羅 黎 孫蓓蓓 陳翰翔

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

基于網(wǎng)格變形與代理模型的橫梁參數(shù)化建模與輕量化優(yōu)化

羅 黎 孫蓓蓓 陳翰翔

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

建立了包含導(dǎo)軌結(jié)合面的橫梁有限元模型,并通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了有限元模型的正確性,在多種極限工況下對(duì)原橫梁進(jìn)行了靜動(dòng)態(tài)特性分析與評(píng)價(jià);針對(duì)現(xiàn)有優(yōu)化方法的不足,采用了一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法:通過(guò)網(wǎng)格變形技術(shù)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)尺寸的參數(shù)化建模,基于拉丁超立方采樣、相對(duì)靈敏度分析和Kriging近似模型建立橫梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化的代理模型以代替現(xiàn)有的有限元仿真模型;以體積最小為優(yōu)化目標(biāo),以剛度、強(qiáng)度和動(dòng)態(tài)性能不變?yōu)榧s束條件,采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)．優(yōu)化結(jié)果表明:在保持橫梁最大變形、靜剛度以及一階模態(tài)頻率基本不變的情況下,橫梁總質(zhì)量減少了58 kg(減少了5.9%)．

參數(shù)化;網(wǎng)格變形技術(shù);輕量化;代理模型

數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床是一種加工多孔薄板的沖裁設(shè)備,橫梁是數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床的送料機(jī)構(gòu),其動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能直接關(guān)系到送料的準(zhǔn)確性,同時(shí)也影響板材的加工精度和送料速度.隨著數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床工作速度的提高,橫梁的輕量化成為保證加工精度和高速度的必然要求．

目前,國(guó)內(nèi)外輕量化設(shè)計(jì)主要有3種途徑[1]:合理采用質(zhì)量較輕或剛度較高的金屬或非金屬材料[2]、對(duì)原有結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)及基于先進(jìn)控制技術(shù)的系統(tǒng)輕量化設(shè)計(jì)．

橫梁輕量化的關(guān)鍵是建立準(zhǔn)確的有限元模型,由于沖床橫梁結(jié)構(gòu)復(fù)雜,各部件間存在大量結(jié)合面,傳統(tǒng)的建模方法忽略結(jié)合面的影響,將各部件間進(jìn)行剛性連接,這與實(shí)際結(jié)構(gòu)存在較大的誤差. 在現(xiàn)有工程優(yōu)化方法中,大多直接將仿真模型與優(yōu)化算法耦合,這通常會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程的低效,因?yàn)閮?yōu)化迭代中仿真分析需要消耗大量的計(jì)算成本[3],此外,優(yōu)化中有限元網(wǎng)格會(huì)產(chǎn)生穿透和單元質(zhì)量問(wèn)題,使得單次仿真失效而導(dǎo)致整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的終止．

針對(duì)以上問(wèn)題,本文采用一種全新的集成優(yōu)化設(shè)計(jì)方法, 在建立各部件準(zhǔn)確的結(jié)合面模型基礎(chǔ)上,利用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)與變形實(shí)現(xiàn)橫梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)化有限元建模,將壁厚和實(shí)體結(jié)構(gòu)尺寸同時(shí)取為設(shè)計(jì)變量,運(yùn)用拉丁超立方技術(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行采樣和靈敏度分析,篩選掉對(duì)橫梁性能影響較小的設(shè)計(jì)變量,建立基于Kriging近似模型的優(yōu)化代理模型,并采用遺傳算法(GA)實(shí)現(xiàn)橫梁輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì),取得了較好的輕量化設(shè)計(jì)效果．

1 橫梁有限元模型的建立與靜動(dòng)態(tài)特性分析

1.1 幾何模型與網(wǎng)格劃分

如圖1所示,數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁主要由橫梁方管、滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)、電機(jī)、軸溜板、護(hù)罩等組成,橫梁通過(guò)電機(jī)帶動(dòng)滾珠絲杠實(shí)現(xiàn)加工板材沿X,Y方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)．

利用CAD軟件Solidworks對(duì)幾何模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理:忽略工藝上的倒角和倒圓以及連接用的小直徑孔;為了提高計(jì)算精度與速度,對(duì)薄板結(jié)構(gòu)(L/H>10,L為板長(zhǎng),H為板高)進(jìn)行抽殼處理;為了避免劃分的網(wǎng)格出現(xiàn)畸形和結(jié)構(gòu)模型出現(xiàn)病態(tài),合并位置較近的節(jié)點(diǎn)．由于機(jī)床橫梁整體結(jié)構(gòu)較大,為了提高有限元模型的計(jì)算精度,節(jié)省計(jì)算時(shí)間與空間,將實(shí)體結(jié)構(gòu)劃分為六面體網(wǎng)格,薄板結(jié)構(gòu)劃分為四邊形面網(wǎng)格．

圖1 橫梁三維CAD模型

1.2 連接方式及邊界條件的確定

機(jī)床常用的連接方式主要有焊接、鉚接、螺栓連接等,此外機(jī)床上存在大量的結(jié)合面,如滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面．本文主要考慮焊接、滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面這2種連接方式,在Hyperworks軟件中可以通過(guò)CWELD單元、CELAS1彈簧單元來(lái)實(shí)現(xiàn),該數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁各部件連接方式如表1所示．

橫梁主要通過(guò)Y進(jìn)給方向?qū)к壟c機(jī)身相連,故在有限元中約束導(dǎo)軌底部6個(gè)方向自由度,與實(shí)際情況相符．

表1 橫梁各部分連接方式

1.3 導(dǎo)軌結(jié)合面參數(shù)識(shí)別

研究表明[4],機(jī)床中結(jié)合部接觸剛度約占整機(jī)總剛度的 60%,結(jié)合部接觸阻尼約占整機(jī)總阻尼的90%.機(jī)床結(jié)合部很大程度上影響了整機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性,模型中是否考慮結(jié)合面,其計(jì)算結(jié)果相差幾倍甚至幾十倍,因此本文考慮了結(jié)合面這一因素.實(shí)驗(yàn)測(cè)試是獲取結(jié)合面參數(shù)最有效的方法,圖2分別為Y,X方向?qū)к墝?shí)頻和虛頻特性曲線(xiàn),圖中，A為幅值.在實(shí)頻特性曲線(xiàn)的拐點(diǎn)處(即與頻率軸交點(diǎn)處)可以確定出該階模態(tài)的共振頻率wn,根據(jù)機(jī)械振動(dòng)理論可知

(1a)

ζ=(c/2)Mwn

(1b)

(1c)

式中,K為接觸剛度;M為滑塊質(zhì)量;ζ為模態(tài)阻尼比;c為接觸阻尼．

通過(guò)計(jì)算得到滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面接觸參數(shù),如表2所示．

表2 滾動(dòng)導(dǎo)軌接觸面剛度和阻尼參數(shù)

1.4 橫梁有限元模態(tài)分析

采用Hypermesh軟件對(duì)零部件劃分網(wǎng)格,并建立相應(yīng)的連接關(guān)系,有限元模型如圖3所示,網(wǎng)格總數(shù)為274 042,計(jì)算X軸溜板位于中間時(shí)橫梁的約束模態(tài);模態(tài)實(shí)驗(yàn)采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的方法(選取橫梁端部一點(diǎn)為激勵(lì)點(diǎn),橫梁結(jié)構(gòu)框架上均勻布置多個(gè)響應(yīng)點(diǎn)),錘擊激勵(lì)頻率范圍為0～1 000 Hz．將橫梁模態(tài)測(cè)試結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比后,得到固有頻率最大誤差為6.8%,這個(gè)誤差在允許范圍內(nèi)．有限元計(jì)算的前4階振型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的前4階振型如圖4所示(模態(tài)實(shí)驗(yàn)的第2階振型未激勵(lì)出來(lái)).由圖可見(jiàn)，第1階振型表現(xiàn)為橫梁兩端上下振動(dòng),相位相差180°;第3階振型表現(xiàn)為橫梁基本不動(dòng),底下支架上下振動(dòng);第4階振型表現(xiàn)為橫梁兩端上下振動(dòng),且相位一致．通過(guò)上述分析可以看出，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型與有限元計(jì)算模態(tài)振型相一致,因此驗(yàn)證了本文所建有限元模型的正確性．

(a) Y方向?qū)к墝?shí)頻特性曲線(xiàn)

(b) X方向?qū)к墝?shí)頻特性曲線(xiàn)

(c) Y方向?qū)к壧擃l特性曲線(xiàn)

(d) X方向?qū)к壧擃l特性曲線(xiàn)

圖3 橫梁有限元模型

(a) 第1階，有限元 (b) 第1階，實(shí)驗(yàn)

(c) 第3階，有限元 (d) 第3階，實(shí)驗(yàn)

(e) 第4階，有限元 (f) 第4階，實(shí)驗(yàn)

1.5 橫梁危險(xiǎn)工況靜動(dòng)態(tài)性能分析

表3 橫梁模態(tài)測(cè)試與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由于X軸溜板在左右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,對(duì)橫梁的動(dòng)態(tài)性能影響較大,尤其是在2個(gè)極限位置(最左邊與最右邊)的情況下,橫梁的動(dòng)態(tài)性能較差,加工精度較低．本文對(duì)3種工況(X軸溜板在最左邊、中間、最右邊)進(jìn)行了計(jì)算,結(jié)果如表4所示.結(jié)果表明:X軸溜板在最左邊時(shí)一階固有頻率及沿Y方向靜剛度最低,變形量最大,因此,本文選取X軸溜板在最左邊位置時(shí)進(jìn)行后續(xù)的優(yōu)化計(jì)算．其性能參數(shù)如下:第1階固有頻率為21.3 Hz;橫梁加速度為1.2g時(shí)的最大變形為0.999 mm;橫梁端部施加2 kN力時(shí),橫梁沿Y方向最大變形量為0.107 mm(由于Y方向剛度對(duì)加工精度影響較大),橫梁Y方向靜剛度為

(2)

式中,F為橫梁端部施加的力;S為橫梁沿Y方向最大變形量．

表4 3種工況下橫梁性能參數(shù)

2 橫梁輕量化設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)橫梁進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)分析,得到了橫梁在最危險(xiǎn)工況下的性能參數(shù)．本文在保證橫梁一階固有頻率、最大變形量、Y方向靜剛度基本不變的前提下,對(duì)橫梁進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì),優(yōu)化流程如圖5所示．

2.1 基于網(wǎng)格變形技術(shù)的模型參數(shù)化

本文將結(jié)構(gòu)壁厚與結(jié)構(gòu)形狀作為設(shè)計(jì)變量,結(jié)構(gòu)壁厚屬于尺寸變量的范疇,較容易實(shí)現(xiàn);結(jié)構(gòu)形狀屬于形狀變量,實(shí)現(xiàn)難度較大,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中應(yīng)用較少[5-6].由于變量的參數(shù)化不易實(shí)現(xiàn),形狀優(yōu)化被視為是一個(gè)更具挑戰(zhàn)性的任務(wù),網(wǎng)格變形技術(shù)的出現(xiàn)為形狀優(yōu)化提供了有效的工具．

CAE模型的網(wǎng)格變形通過(guò)給定的表述形式實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)的移動(dòng),表述形式可以是矩陣表示的數(shù)學(xué)形式,也可以是由目標(biāo)形狀定義的幾何形式[7-8]．Hypermorph中網(wǎng)格變形過(guò)程主要通過(guò)可變形區(qū)域、變形控制節(jié)點(diǎn)和變形約束來(lái)實(shí)現(xiàn)．變形控制節(jié)點(diǎn)有多種變換方式,如平移、旋轉(zhuǎn)、比例縮放和投影等,變形約束是通過(guò)控制各節(jié)點(diǎn)之間的坐標(biāo)變化量來(lái)控制網(wǎng)格變形后模型的外形．變形過(guò)程中,只有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生改變,而網(wǎng)格編號(hào)及網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)間的拓?fù)潢P(guān)系不變,因此變形后網(wǎng)格不需要重新劃分．

圖5 優(yōu)化流程圖

本文建立了4個(gè)尺寸變量(變量1～變量4),采用上述方法創(chuàng)建了20個(gè)形狀變量(變量5～變量24)．根據(jù)每個(gè)零件的作用、成形特點(diǎn)、市場(chǎng)上的板材規(guī)格等因素確定設(shè)計(jì)變量的范圍,如表5所示．結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量示意圖如圖6所示.

表5 橫梁參數(shù)化設(shè)計(jì)變量 mm

2.2 橫梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)值代理模型的建立

本文基于拉丁超立方采樣、相對(duì)靈敏度分析和Kriging近似模型,建立數(shù)值代理模型,可以高效地實(shí)現(xiàn)優(yōu)化迭代,不僅解決了優(yōu)化有限元網(wǎng)格時(shí)產(chǎn)生的穿透和單元質(zhì)量問(wèn)題,而且避免了傳統(tǒng)優(yōu)化迭代中需要消耗大量計(jì)算成本的有限元仿真分析．該代理模型的建立有如下3個(gè)步驟:① 運(yùn)用拉丁超立方進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì);② 對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行相對(duì)靈敏度分析,篩選設(shè)計(jì)變量;③ 建立基于Kriging近似模型的優(yōu)化代理模型．

拉丁超立方采樣技術(shù)(LHS)是一種常用的研究多因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法．拉丁超立方采樣采用多維分層抽樣方法,對(duì)于k個(gè)試驗(yàn)因素的設(shè)計(jì)問(wèn)題,LHS的主要步驟為:① 將每個(gè)試驗(yàn)因素的設(shè)計(jì)空間按照概率相等的原則劃分為n個(gè)互不重疊的分區(qū),每個(gè)分區(qū)的概率為1/n;② 從設(shè)計(jì)因素的每一個(gè)分區(qū)中抽取一個(gè)樣本,對(duì)于k個(gè)試驗(yàn)因素,則有n×k個(gè)樣本;③ 將抽取到的樣本進(jìn)行隨機(jī)但不重復(fù)地配對(duì),最終形成具有n個(gè)樣本點(diǎn)的設(shè)計(jì)矩陣,即

Xm=[Xm1,Xm2,…,Xmk]m=1,2,…,n

(3)

靈敏度分析可篩選掉對(duì)橫梁模態(tài)頻率、最大變形、靜剛度性能敏感的設(shè)計(jì)變量[9]．一般來(lái)說(shuō)，靈敏度小的零件質(zhì)量也較小,即最大幅度地減小其結(jié)構(gòu)尺寸,橫梁質(zhì)量也難以有較大的降低.相反,靈敏度大的零件質(zhì)量也較大,但減輕這些零件的質(zhì)量會(huì)使橫梁各項(xiàng)性能參數(shù)下降較大,所以在進(jìn)行絕對(duì)靈敏度分析時(shí),可能會(huì)將質(zhì)量大、可減質(zhì)量的零部件忽略．因此，本文采用相對(duì)靈敏度(即質(zhì)量靈敏度與模態(tài)或剛度靈敏度的比值)來(lái)進(jìn)行靈敏度分析．圖7為模態(tài)相對(duì)靈敏度分析結(jié)果.由圖可見(jiàn)，相對(duì)靈敏度數(shù)值越大,說(shuō)明該設(shè)計(jì)變量對(duì)橫梁輕量化優(yōu)化越重要,是需要保留的設(shè)計(jì)變量．經(jīng)分析和篩選，發(fā)現(xiàn)模態(tài)、靜剛度、最大變形相對(duì)靈敏度值均排在后15位的設(shè)計(jì)變量(即共有8個(gè)設(shè)計(jì)變量)需篩掉．

近似模型的基本思想是通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法,在設(shè)計(jì)變量和相應(yīng)值之間建立一種現(xiàn)實(shí)的函數(shù)關(guān)系來(lái)近似復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題或函數(shù)．常用的近似模型方法有最小二乘法(LSR)、移動(dòng)最小二乘法(MLSM)、Kriging近似模型等, 其中Kriging近似模型在考慮精度和魯棒性時(shí)相對(duì)于其他近似模型是相對(duì)可靠的[10],故本文采用Kriging近似模型來(lái)建立橫梁的近似模型．

圖7 設(shè)計(jì)變量模態(tài)相對(duì)靈敏度

Kriging模型是一種基于統(tǒng)計(jì)理論,充分考慮變量空間相關(guān)特征的差值技術(shù)．模型中包含了線(xiàn)性回歸部分和隨機(jī)過(guò)程部分，即

y(X)=FT(X)β+Z(X)

(4a)

式中,F(X)為已知的回歸模型的基函數(shù),提供模擬的全局近似;β為基函數(shù)的回歸系數(shù);Z(X)為一個(gè)過(guò)程,具有以下性質(zhì):

E[Z(X)]=0

(4b)

E[Z(W),Z(X)]=δz2[R(θ,W,X)]

(4c)

式中,δz2為該隨機(jī)過(guò)程方差;R(θ,W,X)為點(diǎn)W和點(diǎn)X之間的變異函數(shù);θ為關(guān)聯(lián)模型的參數(shù),表示試驗(yàn)樣本之間的空間相關(guān)性．

為了提高近似模型的精度,采用試驗(yàn)樣本響應(yīng)值的線(xiàn)性組合來(lái)估計(jì)任意待測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)值,并使其響應(yīng)值與預(yù)測(cè)值之間的均方差最?。捎肏yperwork軟件近似(approximation)模塊來(lái)構(gòu)造Kriging代理模型,并通過(guò)殘差分析(即求解器提取的響應(yīng)值和由近似模型提取的響應(yīng)值之間的差異)來(lái)檢驗(yàn)近似模型的準(zhǔn)確性.圖8為體積響應(yīng)殘差圖,由圖可見(jiàn)，響應(yīng)點(diǎn)均勻落在直線(xiàn)兩側(cè),因而可以確定所建立的近似模型精度較高．

圖8 體積響應(yīng)殘差圖

2.3 基于遺傳算法的輕量化設(shè)計(jì)

遺傳算法是模擬自然界中生物的遺傳和變異過(guò)程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法,具有良好的全局優(yōu)化性能和穩(wěn)健性,且對(duì)搜索空間和目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有特殊要求．因此本文采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算．

本文將橫梁體積作為優(yōu)化目標(biāo),橫梁一階固有頻率、最大變形以及靜剛度作為約束條件,并在上述代理模型的基礎(chǔ)上,運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,優(yōu)化結(jié)果與原模型對(duì)比如表6所示.由表可見(jiàn),優(yōu)化后橫梁質(zhì)量減少了5.9%,而一階固有頻率變化了0.4%，最大變形變化了1.0%，橫梁靜剛度降低了1.8%,總體來(lái)說(shuō)，各約束條件變化較小,仍然滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求．橫梁總質(zhì)量減少了58 kg,輕量化效果較明顯．

表6 優(yōu)化前后性能參數(shù)對(duì)比

為了檢驗(yàn)代理模型的正確性,將優(yōu)化后的尺寸重新導(dǎo)入到有限元中進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表7所示.由表可見(jiàn)，代理模型與有限元計(jì)算結(jié)果之間的誤差在2%以?xún)?nèi),更進(jìn)一步說(shuō)明了所建立的代理模型的準(zhǔn)確性．

表7 代理模型與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)論

1) 針對(duì)數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),建立了包含導(dǎo)軌結(jié)合面的有限元模型,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了有限元模型的正確性,為后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)．

2) 針對(duì)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)大多采用單一變量(如結(jié)構(gòu)壁厚為設(shè)計(jì)變量)的不足,將網(wǎng)格變形技術(shù)應(yīng)用到橫梁結(jié)構(gòu)的輕量化優(yōu)化中,建立了以結(jié)構(gòu)壁厚和結(jié)構(gòu)形狀同時(shí)作為變量的參數(shù)化有限元模型．

3) 運(yùn)用拉丁超立方技術(shù)對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行了采樣,并采用相對(duì)靈敏度分析方法篩選設(shè)計(jì)變量,結(jié)合具有高精度、魯棒性較好的Kriging模型,擬合得到了用于橫梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化的代理模型,高效地實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化迭代,避免了傳統(tǒng)優(yōu)化迭代中需要消耗大量計(jì)算成本的有限元仿真分析．

4) 結(jié)合網(wǎng)格變形技術(shù)、代理模型技術(shù)和遺傳算法,對(duì)數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì),在保持橫梁性能參數(shù)基本不變的情況下,質(zhì)量減少了58 kg,減重為5.9%．

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Parametric modeling and lightweight optimization for cross beam of punch based on grid deformation and agent model

Luo Li Sun Beibei Chen Hanxiang

(School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China)

The finite element model for cross beam including guide joint surface is established, and the reliability of the model is validated through modal experiments. The static and dynamic analyses for the cross beam under different operating conditions are carried out. Due to the shortcomings of existing optimization methods, a new method is proposed. A parameterized model is set up through the mesh deformation technology. An agent model is built through Latin hypercube sampling, relative sensitivity analysis and the Kriging approximation model. Taking the volume as the goal, the stiffness, strength and the first order natural frequency as the constraint conditions, the lightweight design is produced by GA(genetic algorithms). The optimization results show that the mass of the cross beam can be reduced by 58 kg(5.9%), while the maximum deformation, strength and the first order natural frequency keep basically unchanged.

parameterization; mesh deformation technology; lightweight; agent model

2014-07-29. 作者簡(jiǎn)介: 羅黎(1990—)，女，碩士生；孫蓓蓓(聯(lián)系人)，女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，bbsun@seu.edu.cn.

江蘇省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(BE2014133)、江蘇省前瞻性聯(lián)合研究資助項(xiàng)目(BY2014127-01)、教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(UASP1301).

羅黎,孫蓓蓓,陳翰翔.基于網(wǎng)格變形與代理模型的橫梁參數(shù)化建模與輕量化優(yōu)化[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,45(1):56-62.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.01.011

TG385.1

A

1001-0505(2015)01-0056-07