感器，監(jiān)測主軸系統(tǒng)狀態(tài).振動信號經(jīng)過INV1870型調(diào)理儀調(diào)理后，由PCI-1710采集卡采集至工控機.振動信號采樣頻率為10 kHz，采樣持續(xù)時間20 s.

4.2 算法驗證

為驗證本文算法TvCS的有效性，將TvCS與小波壓縮進行對比.圖7分別正常工作狀態(tài)下不同壓縮比的保留能量百分比和均方根誤差的關系.

圖7 壓縮比與均方根誤差和保留能量百分比關系Fig.7 Compression rate vs RMSE and energy retention rate

由圖7可以看出，在同樣壓縮比的情況下，TvCS比小波的壓縮效果要好，TvCS更能保障振動信號的質量.設置壓縮比為45%，比較兩種在此壓縮比下的重構信號，如圖8所示.圖8由上至下分別為原始信號、TvCS壓縮重構信號、小波壓縮重構信號.由圖8可以看出，TvCS的重構RMSE為4.6×10-6，小波壓縮的重構 RMSE 為6.6 ×10-6.

圖8 對主軸振動信號通過不同壓縮算法的重構信號Fig.8 Spindle vibration signals reconstructed by different algorithms

5 結論

本文以機械振動時變信號為研究對象，以壓縮感知技術為理論基礎，構造了稀疏矩陣和信號感知矩陣，實現(xiàn)了原始信號的壓縮，最后通過優(yōu)化求解的方法對原始信號進行重構.理論和實驗結果表明，本文提出的方法對于時變信號具有很好的壓縮能力，并且能夠有效地去除信號中的噪聲成分.本文算法可應用于機械振動信號的采集、遠程傳輸和信號去噪等工程實踐.

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