馬景義，肖佳寧

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081）

含景氣參數(shù)的非負(fù)lasso改進(jìn)算法及其在指數(shù)跟蹤中的應(yīng)用

馬景義，肖佳寧

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081）

以lasso算法為模型基礎(chǔ)，在中國(guó)市場(chǎng)不允許做空的條件下，改進(jìn)非負(fù)lasso算法，將市場(chǎng)景氣因素應(yīng)用到模型中，得到含景氣參數(shù)的超額收益與跟蹤誤差的平衡模型。以上證180指數(shù)為投資標(biāo)的，模擬熊市和牛市投資狀態(tài)下的指數(shù)跟蹤。在牛市時(shí)，設(shè)定景氣參數(shù)為0，最小化跟蹤誤差以獲取市場(chǎng)平均收益；熊市時(shí)，跟蹤組合對(duì)超額收益的獲取表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在熊市獲取超額收益需要承擔(dān)更大風(fēng)險(xiǎn)。用含景氣參數(shù)的非負(fù)lasso算法跟蹤指數(shù)，為業(yè)界提供了一種新的指數(shù)跟蹤方法。

非負(fù)lasso；市場(chǎng)景氣；指數(shù)跟蹤；超額收益

一、引 言

改革開放以來，中國(guó)經(jīng)濟(jì)得到了飛速發(fā)展，GDP躍居世界第二位，為中國(guó)資本市場(chǎng)的投資提供了大量的資金基礎(chǔ)。中國(guó)證券市場(chǎng)經(jīng)過了近20年的發(fā)展，指數(shù)市場(chǎng)逐漸完善，如今形成了上證指數(shù)系列、深證指數(shù)系列、中證指數(shù)系列等多種指數(shù)。隨著指數(shù)的發(fā)展，機(jī)構(gòu)投資者不斷壯大，市場(chǎng)指數(shù)化投資產(chǎn)品越來越多。在市場(chǎng)以個(gè)體投資為主向以機(jī)構(gòu)投資為主的轉(zhuǎn)化中，指數(shù)化投資產(chǎn)品可以作為良好的風(fēng)險(xiǎn)控制工具。在這些投資產(chǎn)品的運(yùn)營(yíng)中，需要對(duì)目標(biāo)指數(shù)進(jìn)行跟蹤，選擇多種股票構(gòu)造一個(gè)投資組合，使其表現(xiàn)盡可能地接近目標(biāo)指數(shù)。

指數(shù)跟蹤投資理論發(fā)展至今，用于跟蹤指數(shù)的方法越來越多，主要分為完全復(fù)制法和優(yōu)化復(fù)制法，大多數(shù)指數(shù)基金的管理中選擇完全復(fù)制跟蹤。完全復(fù)制法雖然簡(jiǎn)單、易操作，但是需要以一個(gè)較完善成熟的資本市場(chǎng)為條件，同時(shí)需要付出較多的交易成本。優(yōu)化復(fù)制法是選擇部分目標(biāo)指數(shù)的成分股構(gòu)建投資組合，將跟蹤誤差控制在一定的范圍內(nèi)，在考慮交易成本和資本受限的條件下，良好的優(yōu)化復(fù)制法可以成為指數(shù)跟蹤中的重要方法。

指數(shù)基金作為指數(shù)化投資產(chǎn)品的典型代表，其表現(xiàn)與市場(chǎng)收益接近，當(dāng)面對(duì)牛市市場(chǎng)劇烈波動(dòng)的情況下，指數(shù)基金可以尋求最大的平衡提供較高的收益。指數(shù)跟蹤追求更多的是擬合指數(shù)，縮小跟蹤誤差，卻忽視了超額收益以及兩者之間的平衡問題。當(dāng)指數(shù)跟蹤的表現(xiàn)好于目標(biāo)指數(shù)時(shí)，就會(huì)獲得超過市場(chǎng)平均水平的超額收益，雖然在指數(shù)跟蹤這種消極投資模式下，追求指數(shù)的超額收益不是其主要的目的，但在獲取與指數(shù)同樣的收益下得到超額收益仍是很多基金經(jīng)理人追求的目標(biāo)。這種投資管理模式相當(dāng)于在消極投資里追求一定的高收益。

本文基于數(shù)據(jù)挖掘方法，試圖在消極投資的管理模式下，實(shí)現(xiàn)隨投資市場(chǎng)景氣狀況的不同而變化投資組合的目標(biāo)。本文選用上證180指數(shù)，改進(jìn)非負(fù)lasso算法，建立了一個(gè)基于股票市場(chǎng)景氣狀況的動(dòng)態(tài)投資模型，以實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差與超額收益之間的平衡，并以上證180指數(shù)為投資標(biāo)的進(jìn)行實(shí)證分析。

二、文獻(xiàn)綜述

指數(shù)基金的出現(xiàn)，發(fā)展了指數(shù)跟蹤的研究理論。在跟蹤方法、影響因素、跟蹤誤差等方面，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者都做了相應(yīng)的研究。國(guó)外學(xué)者在跟蹤方法的研究中，分別提出了因素模型、二次規(guī)劃模型、模糊決定理論、線性回歸等方法用于確定指數(shù)跟蹤中成分股的權(quán)重［1－4］。考慮影響因素與跟蹤誤差方面，Colwell等把指數(shù)跟蹤問題看成在連續(xù)時(shí)間里的套期保值問題，運(yùn)用動(dòng)態(tài)方法，在局部風(fēng)險(xiǎn)最小化的原則下選擇跟蹤組合［5］；Fernando等提出了“跟蹤邊緣曲率”，作為新標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)指數(shù)跟蹤問題，基于這一標(biāo)準(zhǔn)下的研究表明，這種方法對(duì)減少投資組合的交易成本具有一定效果［6］。

在國(guó)內(nèi)研究中，二次優(yōu)化模型、協(xié)整優(yōu)化法、遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等研究方法被用于指數(shù)跟蹤的研究中［7－9］；結(jié)合影響因素與跟蹤誤差對(duì)指數(shù)跟蹤的作用，劉柏清等將現(xiàn)金和收益率比重變化的關(guān)系考慮進(jìn)模型，得到了使用脈沖控制策略來研究指數(shù)跟蹤最優(yōu)化問題的必要條件［10］；方衛(wèi)東等采用市值權(quán)重模型和最優(yōu)化模型構(gòu)建跟蹤滬深300指數(shù)的投資組合，并通過實(shí)證得出最優(yōu)化模型的跟蹤效果要優(yōu)于市值權(quán)重模型的結(jié)論［11］。

指數(shù)跟蹤問題的研究中，從構(gòu)成目標(biāo)指數(shù)的眾多成分股中選出股票并確定其權(quán)重，可以在選取變量這一框架下進(jìn)行研究，Tibshirani提出的lasso算法，能較有效地解決多變量選擇問題［12］。自lasso算法提出后，先后有學(xué)者在指數(shù)跟蹤研究中應(yīng)用該算法。梁斌等在LARS算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)得到了非負(fù)的LARS-Lasso算法，用于跟蹤滬深300指數(shù)，為指數(shù)投資組合提供了一種新方法［13］；Lan Wu等運(yùn)用multiplicative updates的方法提出了一種非負(fù)約束的lasso算法。該方法易于理解算法簡(jiǎn)單，并被應(yīng)用于對(duì)滬深300指數(shù)的跟蹤［14］。

綜合當(dāng)前對(duì)指數(shù)跟蹤及其應(yīng)用的研究，可以看出根據(jù)股票市場(chǎng)環(huán)境調(diào)整指數(shù)跟蹤目標(biāo)的文獻(xiàn)很少。在股票市場(chǎng)不同景氣狀況下，指數(shù)跟蹤的目標(biāo)不同。指數(shù)基金作為指數(shù)跟蹤應(yīng)用的典型代表，在牛市的劇烈波動(dòng)下，指數(shù)基金的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)得更加明顯，在跟蹤誤差與超額收益平衡方面，更傾向于縮小跟蹤誤差，以追求牛市平均收益；在熊市時(shí)，市場(chǎng)整體處于不景氣的狀況，但是并不是所有的股票都表現(xiàn)不佳，總會(huì)存在表現(xiàn)優(yōu)于市場(chǎng)平均水平的股票，此時(shí)指數(shù)跟蹤的目標(biāo)主要集中在超額收益的獲取上，試圖挖掘出表現(xiàn)優(yōu)于平均市場(chǎng)的股票進(jìn)行投資。

三、投資市場(chǎng)景氣狀況及上證180波動(dòng)分析

2014年上半年，在全球主要股指的漲幅排名榜上，深證成指與上證綜指分別居倒數(shù)第一和倒數(shù)第三，特別是上證綜指還在此期間創(chuàng)下了有史以來半年度震幅最窄的紀(jì)錄，可以看出近半年來的股票投資市場(chǎng)仍處于投資低迷期。8月末的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)顯示，本外幣貸款余額同比增長(zhǎng)13．2%，人民幣貸款余額同比增長(zhǎng)13．3%，增速分別比上月末和去年同期低0．1個(gè)和0．8個(gè)百分點(diǎn)，廣義貨幣（M2）余額同比增長(zhǎng)12．8%，增速分別比上月末和去年同期低0．7個(gè)和1．9個(gè)百分點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)表明經(jīng)濟(jì)下行壓力加大，大盤將再次在高位承壓，股票投資市場(chǎng)仍然不明朗。

圖1 上證180指數(shù)走勢(shì)圖

上證180指數(shù)，由原來的上證30指數(shù)經(jīng)上海證券交易所調(diào)整后并重命名得到，其樣本股為180只所有A股市場(chǎng)股票中最能代表市場(chǎng)的股票。該指數(shù)于2007年7月1日正式發(fā)布，目的在于構(gòu)造一個(gè)體現(xiàn)上證市場(chǎng)的概況和運(yùn)行狀態(tài)、具有可操作性和投資性、能夠成為投資評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)和金融衍生品基礎(chǔ)的基準(zhǔn)指數(shù)。當(dāng)前，市場(chǎng)交易中已推出了以上證180指數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)的投資基金，該投資指數(shù)的出現(xiàn)，加強(qiáng)了上證180指數(shù)在投資市場(chǎng)上的活躍性，增加了對(duì)該指數(shù)的關(guān)注度。圖1列示了上證180指數(shù)自2013年7月1日以來的走勢(shì)圖，可以看出在2013年的下半年該指數(shù)顯示一定的走高趨勢(shì)，而2014年的上半年指數(shù)顯示走低狀態(tài)，下半年到10月為止，則表現(xiàn)出了走高的傾向。總體來看，上證180的走向比較平緩，也體現(xiàn)了投資指數(shù)獲取市場(chǎng)平均收益的可能性。

四、投資模型的建立

（一）跟蹤誤差

跟蹤誤差用于衡量投資組合跟蹤目標(biāo)指數(shù)的收益效果，表示為指數(shù)跟蹤組合的收益率與目標(biāo)指數(shù)收益率之差的平方和，即：

（二）超額收益

超額收益用于衡量投資組合的收益與指數(shù)收益之間的大小關(guān)系，說明投資組合的表現(xiàn)是否優(yōu)于目標(biāo)指數(shù)的表現(xiàn)，表示為投資組合的收益率與目標(biāo)指數(shù)收益率之差，即：

（三）非負(fù)lasso改進(jìn)算法

在中國(guó)的交易市場(chǎng)中，指數(shù)跟蹤的做空交易是不容許的，所以應(yīng)用算法時(shí)需要限定股票的權(quán)重不能小于0，即回歸系數(shù)不能小于0，所以需要解決的模型問題為如下形式：

當(dāng)出現(xiàn)下面情形時(shí)，系數(shù)值的前進(jìn)方向需要改變：

剔除已選變量：一個(gè)變量的系數(shù)沿著某個(gè)方向前進(jìn)過程中達(dá)到0值，這時(shí)候需要將這個(gè)變量從活躍集中剔除。

改進(jìn)的非負(fù)lasso的算法，迭代步驟為：

五、實(shí)證分析

用于指數(shù)跟蹤的數(shù)據(jù)為日度數(shù)據(jù)，區(qū)間選定在2013年7月2日至2014年10月23日，其中2013年7月2日至2014年7月31日的266個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，2014年8月1日至2014年10月23日的54個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本。數(shù)據(jù)來源于wind數(shù)據(jù)系統(tǒng)。

（一）模擬牛市選股

牛市時(shí)，指數(shù)跟蹤能夠在股市的波動(dòng)中獲取市場(chǎng)平均收益。此時(shí)設(shè)定投資市場(chǎng)景氣參數(shù)a＝0，使指數(shù)跟蹤選股的組合收益能夠盡可能擬合指數(shù)收益。

以訓(xùn)練集跟蹤誤差最小為標(biāo)準(zhǔn)確定λ值，選取了122只股票，跟蹤誤差為0．006 0%。這122只股票的權(quán)重由圖2給出。圖3列示了選取的前10只股票的系數(shù)路徑圖，對(duì)應(yīng)于表3，表示前10只股票的信息，可以看出金融服務(wù)行業(yè)對(duì)指數(shù)跟蹤有較大的影響，權(quán)重最大的前10只股票均屬于金融服務(wù)行業(yè)，有8只股票來自于上市的銀行業(yè)，1只來自于證券業(yè)，1只來自于保險(xiǎn)業(yè)。用選定的122只股票以及權(quán)重模擬跟蹤未來54天的指數(shù)投資，得到訓(xùn)練樣本外跟蹤誤差為0．006 1%。這54天的投資期內(nèi)指數(shù)收益為1．6%，模擬的投資組合收益為2．1%。在這一選股過程中，首先被選進(jìn)的前10只股票情況如表1所示。

圖2 選出的122只股票及權(quán)重

圖3 首先被選進(jìn)的前10支股票的系數(shù)路徑圖

表1 權(quán)重最大的前10只股票

（二）模擬熊市選股

訓(xùn)練樣本的投資期為266天，投資期內(nèi)的指數(shù)收益為8．8%，測(cè)試樣本的投資期為54天，投資期內(nèi)的指數(shù)收益為1．6%，可以看出股票市場(chǎng)投資的景氣并不好，2014年上半年，中國(guó)股票投資市場(chǎng)處于投資低迷期，因此本部分模擬熊市投資狀況下的選股情況。

設(shè)置投資市場(chǎng)景氣參數(shù)分別為0．01、0．02、0．03、0．04，代表不同的投資市場(chǎng)景氣狀況，參數(shù)值越大，表示市場(chǎng)景氣狀況越低。表2列示了不同景氣參數(shù)的指數(shù)跟蹤效果，并與簡(jiǎn)單非負(fù)lasso、簡(jiǎn)單非負(fù)lasso與最小二乘法結(jié)合（非負(fù)lasso選出股票后用最小二乘法確定權(quán)重）構(gòu)造的投資組合的跟蹤效果作比較，比較指標(biāo)為衡量跟蹤組合跟蹤效果的三個(gè)指標(biāo)：日均超額收益、日均跟蹤誤差和信息比率。

超額收益：收益率超越標(biāo)的指數(shù)的收益率的部分。

跟蹤誤差：超額收益的方差，越小說明投資組合越能緊密跟蹤標(biāo)的指數(shù)。

信息比率：超額收益除以跟蹤誤差，即每單位主動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)帶來的超額收益，信息比率越高說明跟蹤組合持續(xù)超越標(biāo)的指數(shù)的表現(xiàn)越好，在嚴(yán)格控制風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)贏取超額收益，才能取得較高的信息比率。

通過比較可以看出，加入景氣參數(shù)的非負(fù)lasso改進(jìn)算法模擬的投資組合，在超額收益的獲取上表現(xiàn)明顯優(yōu)于其他兩種方法，實(shí)現(xiàn)了在熊市時(shí)獲取超越市場(chǎng)收益的目標(biāo)；該方法構(gòu)造的投資組合的跟蹤誤差比其他兩種算法的大；在信息比率的比較上，對(duì)于訓(xùn)練集樣本，本文所提方法構(gòu)造的投資組合表現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)：在四組投資組合中，信息比率均高于簡(jiǎn)單非負(fù)lasso構(gòu)造的投資組合，當(dāng)景氣參數(shù)設(shè)定為0．03和0．04時(shí)，信息比率高于非負(fù)lasso算法與最小二乘結(jié)合構(gòu)造的投資組合，說明在投資市場(chǎng)越不景氣時(shí)，本文所用方法優(yōu)勢(shì)越明顯，對(duì)于測(cè)試集的預(yù)測(cè)結(jié)果，其信息比率優(yōu)勢(shì)弱于非負(fù)lasso算法與最小二乘結(jié)合構(gòu)造的投資組合，但是在超額收益方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。這說明在熊市時(shí)，要想超越市場(chǎng)獲取更高的收益，需要承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)。

表2 三種方法構(gòu)造的投資組合的比較

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者，在當(dāng)前市場(chǎng)景氣狀況下，會(huì)設(shè)定景氣參數(shù)為0．04，選擇38支股票構(gòu)造投資組合跟蹤指數(shù)，圖4和圖5分別列示了用非負(fù)lasso改進(jìn)算法模擬投資組合的訓(xùn)練集和測(cè)試集的累積超額收益情況?？梢钥闯鲈谟?xùn)練集的采樣期間，上證180指數(shù)的累積收益呈現(xiàn)一定的下降趨勢(shì)，反映了該段時(shí)間內(nèi)較為低迷的市場(chǎng)狀況。模擬投資組合的累積收益明顯高于指數(shù)收益。測(cè)試集的采樣區(qū)間內(nèi)，上證180指數(shù)的累積收益呈現(xiàn)平穩(wěn)上漲，但存在一定的走低趨勢(shì)，模擬投資組合的累積收益與指數(shù)收益走勢(shì)相同，但累積收益額高于指數(shù)收益。

圖4 訓(xùn)練集的累積收益對(duì)比圖

圖5 測(cè)試集的累積收益對(duì)比圖

六、結(jié) 論

指數(shù)跟蹤是消極投資的典型代表，跟蹤指數(shù)能夠獲得市場(chǎng)收益，有效地規(guī)避非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。指數(shù)跟蹤需要確定的是用于跟蹤的成分股及其權(quán)重，直接決定了獲得收益的多少。傳統(tǒng)的指數(shù)跟蹤追求完美的擬合指數(shù)，獲得與指數(shù)一樣的收益，卻忽略了指數(shù)跟蹤的超額收益以及與最小化跟蹤誤差之間的平衡問題，本文將投資市場(chǎng)景氣因素應(yīng)用到模型中，根據(jù)不同的投資市場(chǎng)狀況確定超額收益與跟蹤誤差之間的平衡關(guān)系。以lasso算法為模型基礎(chǔ)，在中國(guó)市場(chǎng)不允許做空的限制下，改進(jìn)了非負(fù)lasso算法，得到超額收益與跟蹤誤差的平衡模型。

本文以上證180指數(shù)為標(biāo)的指數(shù)，研究了其在2013年7月2日至2014年10月23日期間的收益情況，利用改進(jìn)的非負(fù)lasso算法構(gòu)造跟蹤組合，分別模擬了牛市和熊市的選股過程。在牛市時(shí)，設(shè)定景氣參數(shù)為0，以最小化跟蹤誤差獲取市場(chǎng)平均收益為目標(biāo)；熊市時(shí)，設(shè)定不同的景氣參數(shù)，分析了超額收益、跟蹤誤差、信息比率這三個(gè)衡量跟蹤效果的指標(biāo)，可以看出跟蹤組合在超額收益的獲取上表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也得到在熊市獲取超額收益就需要承擔(dān)更大風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)論。

在牛市的劇烈波動(dòng)下，指數(shù)基金的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)明顯，利用改進(jìn)的非負(fù)lasso算法構(gòu)造跟蹤組合時(shí)可以縮小投資市場(chǎng)景氣參數(shù)，以最小化跟蹤誤差為主要目標(biāo)，追求牛市平均收益；在熊市時(shí)，市場(chǎng)處于不景氣的狀況，但是并不是所有的股票都表現(xiàn)不佳，總會(huì)存在表現(xiàn)優(yōu)于市場(chǎng)的股票，此時(shí)可以增大投資景氣參數(shù)，試圖挖掘出表現(xiàn)優(yōu)于平均市場(chǎng)收益的股票進(jìn)行投資。對(duì)景氣參數(shù)的確定，需要對(duì)市場(chǎng)景氣走勢(shì)有較準(zhǔn)確的判斷，綜合利用各種信息，準(zhǔn)確把握好市場(chǎng)的走向。

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Improved Algorithm of Nonnegative Lasso Including Prosperity Parameter and Application in Index Tracking

MA Jing－yi，XIAO Jia-ning
（School of Statistic and Mathematics，Central University of Finance and Economics，Beijing 100081，China）

The paper provides the improved algorithm based on nonnegative lasso to balance the relation between excess return and tracking error．The algorithm is the improvement of lasso under the short sale limitation in China securities market，which includes the factor of investment market prosperity．The empirical analysis simulates index tracking of CISSE180under the conditions of bull market and bear market．In bull market，by setting the prosperity parameter 0，we minimize tracking error and aim to gain the average level of the market return．In bear market，the portfolios have strong advantages in gaining excess return and we conclude that high return corresponds to high risk．By the application of the improved algorithm，this paper provides a new method for the area in index tracking．

nonnegative lasso；market prosperity；index tracking；excess return

F224．0∶F830．91

A

1007－3116（2015）07－0016－06

2015－02－07

中央財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目《含市場(chǎng)景氣因子的雙參數(shù)非負(fù)lasso算法的指數(shù)跟蹤技術(shù)：方法與應(yīng)用研究》（201407）

馬景義，男，甘肅金昌人，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)；

肖佳寧，女，吉林省吉林人，碩士生，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管理。

（責(zé)任編輯：崔國(guó)平）