一、案例背景

旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實世界運動變化的最簡捷形式之一，它不僅是探索圖形變換性質(zhì)的必要手段，而且也是解決現(xiàn)實世界中的具體問題以及進行數(shù)學交流的重要工具，通過對本章內(nèi)容的復(fù)習，既培養(yǎng)了他們的動手操作能力，又培養(yǎng)了他們用數(shù)學的方法來解決實際生活中的有關(guān)問題。

二、案例描述

【片段1】多媒體展示幾幅利用圖形變換方法得到的圖案

師：這幾幅圖案來自于實際生活，它們是通過什么方法得到的？

生1：通過旋轉(zhuǎn)方法設(shè)計的。

生2：通過平移方法設(shè)計的。

生3：平移、旋轉(zhuǎn)的方法都有。

師：剛才幾位同學都講得很好，這幾幅圖案體現(xiàn)不同的設(shè)計意圖，但它們都是利用圖形變換的方法來解決實際問題，而這幾幅圖案設(shè)計用了一個共同的方法，就是旋轉(zhuǎn)變換。

反思：通過對圖形的觀察、聯(lián)系、剖析，使學生體驗到圖形變換在圖案設(shè)計中的作用，幾種方法有機組合運用，體現(xiàn)數(shù)學的一種和諧美。

【片段2】

師：請同學們看幻燈片的內(nèi)容，請同學們利用基本圖形，通過圖形變換的方法設(shè)計一張美麗的圖案。

生：利用教師在課前發(fā)下去的模板來設(shè)計圖案。

師：下面請同學來臺前展示自己的作品，并說出自己的作品是通過什么方法得到的。

生：我設(shè)計了奧迪汽車標志，我是用平移的方法得到的。

師：我對他的作品進行肯定，也肯定了他使用的數(shù)學方法。

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反思：老師布置任務(wù)，學生進行圖案設(shè)計，教師指導(dǎo)學生選擇簡單的基本圖形，不同的圖形變換、組合出美的圖案。本次活動中，教師應(yīng)當重點關(guān)注：①學生選取的基本圖形不要過于復(fù)雜;②指導(dǎo)學生依據(jù)對應(yīng)圖形全等這一圖形變換的共性剪出多個基本圖形，然后再依據(jù)各種變換的基本特征拼出組合圖案。

【片段3】圖形變換在幾何中的應(yīng)用

例1.已知△ABD，△ADE都是等邊三角形。

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①你能用什么方法說明BE與CD的關(guān)系？②當△ADE繞A點轉(zhuǎn)動時，則上述關(guān)系仍然成立嗎？

師：第一個問題，大家想到什么方法可以解決呢？

生：證明△CAD和△BAE全等可以解決。

師：回答得很好，用數(shù)學推理的方法可以解決此問題。

師：多媒體展示問題2，讓學生思考回答。

生：BE=CD仍成立。

師：你是用什么方法解決的？

生1：我想到證明三角形全等的方法。

生2：我補充解法，我想到用旋轉(zhuǎn)的方法解決。

師：你是把哪一個三角形旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角又是什么？

生：把△CAD設(shè)為點順時針旋轉(zhuǎn)65°得到△BAE。

反思：教師演示課件，學生回答問題，學生依據(jù)教師提出的問題進行獨立思考，聯(lián)系頭腦中已有的知識經(jīng)驗，易得到BE=CD。教師通過課件展示，旋轉(zhuǎn)三角形△CAD，展示另外的思想方法，教師再演示課件：對題目進行變式練習，讓學生再思考、再歸納。

【片段4】圖形變換函數(shù)結(jié)合的應(yīng)用

例2.在平面直角坐標系中，△ABC的三點坐標分別為A（3，1），B（4，6），C（8，2），現(xiàn)以x軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形△A1B1C1，然后以y軸為對稱軸作△A1B1C1的對稱圖形△A2B2C2。

（1）請分別寫出△A1B1C1和△A2B2C2的頂點坐標。

（2）△ABC與△A2B2C2是否成中心對稱。

（3）若反比例函數(shù)y=-■（k>0）過點A（3，1），則點A2是否也在它的圖象上，為什么？

（4）把△ABC、△A2B2C2分別繞點A和點A2旋轉(zhuǎn)相同的一個角度后，使點B落在y=-■的圖象上，則點B2也在它的圖象上嗎？為什么？

（5）連接AA2、BB2，則交點在何處？AA2、BB2相互間又有何關(guān)系？

（6）連接AB2、BA2，則四邊形AB2A2B成什么樣的四邊形？

（7）直線l過原點交雙曲線y=-■于A、A2兩點，把直線l繞原點旋轉(zhuǎn)一個角度后交雙曲線于BB2，連接AB、BA2、A2B2、AB2，四邊形ABA2B2能否成為矩形、菱形？

師：問題（1）（2）通過什么方法可以解決？

生：通過坐標對稱的方法可以解決。

師：同學們能用學過的知識解決問題，回答得很好。這是圖形變換的基礎(chǔ)。

師：問題（2）能否成立呢？你能用什么方法解決？

生1：我用坐標的方法解決，因為△ABC與△A2B2C2的坐標關(guān)于原點對稱。

生2：我用圖形旋轉(zhuǎn)的方法解決，說明兩個三角形關(guān)于原點成中心對稱。

師：你們回答得真棒，可以從數(shù)與形兩個角度解決問題。

師：問題（3）用什么方法可以解決？

生1：我是先求出y=-■的解析式，然后把A2代入y=-■，能成立，則A2也在y=-■上。

生2：我認為A2也在y=-■上，因為A與A2關(guān)于原點中心對稱，而y=-■也是關(guān)于原點成中心對稱，因此A2也在y=-■上。

師：同學們的回答體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，同時也用到代數(shù)與幾何的方法解決數(shù)學問題。

師：問題（4）又如何解決呢？

生：我是用旋轉(zhuǎn)的方法得到的。

師：同學們請在圖上動手畫一畫，來探索交點在何處？

生：根據(jù)我畫圖的多個圖形總結(jié)結(jié)果，交點在原點。

師：那你能說出理由嗎？為什么交點會在原點？

生：我講不出原因，我感覺我是對的。

師：同學們討論這個問題再回答。

反思：通過學生討論，他們意識到為什么交點在原點，因為每兩點關(guān)于原點成中心對稱連線必過原點，因此很順利解決問題（6）。

師：同學們對問題（7）作何解釋？

生：進入激烈的爭論中。

教師與學生進行交流，提取信息，問題（7）時學生的思維達到高潮，很多學生有一個困難期，通過爭論使他們茅塞頓開。

反思：教師依據(jù)教學設(shè)計的步驟，逐一展示課件，讓學生回答問題，學生通過對問題（1）（2）的回答，復(fù)習舊知識，拓展它們之間關(guān)系。教師利用課件展示（3）（4）問題，引導(dǎo)學生解答有關(guān)函數(shù)與圖形變換結(jié)合的問題。

本活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：①學生解決問題的角度;②用不同的方法解答同一問題;③提出特殊與一般的關(guān)系。

三、課后反思

1.旋轉(zhuǎn)是生活中處處可見的現(xiàn)象，教學中不僅僅要使學生感知旋轉(zhuǎn)，滲透生活中處處有數(shù)學的思想，還要使學生認識到旋轉(zhuǎn)的實質(zhì)，并用它來解決實際問題。

2.通過本節(jié)課的復(fù)習，把學生的“雙基”打扎實了，同時學生的創(chuàng)新潛能、探索能力得到充分的開發(fā)和培養(yǎng)。

？誗編輯 王夢玉