孫新城,葉 軍,陳建能,吳加偉,李 健

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018; 2.浙江省種植裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018;3.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江紹興 312000)

高階變性巴斯噶蝸線非圓齒輪傳動(dòng)特性分析

孫新城1,2,3,葉 軍1,2,陳建能1,2,吳加偉1,2,李 健1,2

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018; 2.浙江省種植裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310018;3.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江紹興 312000)

建立了高階變性巴斯噶蝸線齒輪及其共軛非圓齒輪的節(jié)曲線方程,采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算巴斯噶蝸線齒輪傳動(dòng)的中心距,推導(dǎo)了變性高階巴斯噶蝸線非圓齒輪副凹凸性判別模型,分析了高階變性巴斯噶蝸線齒輪的重合度影響因素。利用Matlab編寫了可視化的人機(jī)交互巴斯噶蝸線非圓齒輪仿真設(shè)計(jì)軟件,可根據(jù)用戶的輸入條件計(jì)算其傳動(dòng)比、凹凸性、中心距,給出節(jié)曲線并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模擬。

非圓齒輪; 巴斯噶蝸線; 高階齒輪; 變性齒輪; 中心距; 重合度

0 引 言

常見的非圓齒輪有偏心圓齒輪、橢圓齒輪和巴斯噶蝸線非圓齒輪等,可以實(shí)現(xiàn)周期性非勻速傳動(dòng)。非圓齒輪機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)和連桿機(jī)構(gòu)都能夠?qū)崿F(xiàn)非勻速傳動(dòng),但是非圓齒輪具有傳動(dòng)效率高、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、工作可靠等優(yōu)點(diǎn),已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1-2]。陳明等[3]應(yīng)用兩對偏心圓-非圓齒輪作為驅(qū)動(dòng)部分,設(shè)計(jì)了四葉片差速泵;趙勻等[4]在插秧機(jī)分插機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)上應(yīng)用了巴斯噶蝸線齒輪。

在相關(guān)的巴斯噶蝸線齒輪及其共軛的非圓齒輪的研究中,文獻(xiàn)[5-9]給出了節(jié)曲線的方程和中心距、節(jié)曲線長度、基礎(chǔ)圓半徑和壓力角的計(jì)算方法,并且由節(jié)曲線方程推導(dǎo)出齒形方程,任廷志等[10]還進(jìn)一步推導(dǎo)了高階巴斯噶蝸線齒輪表達(dá)式及其中心距的近似公式,但是這些研究都僅局限于傳動(dòng)比對稱周期性變化的情況。為此,本文提出了一種高階變性巴斯噶蝸線齒輪,可以滿足周期內(nèi)傳動(dòng)比非對稱的非勻速傳動(dòng)要求,并對其中心距計(jì)算、凹凸性判別、重合度影響因素等問題進(jìn)行研究,以進(jìn)一步拓展非圓齒輪的研究和應(yīng)用領(lǐng)域。

1 巴斯噶蝸線非圓齒輪的節(jié)曲線和中心距的方程

為分析方便,將涉及到的相關(guān)參數(shù)列于表1。

表1 相關(guān)參數(shù)說明

一般情況的巴斯噶蝸線齒輪及與其共軛非圓齒輪的節(jié)曲線(一階不變性)如圖1所示。主動(dòng)輪1為巴斯噶蝸線齒輪節(jié)曲線,從動(dòng)輪2為與主動(dòng)輪1共軛的非圓齒輪節(jié)曲線。其中主動(dòng)輪1的巴斯噶蝸線齒輪節(jié)曲線方程為:

r1=bcosφ1+l

(1)

圖1 巴斯噶蝸線齒輪及與其共軛非圓齒輪的節(jié)曲線

(2)

即:

(3)

(4)

從而得到高階變性巴斯噶蝸線齒輪,其主動(dòng)輪1節(jié)曲線方程為:

(5)

式中,r11、r12分別為第一和第二段變性極徑。

根據(jù)非圓齒輪節(jié)曲線的封閉性條件得到如下關(guān)系式:

(6)

由式(6)得到的中心距a和由式(5)得到的高階變性巴斯噶蝸線齒輪節(jié)曲線,得出從動(dòng)輪2的節(jié)曲線方程如下:

(7)

2 中心距的數(shù)值計(jì)算方法

任廷志等[7]用留數(shù)定理推算出高階巴斯噶蝸線共軛非圓齒輪副的近似中心距計(jì)算公式,但留數(shù)定理不能用于高階變性巴斯噶蝸線齒輪副中心距的求解。本文通過式(6)的封閉條件和中心距方程,提出一種采用優(yōu)化設(shè)計(jì)中的進(jìn)退法來搜索中心距值所在的區(qū)間,然后再用黃金分割法得到較精確的中心距的方法。具體的實(shí)現(xiàn)方式是先用進(jìn)退法來搜索一定的單峰區(qū)間,然后再用黃金分割法進(jìn)行計(jì)算得到中心距數(shù)值[8-10]。

使用進(jìn)退法首先是給定中心距的初始值x0=2l、單位步長h和初始的區(qū)間[x1,x2],即:x1=x0,x2=x0+h,同時(shí)構(gòu)建函數(shù):

(8)

然后計(jì)算F1=F(x1)和F2=F(x2),如果F1F4(x4),則令x1=x3。如果F3(x3)

圖2 中心距計(jì)算流程

3 高階變性巴斯噶蝸線非圓齒輪副凹凸性判別模型的建立

非圓齒輪的凹凸性影響著齒輪的強(qiáng)度、加工的方便性及其傳動(dòng)的平穩(wěn)性,因此需要對其凹凸性進(jìn)行判別[11]。根據(jù)微分幾何,曲線上各點(diǎn)曲率半徑的計(jì)算公式為[12]:

(9)

主動(dòng)輪和從動(dòng)輪曲率半徑的計(jì)算公式如下:

(10)

(11)

將傳動(dòng)比計(jì)算公式及式(1)分別代入式(10)及式(11)中,可以得到主動(dòng)輪任意角位移時(shí)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪曲率半徑的計(jì)算公式:

(12)

(13)

對式(5)求一階、二階導(dǎo)數(shù)得:

(14)

(15)

(主動(dòng)輪第1段極徑求導(dǎo)。)

(16)

(17)

(主動(dòng)輪第2段極徑求導(dǎo)。)

式(14)和式(15)用于求解主動(dòng)輪節(jié)曲線第1段凹凸性,式(16)和式(17)用于求解主動(dòng)輪節(jié)曲線第2段凹凸性。

(18)

即:

(19)

同理,可推導(dǎo)主動(dòng)輪第2段節(jié)曲線上無內(nèi)凹的條件為:

(20)

所以主動(dòng)輪節(jié)曲線上無內(nèi)凹的條件為:

(21)

由公式(13)可知非圓從動(dòng)齒輪2為外凸的條件:

(22)

(23)

由文獻(xiàn)[6]中近似中心距計(jì)算可得:

(24)

(25)

所以節(jié)曲線上無內(nèi)凹的條件為:

(26)

綜上所得,由上式(21)得ε≤0.5,當(dāng)ε=0.25代入式(26)中,可以得到不凹的條件:

(27)

4 巴斯噶蝸線非圓齒輪重合度影響因素研究

(28)

(29)

重合度ε為:

(30)

其中:hα1為主動(dòng)非圓齒輪的齒頂高系數(shù),hα2為從動(dòng)非圓齒輪的齒頂高系數(shù),α0為齒條刀具的齒形角,一般α0=20°。

圖3 非圓齒輪副嚙合時(shí)的重合度計(jì)算

依照式(28)—(30)和Matlab軟件程序,得出以下不同因素對重合度影響的比較圖形,如圖4—圖7。本文中參數(shù)初始值為:m=3 mm、b=8 mm、l=24 mm、n1=1、n2=1、m11=1。

圖4 不同發(fā)生圓b的重合度

圖5 不同模數(shù)m的重合度

圖6 不同展長l的重合度

圖7 不同變性系數(shù)m11的重合度

從上可知:

a) 隨著發(fā)生圓直徑b的增大,模數(shù)的增大或者是展長l的減小,最小重合度是越來越小的;

b) 當(dāng)展長l遠(yuǎn)大于發(fā)生圓直徑b,重合度曲線趨向平穩(wěn),而且重合度最大;

c) 模數(shù)m的變化所引起的重合變化明顯的大于展長l和發(fā)生圓直徑b;

d) 變性系數(shù)m11對于重合度的影響不是很大,還能局部提高齒輪的重合度。

5 巴斯噶蝸線非圓齒輪分析設(shè)計(jì)軟件及應(yīng)用

5.1 巴斯噶蝸線非圓齒輪分析設(shè)計(jì)軟件

本文以Windows Xp操作系統(tǒng)為系統(tǒng)平臺(tái),以Matlab為開發(fā)平臺(tái),利用Matlab圖形用戶界面設(shè)計(jì)和Matlab強(qiáng)大矩陣運(yùn)算能力編寫巴斯噶蝸線非圓齒輪分析設(shè)計(jì)軟件[11],如圖8。該軟件的主要功能有:a)根據(jù)b和l的輸入?yún)?shù)來判斷參數(shù)是否符合要求,并進(jìn)行凸凹性校驗(yàn);b)計(jì)算中心距,生成主從動(dòng)齒輪的節(jié)曲線,并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真;c)生成傳動(dòng)比、加速度和速度的特性曲線,并輸出最大和最傳動(dòng)比;d)生成節(jié)曲線曲率中心軌跡圖,輸出最大和最小曲率半徑值、傳動(dòng)時(shí)最大和最小壓力角。

圖8 高階變性巴斯噶蝸線齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)仿真軟件

5.2 設(shè)計(jì)實(shí)例及圖形仿真結(jié)果

例:發(fā)生圓直徑b=10 mm,展長l=40 mm,n1=1,n2=2,m11分別取1.2和2時(shí),齒輪嚙合傳動(dòng)的節(jié)曲線如圖9所示。它們的中心距都為a=121.8 mm。

圖9 齒輪節(jié)曲線的凹凸性判斷

由編寫的軟件獲得以m11=1.2的高階變性巴斯噶蝸線齒輪的傳動(dòng)比和重合度變化情況,如圖10所示。

圖10 高階變性巴斯噶蝸線齒輪特性曲線

從圖10中的曲線中,可以清晰地看出當(dāng)前參數(shù)下的高階變性巴斯噶蝸線齒輪的傳動(dòng)比和重合度變化情況,方便巴斯噶蝸線齒輪設(shè)計(jì)。

6 結(jié) 論

a) 提出了高階變性巴斯噶蝸線齒輪的新型非圓齒輪傳動(dòng)形式,推導(dǎo)了高階變性巴斯噶蝸線齒輪及其共軛非圓齒輪的節(jié)曲線表達(dá)模型,并應(yīng)用了數(shù)值積分來求解中心距。

b) 建立了變性高階巴斯噶蝸線非圓齒輪副凹凸性判別模型,分析了蝸線齒輪的重合度影響因素。

c) 根據(jù)所推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型,編寫了高階變性巴斯噶蝸線齒輪及其共軛齒輪輔助分析軟件,可根據(jù)用戶的輸入條件計(jì)算其傳動(dòng)比、凹凸性、中心距,給出節(jié)曲線并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模擬,用戶可以根據(jù)軟件輸出結(jié)果,判斷所分析的高階變性巴斯噶蝸線齒輪副是否滿足具體設(shè)計(jì)目標(biāo)及傳動(dòng)要求。

[1] 劉永平,吳序堂,李鶴岐,等.常見的凸封閉節(jié)曲線非圓齒輪副設(shè)計(jì)[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2007,38(6): 143-146.

[2] Bair B W.Computer aided design of non: standard elliptical geardrives[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,2002,216(4): 473-483.

[3] 陳 明,王廣林,劉福利,等.葉片差速泵偏心圓-非圓齒輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005,41(3): 89-101.

[4] 廖 偉,趙 勻,方明輝.巴斯噶蝸線齒輪在分插機(jī)構(gòu)上的應(yīng)用和參數(shù)優(yōu)化[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,26(3): 547-550.

[5] 劉永平,孟鵬飛.巴斯噶蝸線型齒輪的嚙合特性及數(shù)字制造技術(shù)研究[J].設(shè)計(jì)與研究,2011(12): 90-93.

[6] 孫 桓,陳作模,葛文杰.機(jī)械原理[M].北京: 高等教育出版社,2006: 158-162.

[7] 任廷志,程愛明,景奉儒.蝸線齒輪及其共軛齒輪的幾何分析與仿真[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2006,42(9): 71-77.

[8] 王亞洲,胡赤兵,劉永平,等.Pascal蝸線型齒輪滾切插補(bǔ)算法對比[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),2014(1): 46-49.

[9] 任廷志,劉 才.節(jié)曲線向徑按余弦規(guī)律變化的齒輪與非圓齒輪共軛的研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2004,40(10): 181-184.

[10] 任廷志,劉大偉,賁紅艷.蝸線齒輪副的設(shè)計(jì)與傳動(dòng)[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2013,30(1): 55-58.

[11] 趙 勻.農(nóng)業(yè)機(jī)械計(jì)算機(jī)輔助分析和設(shè)計(jì)[M].北京: 清華大學(xué)出版社,1998: 163-188.

[12] 張德豐.MATLAB數(shù)值計(jì)算方法[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,2010: 60-96.

(責(zé)任編輯：康 鋒)

Analysis on Non-circular Gears Transmission Characteristic of High-Order Deformed Pascal Spiral Line

SUNXin-cheng1,2,3,YEJun1,2,CHENJian-neng1,2,WUJia-wei1,2,LIJian1,2

(1.School of Mechanical Engineering & Automation,Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018,China; 2.Zhejiang Province Key Laboratory of Transplanting Equipment and Technology,Hangzhou 310018,China; 3.Zhejiang Industry Polytechnic College,Shaoxing 312000,China)

Pitch curve equation of high-order deformed Pascal spiral line gear and conjugate non-circular gear was established.Numerical computation method was used to calculate center-to-center spacing of Pascal spiral line gear transmission.Concavity and convexity discrimination model of non-circular gear pair of high-order deformed Pascal spiral line was inferred.Besides,this paper also analyzed factors influencing contact ratio of high-order deformed Pascal spiral line gear transmission.Matlab software was adopted to compile simulation design software for visual man-machine interaction of Pascal snail line non-circular gear.The transmission ratio,concavity and convexity as well as center-to-center spacing can be calculated according to users’ input conditions.If the pitch curve is given,motion simulation can be conducted.

non-circular gear; pascal spiral line; high-order gear; deformed gear; centre-to-centre spacing; contact ratio

1673-3851 (2015) 02-0203-06

2014-06-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275481);浙江省科技廳公益項(xiàng)目(2014C32024);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(博導(dǎo)類)(20123318110001);浙江理工大學(xué)科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)專項(xiàng)

孫新城(1979-),男,山東濰坊人,博士研究生,主要從事機(jī)構(gòu)分析方面的研究。

陳建能,E-mail:jiannengchen@zstu.edu.cn

TH132.424

A