楊永輝，劉 睿，李 華

(1.西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024；2.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077)

嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

楊永輝1，劉 睿2，李 華2

(1.西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024；2.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077)

針對(duì)嫦娥三號(hào)軟著陸的軌道設(shè)計(jì)和控制策略進(jìn)行研究。首先，采用開普勒第一、二定律求出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的相對(duì)速度與著陸點(diǎn)的相對(duì)位置。其次,將嫦娥三號(hào)軟著陸過程分為六個(gè)階段,利用動(dòng)力學(xué)微分方程，針對(duì)每個(gè)階段，建立消耗燃料最少為目標(biāo)的優(yōu)化模型。由開關(guān)控制理論與極小值原理,得到六個(gè)階段的點(diǎn)火時(shí)間和推力。最后，通過穩(wěn)定性分析，可知本文所設(shè)計(jì)的控制策略軌道具備誤差小、敏感性低的優(yōu)點(diǎn)。

開關(guān)控制；平滑度矩陣；搜索算法

0 引言

開發(fā)月球資源，建立月球基地已成為世界航天活動(dòng)的必然趨勢(shì)與競(jìng)爭(zhēng)熱點(diǎn)。我國(guó)已邁出航天深空探測(cè)第一步，開展月球探測(cè)工作。而在月球表面實(shí)現(xiàn)軟著陸則是月球勘探的重要前提。嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖(即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力)為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號(hào)已于北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸，其如何實(shí)現(xiàn)軟著陸已成為全世界關(guān)注的焦點(diǎn)。

Apollo系列則是通過宇航員觀測(cè)著陸區(qū)并操縱人控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了避障和安全著陸。鳳凰號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)了火星軟著陸,其采用了事先篩選高概率安全著陸區(qū)來(lái)避免大障礙的危害[1]。NEAR探測(cè)器首次實(shí)現(xiàn)了小行星著陸任務(wù),但由于姿控誤差較大等原因,探測(cè)器未能實(shí)現(xiàn)避障就繼續(xù)向小行星表面下降了[2-8]。

嫦娥三號(hào)的核心任務(wù)是實(shí)施高可靠高安全的月面軟著陸,要求著陸器必需具備自主障礙識(shí)別與規(guī)避能力。本文針對(duì)嫦娥三號(hào)軟著陸的軌道設(shè)計(jì)和控制策略進(jìn)行研究。

首先，采用開普勒第一、二定律求出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的相對(duì)速度與著陸點(diǎn)的相對(duì)位置。

其次,將嫦娥三號(hào)軟著陸過程分為六個(gè)階段,利用動(dòng)力學(xué)微分方程，分別針對(duì)每個(gè)階段，建立消耗燃料最少為目標(biāo)的優(yōu)化模型。由開關(guān)控制的理論與極小值原理,得到六個(gè)階段的點(diǎn)火時(shí)間和推力。

最后，通過穩(wěn)定性分析，可知本文所設(shè)計(jì)的控制策略軌道具備誤差小、敏感性低的優(yōu)點(diǎn)。

1 嫦娥三號(hào)軟著陸過程的六個(gè)階段

嫦娥三號(hào)軟著陸過程分為六個(gè)階段，如圖1所示。

圖1 嫦娥三號(hào)軟著陸過程示意圖

2 嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的相對(duì)速度與著陸點(diǎn)的相對(duì)位置

為了確定著陸準(zhǔn)備軌道中近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的相對(duì)速度與相對(duì)位置，本文將其轉(zhuǎn)化為求解主減速階段與快速調(diào)整階段中探月器產(chǎn)生水平位移之和的問題。

圖2 近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)示意圖

2.1 嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度

由開普勒第一定律知，嫦娥三號(hào)圍繞月球的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓軌道,在由近月點(diǎn)A到遠(yuǎn)月點(diǎn)B的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

(1)

由開普勒第二定律得到：

(2)

其中，m為嫦娥三號(hào)的質(zhì)量，M為月球質(zhì)量，RA為近月點(diǎn)到月心的距離，RB為遠(yuǎn)月點(diǎn)到月心的距離，vA為嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的速度，vB為嫦娥三號(hào)在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度。由式(2)可得：

vA=1.69km/s，方向沿橢圓軌道的切線方向指向著陸點(diǎn)；vB=1.14km/s，方向與近月點(diǎn)速度方向相反。

2.2 近月點(diǎn)及遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置

嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置取決于主減速階段、調(diào)整階段的嫦娥三號(hào)水平位移。

2.2.1 嫦娥三號(hào)在主減速階段水平位移

對(duì)嫦娥三號(hào)在主減速階段降落的分析得圖3：

圖3 主減速階段示意圖

此階段嫦娥三號(hào)距月球表面的海拔變化為15000m～3000m。t為嫦娥三號(hào)從近月點(diǎn)到距月球表面某一高度的時(shí)間間隔，u為嫦娥三號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，v為嫦娥三號(hào)的瞬時(shí)飛行速度，g為月球表面的重力加速度，v0為嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的速度，即：v0=vA，v1為嫦娥三號(hào)到達(dá)距離月球表面3000m時(shí)的水平速度，v2為嫦娥三號(hào)到達(dá)距離月球表面3000m時(shí)豎直速度，v12為嫦娥三號(hào)到達(dá)距離月球表面3000m的速度，ve是以米/秒為單位的比沖，x1為此階段嫦娥三號(hào)的水平位移。則：

(3)

利用Matlab可求得非線性方程的解為：

v1=56.0425m/s，v2=11.0699m/s，t1= 137.2116s，x1=214667.5m

2.2.2 嫦娥三號(hào)在快速調(diào)整階段降落過程中的水平位移

此階段嫦娥三號(hào)距月球表面的海拔變化為3000m～2400m。假設(shè)此階段的推力不變，且嫦娥三號(hào)到距月球表面2400m時(shí)，水平速度為零。為保證降落過程中燃料消耗最少，此階段的推力方向平行于月球表面。

設(shè)u1為此階段發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，x2為此階段嫦娥三號(hào)的水平位移。則

(4)

利用Matlab中的牛頓迭代法求非線性方程的解：

t2=30.6822m/s，u1=4055.8N，x2=859.8m

近月點(diǎn)到著陸點(diǎn)之間的水平距離為：x=x1+x2=215530m

由3.2.1與3.2.2可知，近月點(diǎn)距著陸點(diǎn)的水平距離為215.5km，豎直方向距離15km。遠(yuǎn)月點(diǎn)距著陸點(diǎn)的水平距離為215.5km，豎直方向距離100km。

3 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

根據(jù)圖1所示的六個(gè)階段，逐段進(jìn)行軟著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。

3.1 主減速階段

主減速階段的狀態(tài)方程如下：

(5)

(6)

終端的橫截條件為：

(λ1(tf),λ2(tf),λ3(tf))=(γ1,γ2,-1)

(7)

得最優(yōu)控制u*(t)為：

圖4 水平速度分量的v-t圖像

圖5 豎直速度分量的v-t圖像

(8)

其中M′為嫦娥三號(hào)無(wú)燃料時(shí)的質(zhì)量。

m(t)=-ka(t-τ)+m(τ)

(9)

為了直觀形象地研究探月器的運(yùn)動(dòng)，在相平面(v(t),h(t))上繼續(xù)討論探月器的運(yùn)動(dòng)軌跡。

在主減速階段的后半段，u*(t)=a，且當(dāng)t=tf時(shí)h(tf)=3000，v(tf)=57，tf-τ=td，代入式(9)中得到

(10)

(11)

在主減速階段前半段u=0，由(9)得

兩條運(yùn)動(dòng)軌跡作圖如下：

圖6 運(yùn)動(dòng)軌跡

兩條運(yùn)動(dòng)軌跡的交點(diǎn)為最優(yōu)控制的切換點(diǎn)，由圖6可以看出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)無(wú)限接近于坐標(biāo)原點(diǎn)，可認(rèn)為從探月器進(jìn)入主減速階段的時(shí)刻開始，開關(guān)函數(shù)控制主發(fā)動(dòng)機(jī)提供最大推力。

主減速階段嫦娥三號(hào)從近月點(diǎn)開始點(diǎn)火，主發(fā)動(dòng)機(jī)以最大推力來(lái)提供減速動(dòng)力，主減速階段結(jié)束時(shí)，水平速度v1=56.0425m/s，豎直速度v2=11.0699m/s，歷時(shí)t1= 137.2116s，嫦娥三號(hào)的質(zhì)量：m1=2262.8kg。

3.2 快速調(diào)整階段

此階段嫦娥三號(hào)距月球表面的海拔變化為3000m～2400m。根據(jù)主減速階段的最優(yōu)控制策略，我們將探月器在快速調(diào)整階段主發(fā)動(dòng)機(jī)提供的減速動(dòng)力也進(jìn)行開關(guān)控制，使發(fā)動(dòng)機(jī)在切換時(shí)刻τ之前提供恒定的水平最大推力，使之水平速度減小到零，而在切換時(shí)刻τ之后不提供推力，以此來(lái)減小燃料消耗。

以月球表面3000米的時(shí)刻為零時(shí)刻，建立動(dòng)力學(xué)方程：

求解得到：x3=464.93m，t3=16.6s，h1=358.23m

3.3 粗避障階段

此階段嫦娥三號(hào)距月球表面的海拔變化為2400m～100m。分為兩個(gè)部分，一個(gè)部分是控制啟動(dòng)主發(fā)動(dòng)機(jī)控制豎直推力的時(shí)刻，使燃料消耗最少；另一部分是啟動(dòng)姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)控制水平推力，使探月器粗步避開大隕石坑。

3.3.1 控制豎直推力

根據(jù)最優(yōu)控制策略，減小燃料消耗，將探月器在粗避障階段主發(fā)動(dòng)機(jī)提供的減速動(dòng)力也進(jìn)行開關(guān)控制，使發(fā)動(dòng)機(jī)在切換時(shí)刻τ之前不提供推力，而在切換時(shí)刻τ之后，提供恒定的豎直向上的最大推力。

根據(jù)上述減速動(dòng)力控制原則，嫦娥三號(hào)在豎直方向上先進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)行加速度不斷變大的減速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)竭_(dá)距月球表面100m時(shí)豎直方向上的速度減小到零，并保持懸停。

設(shè)t5表示自由落體的時(shí)間，制動(dòng)時(shí)間為t6，h2表示自由落體過程中下降的高度。

由Matlab解得：t5=30.78s，h2=2041m，t6=16.76s。到達(dá)距月球表面距離為100米時(shí)，嫦娥三號(hào)的質(zhì)量m3=2169.1kg。

3.3.2 控制水平推力

將2400m處高程圖(圖7)導(dǎo)入到2300×2300的矩陣A中，

并計(jì)算矩陣中各點(diǎn)的平滑度η：

得到平滑度矩陣

以2400米處高程圖的圖像中心點(diǎn)為中心輻射，搜索平滑度矩陣中4×4范圍內(nèi)平滑度之和小于篩選精度μ1的點(diǎn)，令μ1=0.5，求得圖像中心左上方點(diǎn)的位置坐標(biāo)。

以此類推，找到圖像全部范圍內(nèi)符合篩選精度的點(diǎn)，從而找到距離圖像中心點(diǎn)最近的點(diǎn)作為粗避障的目標(biāo)點(diǎn)，坐標(biāo)為(1150,1145)，距預(yù)定著陸點(diǎn)的水平距離為5m。

圖7 2400m處高程圖

3.3 精避障階段

將100m處的高程圖的圖像(圖8)導(dǎo)入到1000×1000的矩陣B中，

計(jì)算矩陣中各點(diǎn)的平滑度η(同粗避障階段)，得到平滑度矩陣，以圖像中心點(diǎn)輻射，搜索平滑度矩陣中10×10范圍內(nèi)平滑度之和小于篩選精度μ的點(diǎn)，此時(shí)我們?cè)O(shè)定μ=10，求得圖像中心左上方所有點(diǎn)的位置坐標(biāo)。

圖8 100m處高程圖

以此類推，找到圖像全部范圍內(nèi)符合篩選精度的點(diǎn)，從而找到距離圖像中心點(diǎn)最近的點(diǎn)作為精避障的目標(biāo)點(diǎn)，即最終的實(shí)際著陸點(diǎn)，坐標(biāo)為(445,500)，距預(yù)定著陸點(diǎn)的垂直距離為5.5m。

3.4 緩速下降階段

此階段嫦娥三號(hào)距月球表面的海拔變化為100m～4m，根據(jù)燃料消耗最小原則，將探月器在上述兩個(gè)階段主發(fā)動(dòng)機(jī)提供的減速動(dòng)力進(jìn)行開關(guān)控制，使發(fā)動(dòng)機(jī)在切換時(shí)刻τ之前不提供推力，而在切換時(shí)刻τ之后，提供恒定的豎直向上的最大推力。

根據(jù)上述減速動(dòng)力控制原則，嫦娥三號(hào)在豎直方向上先進(jìn)行自由落體運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)行加速度不斷變大的減速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)竭_(dá)距月球表面100m時(shí)豎直方向上的速度減小到零，并保持懸停。

此過程中的自由落體的時(shí)間t7=10.4s，制動(dòng)時(shí)間t8=5.2s，此過程中自由落體過程中下降的高度：h3=70.3m。

3.5 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

六個(gè)階段控制策略如表1所示：

表1 嫦娥三號(hào)軟著陸控制策略表

4 誤差與靈敏度分析

4.1 誤差分析

本文用實(shí)際著陸點(diǎn)和預(yù)定著陸點(diǎn)的直線距離來(lái)刻畫偏離預(yù)定著陸點(diǎn)位置的程度。

在快速調(diào)整階段，距月球表面2400米高度時(shí)水平方向產(chǎn)生的偏差：

x1=859.8-464.93=394.87m

在避障階段(包括粗避障和精避障)，實(shí)際著陸點(diǎn)與預(yù)定著陸點(diǎn)之間的水平距離x2=5m，垂直距離x3=5.5m

4.2 敏感度分析

在粗避障與精避障階段，改變?chǔ)?,μ2的值，可得不同的篩選數(shù)量，見表2：

表2 粗避障與精避障篩選精度與篩選數(shù)量關(guān)系表

參數(shù)μ1的敏感度為0。

[1]BonfiglioEP,AdamsD,CraigL,etal.LandingsitedispersionanalysisandstatisticalassessmentfortheMarsPhoenixLander[C]//AstrodynamicsSpecialistConferenceandExhibit.Hawaii:AIAA,2008:7348.

[2]KubotaT,HashimotoT,KawaguchiJ,etal.GuidanceandnavigationofHayabusaspacecraftforasteroidexplorationandsamplereturnmission[C]//InternationalJointConference.Busan:SICE-ICASE,2006:2793-2796.

[3] 劉少創(chuàng)，賈陽(yáng)，馬友青,等.嫦娥三號(hào)月面巡視探測(cè)器高精度定位[J].科學(xué)通報(bào),2015(4):372-378.

[4] 趙育善，師鵬.航天器飛行動(dòng)力學(xué)建模理論與方法[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2012:85-115.

[5] 吳滄浦，夏元清，楊毅.最優(yōu)控制的理論與方法[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2013:105-134.

[6] 胡壽松，王執(zhí)銓，胡維禮.最優(yōu)控制的理論與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2005:46-76.

[7] 馬明亮，王超，施潤(rùn)和，等.嫦娥一號(hào)IIM高光譜數(shù)據(jù)和月球軌道器LOLADEM數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)與月表地形校正及評(píng)價(jià)[J].地球信息科學(xué)學(xué)報(bào),2015(1):118-125.

[8] 李培佳，黃勇，昌勝騏,等.基于地基觀測(cè)的嫦娥三號(hào)著陸器與巡視器高精度定位[J].科學(xué)通報(bào),2014(32):3162-3173.

[責(zé)任編輯、校對(duì)：周 千]

Trajectory-design and Control-strategy of Chang'E-3 Soft-landing

YANGYong-hui1,LIURui2,LIHua2

(1.Northwest Institute of Nuclear Technology, Xi'an 710024,China;2.Faculty of Science, Xi'an Aeronautical University, Xi'an 710077, China)

In this paper, the trajectory-design and control-strategy of the Chang'E-3 soft-landing is studied.At first, the relative velocity and position at the pericynthion and apocynthion are given by Kepler's first and second laws.Then, the Chang'E-3 soft-landing process is divided into six phases.For every phase, the optimization model whose object is minimum fuel consumption is found by the dynamic differential equation.We get the ignition time and thrust of six phases by switch control theory and minimal value principle.At last, it is concluded through stability analysis that the trajectory-design and control-strategy of the Chang'E-3 soft-landing in this paper has advantages such as smaller error and lower sensitivity.

switch control theory; smoothness matrix; search algorithm

2015-03-26

楊永輝(1980-)，男，山西聞喜人，工程師，從事空間技術(shù)方面的研究。

V

A

1008-9233(2015)03-0014-06