洪菲菲

教學“2、3、5的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容時，學生作業(yè)中的一道錯題令筆者頗為不解。這是一道判斷題：個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。其實，隨意舉個例子都可以駁斥這句話，輕而易舉就能得出正確判斷。但奇怪的是，有不少學生都認為這句話對。學生們常以為“51、57、87”是質數(shù)，這也與學生對3的倍數(shù)特征不敏感有關。

一、深入開掘，剖析錯因

為什么看似簡單的學習內(nèi)容，學生卻難以接受，屢犯“低級錯誤”呢？

1.受“2和5的倍數(shù)特征”的負遷移

相比2、5的倍數(shù)的特征而言，3的倍數(shù)的特征不那么直觀明顯且易于理解。孩子們從認識1、2、3……開始，就已經(jīng)自覺不自覺地2個2個數(shù)數(shù)，5個5個數(shù)數(shù)，積累了非常豐富的2、5的倍數(shù)的經(jīng)驗，所以在學習2和5的倍數(shù)特征時，可謂輕而易舉，手到擒來。這些從小積累的數(shù)數(shù)經(jīng)驗，雖為學生學習2、5的倍數(shù)特征提供了堅實的基礎，但也對3的倍數(shù)特征的教學帶來了強烈的干擾，產(chǎn)生了巨大的負遷移作用。學生們習慣了在個位上找尋倍數(shù)特征，誤認為3的倍數(shù)特征也在個位上就情有可原了。

2.“浮于表面”的淺探究所致

要“對抗”學生固有的“個位情節(jié)”，需要教師在教學中引導學生深入探究。在教學“3的倍數(shù)特征”時，學生們雖也經(jīng)歷了“猜測—驗證—推翻猜想—再觀察—再猜測—再驗證—得出結論”的探究過程，但多數(shù)是浮于表面的淺探究。

（1）自己找，還是教師給？

學生在初次猜測3的倍數(shù)特征時，往往提出“個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”，這時讓學生列舉幾個數(shù)便可輕易推翻這條結論。然而，失去了唯一的可尋線索，學生往往陷入茫然。即便寫出了一些3的倍數(shù)，也難以從中找到新的思路。這時，大多數(shù)教師會適時提出——“把3的倍數(shù)的各位上的數(shù)相加，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”雖然教師的點撥為學生指出了一條“康莊大道”，但教師的“給予”能給學生留下多深的印象？這種教師指引下的“動作”是“自主探究”嗎？失去了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的過程，也就失去了探究的意義，無怪乎學生對“3的倍數(shù)特征”不敏感，這與教師的“給予”不無關系。

（2）知其然，還要知其所以然

在教師的指引下，學生計算了“12、15、18、21、24、27……”等數(shù)各位上的數(shù)的和，很快發(fā)現(xiàn)了3的倍數(shù)的特征。在總結出特征之后，教師往往讓學生進一步驗證，自己列舉一些數(shù)，看這條特征是否“放之四海皆準”。充分驗證之后，再引導學生總結出3的倍數(shù)特征，教學至此完成。只是，學生在總結出特征之后，心里是否會產(chǎn)生疑問——“為什么要將各位上的數(shù)相加呢？” 沒有解開這個心結，學生的掌握僅止在“操作層面”。缺少了對其中道理的理解，就如同“無源之水、無本之木”，犯錯誤也就在所難免。

二、對“癥”開方，由表及“理”

“2、5倍數(shù)的特征”的負面干擾不可避免，教師通過引導學生進行有效探究，則完全可以幫助學生真正掌握好這一內(nèi)容。

1.在有序排列中尋找規(guī)律

在2、5倍數(shù)特征的教學中，學生只要隨意寫出幾個2或5的倍數(shù)，即可很快發(fā)現(xiàn)其倍數(shù)特征。而3的倍數(shù)特征較為“隱蔽”，學生寫出一些3的倍數(shù)后，仍難以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。然而，規(guī)律只有經(jīng)由“獨立發(fā)現(xiàn)探索”才能真正進入學生們的心里。因此，教師可以利用百數(shù)圖，使3的倍數(shù)呈有序排列，以便學生在觀察的時候自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師不妨開展如下教學活動。

師：同學們，這是一張百數(shù)圖，請你們將3的倍數(shù)涂上顏色。（學生活動）

師：請你們觀察一下，這些3的倍數(shù)有沒有什么特征？你能找到什么規(guī)律嗎？

生：這些數(shù)都是斜著整齊排列的。

生：每一斜行上的數(shù)有規(guī)律，頭尾的數(shù)字調(diào)換過來了。比如右下角最后一斜行，69和96，78和87。其他斜行也有這樣的規(guī)律。

生：每個斜行上的數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)相加的和是一樣的。第一個斜行的數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)字相加等于3，第二斜行等于6，其他的分別等于9、12、15……

生：我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)兩個數(shù)位上的數(shù)的和有規(guī)律，都是3的倍數(shù)。

師：你們能大膽猜想一下，3的倍數(shù)有什么特征嗎？

生：把一個數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字相加，如果是3的倍數(shù)的話，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

師：這是你的猜想，有了猜想，我們還要……對，驗證。現(xiàn)在，請你們?nèi)我鈱懗鲆恍?shù)，先根據(jù)你們的猜想判斷一下是不是3的倍數(shù)，再實際算一算。

學生舉例驗證，全班交流……

在上述教學片段中，教師充分利用了百數(shù)圖這一學習工具，使3的倍數(shù)呈現(xiàn)有序排列，便于學生觀察，并自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想。學生經(jīng)這番“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想”的過程，將獲得更加深刻的切身體會，豐富其數(shù)學活動經(jīng)驗，從而促進對3的倍數(shù)特征的理解。這比教師“直接提示”效果要好得多。

2.在深入剖析中理解規(guī)律

學生經(jīng)歷了“提出猜想—舉例驗證—得出結論”之后，對3的倍數(shù)特征有了較為深刻的認識。然而，過了一段時間之后，學生對3的倍數(shù)特征遺忘得較多。究其原因，在于學生對3的倍數(shù)特征的認識僅止于“面”上，即學生僅從數(shù)的表面了解了3的倍數(shù)特征，而對于“為什么要將各個數(shù)位上的數(shù)字相加”則 一無所知，無怪乎學生容易遺忘。雖然教材中并未要求學生理解3的倍數(shù)特征其中的道理，但如果將其中算理稍作介紹，可以使學生的認識由表及“理”，更加深刻透徹，也就能避免一些錯誤的發(fā)生。

師：通過剛才的驗證，我們知道了3的倍數(shù)有什么特征？

生：把一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字相加，如果結果是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

師：關于3的倍數(shù)特征，你還有什么想了解的嗎？

生：我想知道，為什么要將各個數(shù)位上的數(shù)字相加來判斷是否是3的倍數(shù)，而不是看個位上的數(shù)呢？

師：這個問題很有價值，你們想過其中的道理嗎？141是不是3的倍數(shù)？

生：是。

師：我們來看看為什么可以用（1+4+1）的和來判斷141是否是3的倍數(shù)，你們瞧。

課件演示：

師：看明白了嗎？誰來說說為什么可以用（1+4+1）的和來判斷141是否是3 的倍數(shù)，這三個數(shù)字分別表示什么意思？

生：百位上是1個百，3個3個的分，還剩1;十位上是4個十，3個3個的分，還剩4;個位上是1，不能3個3個分，還剩1。三個數(shù)位上一共剩下（1+4+1=6）個小正方形，6還可以分成2個3，所以141是3的倍數(shù)。

師：以此類推，你們能不能再舉一個例子來說明一下。

在上述教學片段中，教師利用方格圖直觀演示，使學生清晰地看到將一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字相加來判斷是否是3的倍數(shù)的道理所在。對算理的進一步探究，捅破了學生認知中的最后一層“窗戶紙”，使之達到了“法”“理”相融、深入掌握的程度。

通過對一道錯題的深入分析，筆者發(fā)現(xiàn)，學生掌握一個數(shù)學知識點不能僅依靠教師口耳相授，也不能單純依賴機械模仿。學生只有自己發(fā)現(xiàn)、感悟、操作，才能豐富學習體驗，學好每一部分知識。且在掌握方法的同時，應該理解其中的道理所在，明晰了“理”，才能達到對知識的真正掌握。