在數(shù)軸上表示集合A,B,如上圖所示。
由B A,知a+1<-1或2a≥-1即a<-2或a≥ 。
由已知a<1,得a<-2或 ≤a<1。故a的取值范圍是
(-∞,-2)∪[ ,1)。
方程與函數(shù)思想。方程思想是從算術(shù)方法到代數(shù)方法中尋找等量關(guān)系的一種質(zhì)的飛躍。函數(shù)關(guān)系是變量與變量間一種特殊的對(duì)應(yīng)與變換。審題時(shí)要抓住題目的關(guān)鍵量,善于聯(lián)想、化歸,實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元,其成本價(jià)為25元,在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米的污水排出,為了凈化環(huán)境,工廠設(shè)計(jì)兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理,并準(zhǔn)備實(shí)施。
方案一:工廠的污水先凈化處理后再排出,每處理一立方米污水所用原料費(fèi)為2元,并且每月排污設(shè)備的損耗費(fèi)為30000元。
方案二:工廠將污水排到污水廠統(tǒng)一處理,每處理一立方米污水需付14元的排污水。
問題:(1)工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí),如果你是廠長,在不污染環(huán)境又節(jié)約資金的前提下,選擇哪種方案?通過計(jì)算加以說明。(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品,你是廠長,該如何決策呢?
解:設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí),依方案一的利潤為y1,依方案二的利潤為y2,由題意知:
y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x。
當(dāng)x=3000時(shí),y1=4200,y2=54000,∵y1當(dāng)x=6000時(shí),y1=114000,y2=108000,∵y1>y2,∴應(yīng)選擇方案一處理污水。
分類討論思想。它采取的是“化整為零,各個(gè)擊破”的策略。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能很好地訓(xùn)練人思維的條理性和概括性。歷年高考的重點(diǎn),具有明顯的邏輯特點(diǎn),一般覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多,解分類討論問題需要有一定的分析能力和分類技巧,解分類討論問題的步驟:(1)確定分類討論對(duì)象:即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論;(2)對(duì)所討論對(duì)象進(jìn)行合理的分類(分類是要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí));(3)逐漸、類討論:即對(duì)各類、類問題分類討論,逐步解決;(4)將各類情況總結(jié)歸納,得出結(jié)論。如已知A=-{x|-2≤x≤5},B={x|k-1≤x≤2k+1},求使A∩B= 的實(shí)數(shù)k的取值范圍。解這道題的策略:(1)分類討論主要環(huán)節(jié)之一是要確定分類的標(biāo)準(zhǔn),標(biāo)準(zhǔn)的確定是靠對(duì)題意的理解思路及對(duì)解題的分析,本題的分類標(biāo)準(zhǔn)為B= 和B≠ 。(2)分類不能重復(fù)也不能遺漏,本題即易忘掉討論“B= ”。(3)歸納并得出結(jié)論不能少。
轉(zhuǎn)化與化歸思想。為了解題的方便,我們經(jīng)常把所給問題進(jìn)行形式上的變化,將未解的問題轉(zhuǎn)化成已有知識(shí)范圍內(nèi)的可解問題。通過不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,把不規(guī)范的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范化甚至模式化的問題,把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的,使本質(zhì)被掩蓋的問題露出“廬山真面目”,使起初看來撲朔迷離的問題有了“主攻”的方向進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的具體方法。如已知對(duì)任意x∈[1,+∞),不等式x2+2x-a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解這道題的策略是a數(shù)學(xué)課程改革的目的是讓學(xué)生主動(dòng)參與、積極探究、學(xué)有所成、學(xué)有所用。課堂教學(xué)中老師講、學(xué)生聽的單一結(jié)構(gòu),已不適用新課改的要求,在教學(xué)過程中,教師扮演的不僅是組織者的角色,而是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、積極探索、讓學(xué)生的主體性得到發(fā)揮的角色,要培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的能力。同時(shí)也要堅(jiān)持不懈地貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法。在具體的教學(xué)過程中,應(yīng)不斷地進(jìn)行總結(jié)和補(bǔ)充,有意識(shí)地進(jìn)行這方面的轉(zhuǎn)化,使數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法相結(jié)合,使學(xué)生以積極創(chuàng)新的思想方法汲取知識(shí),進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力。
〔責(zé)任編輯:龐遠(yuǎn)燕〕