摘 要：分形理論是近幾十年才開始興起和發(fā)展的一門學科，它在許多領域都有很廣泛的應用，本文主要探究分形理論在圖形設計與處理上的應用，提出了兩種算法，為時裝設計、家具設計、廣告設計等領域的圖形設計提供參考。

關鍵詞：分形理論；牛頓迭代；分形藝術圖；圖形設計與處理

一 、分形圖形學的產(chǎn)生及應用

分形理論創(chuàng)造于20世紀70年代初期，其研究對象為自然界和現(xiàn)實生活中廣泛存在的非規(guī)則而具有自相似特征的幾何形態(tài)。分形理論是一門新興的非線性學科，它是研究自然界不規(guī)則和復雜現(xiàn)象的科學理論和方法。對于千變?nèi)f化的不規(guī)則形態(tài)，人們習慣于用傳統(tǒng)的歐幾里得幾何理論來描述，主要是用直線段、圓弧、平面及曲面等手段來對它們進行分析。而這種用規(guī)則的幾何理論去描述非規(guī)則的幾何形態(tài)所得到的結(jié)果是存在巨大差異的，有時甚至是不可能的。雖然自然界中到處存在著非規(guī)則幾何形體，但是卻很難確切地描述它們，這給人們帶來了極大的困惑，而分形幾何學的創(chuàng)立，為準確地描述非規(guī)則的幾何形態(tài)提供了強有力的證據(jù)。

自誕生以后，分形理論便對物理、生物、地理乃至哲學、歷史、藝術領域產(chǎn)生了重大影響，使枯燥的數(shù)學問題或死板的圖形設計變得生動形象，并具有靈動性，從而帶動更多的人們感受到美的所在和提高了欣賞美、欣賞藝術的眼光，同時也開闊了人們的眼界。分形不但可以描述已知的自然景觀，還可以創(chuàng)造未知世界。分形使人們覺悟到科學與藝術的融合、數(shù)學和藝術審美上的統(tǒng)一。分形理論的很多內(nèi)容在實際工作中都有非常廣闊的應用，特別是在借助計算機手段通過大規(guī)模的數(shù)值計算完成分形理論相關問題的研究時，分形理論更是如魚得水。通過檢索大量的文獻信息，發(fā)現(xiàn)在物理學、化學、數(shù)學、地質(zhì)學、生物學、經(jīng)濟學、美學等多個領域內(nèi)，各種應用成果琳瑯滿目，美不勝收，展現(xiàn)了令人矚目的應用前景，解決了許多傳統(tǒng)理論和方法無法解決的問題，為現(xiàn)代科學研究提供了新的手段。分形幾何的研究受到如此廣泛的重視，原因之一是因為它具有廣泛而巨大的應用價值，另一原因是它有著重大的理論價值，為人們認識世界提供了一種新的方法論。隨著分形理論的不斷發(fā)展和應用，將分形幾何理論用于描述不規(guī)整形體的圖形，已成為目前研究世界物質(zhì)模型的一個擴展。

二 、分形圖形設計的算法

迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）是分形理論的重要分支之一，是將待生成的圖像看成是由許多與整體相似的或經(jīng)過一定變換與整體相似的小塊拼貼而成。而相似與仿射變換在數(shù)學上可以由非常簡單的數(shù)學公式表達出來，所以根據(jù)分形圖的自相似性，找出對應分形圖的IFS變換碼，通過計算機編碼可以很容易地繪制出各種復雜的分形圖。1980年，Mandelbrot用計算機繪出用他名字命名的Mandelbrot集的第一張圖，其簡單的數(shù)學表示為Zn+1=Zn2+C（其中Z和C為復平面上的點，n為自然數(shù)）。令Z0的值為某一復數(shù)并始終保持不變，把任意不同值的復值C代入上式進行迭代，并產(chǎn)生Z1，Z2，Z3，……序列，每一不同的C值對應于不同序列Zn值，研究這些序列的分步情形從而了解復平面里復數(shù)C所構成的點集圖，即曼德爾布羅特集。

對于分形圖形，一種我們可以利用線段擬和，只需確定兩點坐標位置，連線畫出即可，另一種則需要根據(jù)圖形特征，逐步分析提取IFS碼，并利用概率分布，得到IFSP碼，用點模擬。據(jù)此，筆者設計了以下兩種算法，通過對一些參數(shù)的修改，從而改變分形圖的形狀、位置、顏色等屬性。在此基礎上實現(xiàn)了分形圖形的中文處理界面，可以對生成的分形圖形作合成、特效、旋轉(zhuǎn)等一系列處理，使其更好地應用到實際當中去，最后將生成的分形圖形以BMP或JPEG圖片格式保存到電腦硬盤中。將分形理論應用于計算機圖形設計，生成了許多絢麗多彩的分形圖形，計算機與藝術很好地結(jié)合在一起，在時裝設計、家具設計、廣告設計等領域都有廣闊的應用。具體方法如下。

1.三點法

我們知道，一般具有分形特征的自然景物圖形，它必然存在一些有特征性的點。由于整體和局部的相似性，整體存在一些有特征性的點，局部也必然相應地存在一些有特征性的點。由于局部是由整體仿射變換而來，則局部上的一些有特征性的點必然也是由整體上的一些有特征性的點經(jīng)過同樣的仿射函數(shù)變換而來。同時我們還知道，通過三對點（整體上的三個點和局部上對應的三個點），我們就可求出一個仿射變換?；谶@個道理， 我們只要在整體輪廓上選取三個有特征性的點，然后再在各個局部輪廓上按相同的順序選取對應的三個有特征性的點。這樣根據(jù)這些點，就可以獲得整體到各個局部的仿射變換。

對于規(guī)則的自相似圖形，典型的有分形樹、Koch曲線等，由于它們都具有良好的自相似性，及顯然的直線性，因此只要找出它們的遞歸特性就可以利用遞歸函數(shù)，采用線段擬和，遞歸出口為線段長度的一個限值；對于不規(guī)則的分形圖形，比如蕨類植物、Levy曲線等，我們則可以利用之前提到的提取IFS碼，找出圖形的統(tǒng)計自相似性，再利用迭代函數(shù)逐步地用點擬合。

2.具有嚴格自相似性分形圖形的算法

選擇具有代表性的分形樹為例，觀察到二維分形樹的樹干和樹枝具有良好的自相似性，即圖形局部放大后可以與整體等同。首先，向函數(shù)傳遞的是樹根或樹枝末端點坐標以及線段長度、與橫坐標所夾角度，通過函數(shù)調(diào)用得到的是樹頂或樹枝頂端點坐標，假定A為枝末節(jié)點，B為枝頂節(jié)點。然后，注意到AB既可看為主枝，又可視為側(cè)枝，這是又自相似性決定的，滿足了遞歸的性質(zhì)。在AB上取一點A1作為樹根或枝末節(jié)點，偏轉(zhuǎn)角度選定，線段長度確定，同理亦可得到樹頂或枝頂節(jié)點B1，連線畫出A1B1，接著再在A1B1上取點畫線，依此類推，直至線段長度小于某一限值，這時便將分形樹描繪出。

三 、分形理論的前景

到目前為止，分形尚無最后的定義。在西方，分形的藝術研究是與科學研究密不可分的，研究人員也多為科學家而非藝術家，在中國則是藝術關注多于科學關注，這也是當前國內(nèi)外分形藝術研究的不同之處。一方面，藝術創(chuàng)作者的敏銳視角將推進和豐富分形藝術的發(fā)展，給理論研究帶來豐富的實踐經(jīng)驗；另一方面，理論的滯后又會相對阻礙分形藝術的發(fā)展，這都會給分形藝術研究帶來不同的機遇和挑戰(zhàn)。

但在其中一些問題上，需要指出的是目前對于分形應用的研究還存在著較大的局限性，表現(xiàn)在對分形理論的應用主要集中在Hausdorff維數(shù)、計盒維數(shù)等維數(shù)計算的分支上，而分形插值、分形布朗運動、分形測度等理論分支的應用就少得多，更多的諸如多重分形譜的計算和分形動力學等更深入的應用研究還鮮有涉足，而統(tǒng)計分形和隨機分形的理論研究和應用研究則是一個非常值得關注的方向。

通過對分形圖形的設計與研究，使更多的人了解并掌握分形技術的算法以及分形圖形的生成，使分形技術被廣泛地應用到各個領域，從而帶動相關產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與進步，使絢麗多彩的分形圖形代替以前枯燥乏味的平面圖形，創(chuàng)造更多的經(jīng)濟效益。

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（作者單位：浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院）