經(jīng)歷不同的拼圖方法驗(yàn)證公式的過程，能夠加深對(duì)因式分解、整式的運(yùn)算和面積等的認(rèn)識(shí)，通過驗(yàn)證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，以及數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生借助圖形反映出部分“數(shù)”的幾何意義，初步用拼圖法將部分二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷從具體問題抽象出數(shù)學(xué)問題，建立模型綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問題的過程，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗(yàn)。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：通過豐富有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)的奇妙，享受成功的樂趣。

教學(xué)重點(diǎn)：由“形”到“數(shù)”，可借助圖形反映部分“數(shù)”的幾何意義。

教學(xué)難點(diǎn)：理解拼圖與因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系。

問題情境

師：同學(xué)們，在以往的學(xué)習(xí)中，你有過利用圖形獲得數(shù)學(xué)公式的經(jīng)驗(yàn)嗎？利用這個(gè)圖形你能獲得什么數(shù)學(xué)公式？

生：（a+b）2=a2+2ab+b2

師：你是如何分析題目得出這個(gè)數(shù)學(xué)公式？

生：把它看做一個(gè)整體得到面積為（a+b）2，分看計(jì)算面積得到面積為a2+2ab+b2。

設(shè)計(jì)意圖：回顧前面用不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，引導(dǎo)學(xué)生從整體看，再從局部看，突出數(shù)學(xué)“算兩次”的思想。

活動(dòng)材料：若干塊如圖所示的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片。

問題：選取適當(dāng)?shù)目ㄆ?，拼成一個(gè)長(zhǎng)為（a+2b）寬為（a+b）的長(zhǎng)方形。

學(xué)生拼圖，展示。

師：你能發(fā)現(xiàn)圖中隱藏的等式嗎？請(qǐng)將它寫下來。

生：①（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 ② a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生體會(huì)到拼圖既可以進(jìn)行整式計(jì)算，又可以進(jìn)行因式分解，整式運(yùn)算不用拼圖也能計(jì)算，不熟悉的多項(xiàng)式用已有的知識(shí)不能進(jìn)行因式分解，但可借助拼圖進(jìn)行分解，突出本節(jié)課的重點(diǎn)。

討論交流。

師：下面請(qǐng)剛才拼圖成功的學(xué)生分享拼圖的經(jīng)驗(yàn)。

生：根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，先拼出（a+b）或（a+2b）然后再去補(bǔ)拼其余部分。

師：如果直接讓我們拼一個(gè)面積為a2+3ab+2b2長(zhǎng)方形，如何拼呢？

師：大家在拼圖時(shí)，感到困難的地方在哪里？

生：不知道需要多少卡片。

師：結(jié)合所給的卡片，你知道“a2”“ab”“b2”的幾何意義嗎？

生：a2是小正方形的面積，ab是長(zhǎng)方形面積，b2是大正方形的面積。

師：那要拼一個(gè)面積為a2+3ab+2b2，你知道如何選擇卡片了嗎？

生：1張小正方形，3張長(zhǎng)方形，2張大正方形。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生分析二次三項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及它們的幾何意義，學(xué)生初步感受到不同紙片的選擇數(shù)量與系數(shù)之間的關(guān)系。（嘗試訓(xùn)練）

師：任意選取若干塊上述所給紙片，嘗試拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它的面積 a2+4ab+3b2，并寫出相應(yīng)等式。

生：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b）

師：你是如何選取卡片的？

生：1張小正方形，4張長(zhǎng)方形，3張大正方形。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能初步做到有意識(shí)地選擇卡片進(jìn)行拼圖，并能結(jié)合圖形寫出等式;學(xué)生初步體會(huì)利用拼圖把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

問題解決

利用拼圖的方法分解因式：2a2+5ab+2b2

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能有意識(shí)、有技巧地選擇卡片進(jìn)行拼圖，把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，初步形成拼圖的一般方法。

思考：你能用卡片拼一個(gè)面積為 a2+3ab+b2的長(zhǎng)方形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：第一，讓學(xué)生意識(shí)到并不是所有的面積都可以用卡片拼成長(zhǎng)方形;第二，并不是所有的二次三項(xiàng)式都能利用拼圖進(jìn)行因式分解;第三，能拼成長(zhǎng)方形就能因式分解，能因式分解就能拼。

師：如果不能，是否可以添加或減少紙片數(shù)量，使之拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？

生：可以添加一個(gè)小正方形或一個(gè)大正方形，或減少一個(gè)長(zhǎng)方形。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生初步感受到二次三項(xiàng)式能否進(jìn)行因式分解與它們的系數(shù)有關(guān);學(xué)生能理解圖形與所得等式之間的聯(lián)系。

教學(xué)反思

本節(jié)課總體的設(shè)計(jì)理念：無意識(shí)地拼圖——教師引導(dǎo)下的有意識(shí)地拼圖——學(xué)生有技巧、有意識(shí)地拼圖——畫圖形因式分解——研究系數(shù)特點(diǎn)。

本節(jié)課借助于紙片進(jìn)行拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷操作、探究、解決問題的過程，探索拼圖與因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系，先由“形”得到一些關(guān)于“數(shù)”的結(jié)論，然后借助圖形反映出部分“數(shù)”的幾何意義，在動(dòng)手“做”中向知識(shí)的縱深發(fā)展，積累有效的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：江蘇省南京市高淳區(qū)固城中學(xué)）