【摘 要】本文在價(jià)格和需求量相互影響、互為替代品的商品之間價(jià)格和需求量相互影響的實(shí)際背景下，根據(jù)題目所給的原料總量和政策的限制條件，建立了相關(guān)的線性規(guī)劃模型行研究奶產(chǎn)品的定價(jià)問題。為了簡化問題，我們首先假設(shè)生產(chǎn)量=需求量=銷售量，還有水無限制提供使用。經(jīng)模型假設(shè)后的奶制品定價(jià)問題一可以通過建立規(guī)劃模型求解，我們將價(jià)格設(shè)置為變量，根據(jù)每種商品價(jià)格與銷量的關(guān)系、不同種商品之間的價(jià)格與銷量的關(guān)系以及每年的原料總量為約束條件建立數(shù)學(xué)模型，問題二即可在問題一的基礎(chǔ)上加上政策限制條件，然后通過lingo軟件求解。

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃模型lingo政策限制條件

1.問題重述

某國政府要為其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定價(jià)。所有這些產(chǎn)品都直接或間接地來自國家的原奶生產(chǎn)。原奶首先要分離成脂肪和奶粉兩種組合，去掉生產(chǎn)出口產(chǎn)品和農(nóng)場消費(fèi)的產(chǎn)品的部分后，余下的共有60萬噸脂肪和70萬噸奶粉，可用于生產(chǎn)牛奶、奶油和兩種奶酪，供國內(nèi)全年消費(fèi)。

價(jià)格的變化會(huì)影響消費(fèi)需求。為表現(xiàn)這方面的規(guī)律，定義需求的價(jià)格伸縮性E：E=需求降低百分?jǐn)?shù)/價(jià)格提高百分?jǐn)?shù)各種產(chǎn)品的E值，可以根據(jù)往年的價(jià)格和需求變化情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法求出。另外，兩種奶酪的需求，隨它們價(jià)格的相對變化，在某種程度上可以相互替代。

2.問題分析

2.1對價(jià)格的交叉伸縮性EAB的理解

價(jià)格的交叉伸縮性指某種商品的供需量對其他相關(guān)替代商品價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)靈敏程度。其伸縮性系數(shù)定義為供需量變動(dòng)的百分比除以另外商品價(jià)格變動(dòng)的百分比。交叉伸縮性系數(shù)可以大于0、等于0或小于0，它表明兩種商品之間分別呈替代、不相關(guān)或互補(bǔ)關(guān)系?？商娲潭扔撸徊鎯r(jià)格伸縮性愈大。根據(jù)定義，交叉價(jià)格伸縮性可分為需求交叉價(jià)格伸縮性和供給交叉價(jià)格伸縮性。它表明兩種商品之間分別呈替代、不相關(guān)或互補(bǔ)關(guān)系。由題意可知，奶酪1到奶酪2的E12值=0.1，奶酪2到奶酪1的交叉伸縮性E21值=0.4。即奶酪1和奶酪2之間呈替代關(guān)系。且由E12=0.12的能力。

2.2對政策的理解

政策不允許某種價(jià)格指標(biāo)上升，這使得新的價(jià)格必須使消費(fèi)的總費(fèi)用較上一年度不增加，這句話共有兩種理解方式。第一是指政策限制其中一種奶制品的價(jià)格，使得該奶制品的消費(fèi)的總費(fèi)用較上一年度不增加。即四種奶制品的價(jià)格某項(xiàng)構(gòu)成要素被限制，產(chǎn)品價(jià)格在總收入最大化下存在一定程度地下降，新的價(jià)格使消費(fèi)總費(fèi)用較上一年度不增加。而其他奶制品的價(jià)格可以任意變化，從而使得四種奶制品的銷售總費(fèi)用最大。第二是指限制四種奶制品的價(jià)格指標(biāo)較上一年度均不增加。

2.3對問題一的分析

問題一是求解使得消費(fèi)總額最大的四種奶制品的價(jià)格，由題意易知，我們應(yīng)該將價(jià)格設(shè)置為變量，以每種商品價(jià)格與銷量的關(guān)系、不同種商品之間的價(jià)格與銷量的關(guān)系以及每年的原料總量為約束條件，建立規(guī)劃模型求解四種奶制品的價(jià)格。

2.4對問題二的分析

問題二是求解通過限制哪一種奶制品的價(jià)格指標(biāo)使得經(jīng)濟(jì)代價(jià)最小，經(jīng)濟(jì)代價(jià)即可理解為問題一所求的最大消費(fèi)總收入與限制一種奶制品的價(jià)格指標(biāo)后的總收入的差值，我們可以在問題一的基礎(chǔ)上加上政策的限制條件即分別限制每種奶制品的價(jià)格指標(biāo)，從而求出每種方案的經(jīng)濟(jì)代價(jià)，并通過比較選出最小的經(jīng)濟(jì)代價(jià)。我們也可以通過分析需求的價(jià)格伸縮性E對于該產(chǎn)品收益的影響來確定選擇哪種商品來限制其價(jià)格指標(biāo)。

3.模型假設(shè)

（1）用于生產(chǎn)奶制品的原料在生產(chǎn)過程中沒有損耗，即原料的總量不變。

（2）假設(shè)奶制品的產(chǎn)量=需求量=消費(fèi)量，即不考慮所有的奶制品消費(fèi)停滯的現(xiàn)象，不考慮除需求以外的其他因素對消費(fèi)量的影響；不考慮除價(jià)格以外其他因素對需求量的影響。

（3）本模型中的消費(fèi)總收入僅考慮價(jià)格和銷售量這兩個(gè)因素，不考慮其在市場營銷時(shí)各種手段和方式對價(jià)格、銷售量的影響。

（4）題中根據(jù)往年的價(jià)格和需求變化情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求出的產(chǎn)品的價(jià)格伸縮性值與價(jià)格的交叉伸縮性EAB值基本正確。

4.模型建立

4.1問題一模型的建立與求解

經(jīng)模型假設(shè)后的奶制品定價(jià)問題可以通過建立規(guī)劃模型求解，我們將價(jià)格設(shè)置為變量，以每種品價(jià)格與銷量的關(guān)系、不同種商品之間的價(jià)格與銷量的關(guān)系以及每年的原料總量為約束條件建立數(shù)學(xué)模型，然后通過lingo軟件求解。

4.2問題二模型的建立和求解

問題二的模型只需在問題一模型的基礎(chǔ)上再加上對政策的限制條件即可。且由于消費(fèi)需求與價(jià)格之間反向相關(guān)關(guān)系存在且穩(wěn)定，即各類產(chǎn)品的價(jià)格伸縮性及交叉伸縮性存在且穩(wěn)定可計(jì)量。同時(shí)各類奶制品售價(jià)與其銷售量的相關(guān)關(guān)系不變，所以第一問的表達(dá)式可不變。政策限制條件如下：

x（i）×y（i）≤xf（i）×jg（i）或者為：∑x（i）×xy（i）≤∑xf（i）×jg（i）

問題二模型的目標(biāo)函數(shù)即其他約束條件均與問題一相同。即在問題一模型的基礎(chǔ)上加上上述政策限制條件并利用lingo求解即可。

5.模型分析

本文將此問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的線性規(guī)劃模型。問題一根據(jù)價(jià)格伸縮性E和價(jià)格的交叉伸縮性EAB確定今年每種產(chǎn)品國內(nèi)消費(fèi)量Xi和價(jià)格Yi之間的關(guān)系，之后就是在對原料總量先進(jìn)行約束的前提下來求解最大的消費(fèi)總費(fèi)用。問題二基于問題一的模型，加上使得新的價(jià)格必須使消費(fèi)的總費(fèi)用較上一年度不增加這一限制條件，求出此時(shí)最大的消費(fèi)總費(fèi)用，與問題一得到的結(jié)果相比較，即為實(shí)施該政策的經(jīng)濟(jì)代價(jià)。若考慮生產(chǎn)量、需求量、消費(fèi)量三者之間的關(guān)系，顯然問題會(huì)因?yàn)榻M合數(shù)過多而停滯，因此人為的假設(shè)生產(chǎn)量=需求量=消費(fèi)量，另外影響奶產(chǎn)品定價(jià)的因素只有消費(fèi)需求。這種情況下雖然無法得到實(shí)際問題的最優(yōu)解，但保證了結(jié)果的合理性以及優(yōu)良性，事實(shí)本題目中其他因素對定價(jià)的解不具有太大的影響，因此認(rèn)為此模型是可操作的，并且可求得較優(yōu)的解。

6.模型推廣

本文主要采用線性規(guī)劃模型，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。只要稍加修改，就可以用來求解N個(gè)變量，M種限制條件的線性優(yōu)化問題。本模型還可以推廣到許多行業(yè)，如在企業(yè)的各項(xiàng)管理活動(dòng)中，計(jì)劃、生產(chǎn)安排、物資運(yùn)輸、資金分配等問題只要修改限制條件都可以很好的解決問題。本文基于運(yùn)籌學(xué)目標(biāo)最優(yōu)的方法針對奶制品生產(chǎn)定價(jià)問題建立線性目標(biāo)規(guī)劃模型，將線性規(guī)劃方法對應(yīng)用問題進(jìn)行了實(shí)際解決，為決策有效化提供了優(yōu)良的參考辦法。同時(shí)本文對模型進(jìn)行的優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)與具有實(shí)踐意義的改進(jìn)。本文所建立的目標(biāo)規(guī)劃模型由于其交互作用，有相當(dāng)?shù)撵`活性與實(shí)用性，具有推廣的實(shí)際用途。

7.結(jié)論

在求解本題的過程中，我們建立了線性規(guī)劃模型，并利用lingo軟件對模型進(jìn)行求解。通過對問題的求解，我們得出了以下結(jié)論：第一，在沒有政策限制的條件下，我們確定了當(dāng)牛奶的價(jià)格為334.4686元，銷量為524.267萬噸；奶油的價(jià)格為48.36238元，銷量為583.6468萬噸；奶酪1的價(jià)格20.11823元，銷量為1223.093萬噸；奶酪2的價(jià)格為3.5599元，銷量為1950.675萬噸時(shí)，該國奶制品的消費(fèi)總收入在達(dá)到最大，為235127.6萬元。第二，在有政策限制的條件下，最后分析出當(dāng)限制奶酪2的價(jià)格指標(biāo)不變時(shí)，在使總的銷售收入最大的情況下，該政策造成的經(jīng)濟(jì)代價(jià)最小為296.4萬元。最大的銷售總收入最大為234831.2萬元。