一、課程標準

通過用料最省、利潤最大、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。

二、教學目的分析

1.知識與技能目標：會利用導數(shù)求利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題。

2.過程與方法目標：在利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的過程中，進一步鞏固導數(shù)的相關知識。

3.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的自覺性，以及科學的生活態(tài)度。

三、重點、難點分析

重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題。

難點：將實際問題轉化為數(shù)學問題，根據(jù)實際利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。

四、過程探究與分析

1.復習回顧

導數(shù)求最值的步驟。

設計意圖：為后面求最值做準備。

2.探究新知

（1）用料最省問題

例1.某廠家要生產(chǎn)一批矩形相框，要求版心面積為64 cm2，四周空白的寬均為4 cm。

問題1：如何設計版心的長與寬的尺寸，才能使四周空白面積最?。?/p>

問題2：如何計算空白面積？

問題3：大長方形的面積怎么表示？

設計意圖：由實際問題即將圖片裝入相冊，引出例1，提高學生的學習興趣。

總結求解優(yōu)化問題的一般步驟：

優(yōu)化問題—用函數(shù)表示的數(shù)學問題—用導數(shù)解決數(shù)學問題—優(yōu)化問題的答案。

設置動手環(huán)節(jié)，四名同學一組將一張正方形的白紙減掉四個角，折成一個沒有蓋的盒子。每組做出來的盒子都不相同。

問題4：同樣大小的紙，操作方法也一樣，為什么折出來的盒子卻不同呢？

問題5：這些盒子的體積相同嗎？

練習1：在邊長為30 cm的正方形白紙的四角剪去相等的正方形，再把它的邊沿線折起，做成一個無蓋方盒，問：盒底邊長x為多少時，盒子的容積最大？最大容積是多少？

設計意圖：由學生自己動手做出紙盒，感受體積的變化是由邊長的變化引起的。

（2）利潤最大問題：

例2.某工廠制造并出售圓柱形瓶裝的某種飲料，一個瓶子的制造成本是0.6πr2（分），其中r（厘米）是瓶子底面的半徑，且瓶高為2r，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.1（分），且制造商能制造的瓶子的底面最大半徑為6 cm。

問題6：瓶子的底面半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？

問題7：利潤怎么計算？

問題8：成本與銷售分別是多少？

設計意圖：由三種不同包裝的飲料引入，貼近生活，使學生體會到數(shù)學的有用性。

練習2：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量為x（噸），且每噸產(chǎn)品的價格為302-x2（元），且生產(chǎn)x噸的成本為500+2x（元），問：該工廠每月生產(chǎn)多少噸該產(chǎn)品才能使利潤最大？最大利潤是多少？

設計意圖：由學生自己獨立完成，進一步鞏固求解優(yōu)化問題的步驟。

3.課堂小結

（1）用料最省問題；

（2）利潤最大問題；

（3）解題關鍵：列出函數(shù)式，將實際問題轉化為數(shù)學問題。

編輯 段麗君