三個(gè)二次是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)。這三個(gè)二次都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它們之間相互聯(lián)系，相互滲透，其中二次函數(shù)最重要，其圖象是紐帶。它將等與不等，數(shù)與形緊密結(jié)合在一起。它既包含了方程的根，又包括了不等式的解集。利用數(shù)形結(jié)合使一些數(shù)學(xué)問題得到很好的解決。

三個(gè)二次之間的關(guān)系表：

上表告訴我們：利用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程和不等式。一元二次方程的根分別對(duì)應(yīng)著二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同時(shí)對(duì)應(yīng)著一元二次不等式解集的端點(diǎn)。函數(shù)的正值區(qū)間就是不等式大于0的解集對(duì)應(yīng)著函數(shù)圖象在x軸上方各點(diǎn)橫坐標(biāo)的集合。函數(shù)的負(fù)值區(qū)間就是不等式小于0的解集對(duì)應(yīng)著的函數(shù)圖象在x軸下方各點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。

下面通過例子來(lái)看這幾種關(guān)系。

一、利用方程有無(wú)根與？駐之間的關(guān)系求解

例1.當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=x2+2（m-1）x+3m2-11=0的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)？

分析：函數(shù)圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

一個(gè)交點(diǎn)？葑一個(gè)實(shí)根？葑？駐=0

兩個(gè)交點(diǎn)？葑兩個(gè)實(shí)根？葑？駐gt;0

無(wú)交點(diǎn)？葑無(wú)實(shí)數(shù)根？葑？駐lt;0

而？駐=[2（m-1）]2-4×1×（3m2-11）

我們來(lái)解關(guān)于m的方程或不等式可以使問題得以求解

解：？駐=[2（m-1）]2-4×1（3m2-11）=-8（m2+m-6）

當(dāng)？駐gt;0時(shí)：m2+m-6lt;0 解得-3lt;mlt;2

即：當(dāng)-3lt;mlt;2時(shí)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)？駐=0時(shí)：m2+m-6=0 解得m=-3或m=2

即：當(dāng)m=-3或m=2時(shí) 圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)？駐lt;0時(shí)：m2+m-6gt;0 解得mlt;-3或mgt;2

即：當(dāng)mlt;-3或mgt;2時(shí)圖象與x軸沒有交點(diǎn)。

二、利用方程的根和不等式解集之間的關(guān)系求解

例2.已知ax2-bx-1gt;0的解集為（-■，-■）求x2-bx-alt;0的解集。

分析：∵不等式的解集端點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的根，即-■和-■為方程ax2-bx-1=0的兩根，由韋達(dá)定理有-■-■=■-■×（-■）=■，從而a，b可以求得。

代入x2-bx-alt;0中解不等式即可。

解：由題得-■-■=■-■×（-■）=■：解得：a=-6b=5代入x2-bx-alt;0中得：x2-5x+6lt;0

對(duì)應(yīng)方程根為x=2或x=3∴x2-5x+6lt;0的解得為（2，3）

點(diǎn)評(píng)：不要孤立一方面思考，要從數(shù)形結(jié)合審題，利用轉(zhuǎn)化化歸思維，使問題得以求解。

三、利用二次函數(shù)對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性求解

例3.二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且f（3-x）=f（3+x）若f（2-2x2）lt;f（2+2x-2x2），求x的取值范圍。

∵ 2-2x2lt;3 2+2x-2x2=3-（x2-2x+1）=3-（x-1）2≤3

二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=3，圖象開口向上，此函數(shù)在（-∞，+3] 上為減函數(shù)∴2-2x2gt;2+2x-x2解此不等式，從而問題得以求解。

解：∵f（3-x）=f（3+x）∵對(duì)稱軸為x=3

此函數(shù)二次項(xiàng)函數(shù)系數(shù)為正，∴在（-∞，3]上為減函數(shù)。

∵2-2x2lt;3 2+2x-x2=3-（x2-2x+1）=3-（x-1）2≤3

∴2-2x2>2+2x-x2

x2+2xlt;0 ∴-2lt;xlt;0

四、利用方程根的情況求解

例4.若方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩根分別在（0，1）和（1，2）內(nèi)，求k的取值范圍。

解析：利用圖象由題得"f（0）gt;0"①

f（1）lt;0"②

f（2）gt;0"③

由①②③解得-2lt;klt;-1或3lt;klt;4

∴k的取值范圍為（-2，-1）∪（3，4）

綜上述，在求解有關(guān)二次問題時(shí)，要將三者有機(jī)結(jié)合起來(lái)，特別注意數(shù)形結(jié)合，達(dá)到解決問題的目的。

？誗編輯 楊兆東