充要條件是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要概念，包括充分條件、必要條件、充要條件。它主要討論命題的條件與結(jié)論的關(guān)系。本文擬通過(guò)課堂教學(xué)分析，使學(xué)生透徹理解和掌握這些關(guān)系及其本質(zhì)特征，并能正確地應(yīng)用這些概念對(duì)數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系作出判斷，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，提高課堂教學(xué)的有效性。教學(xué)分析如下：

一、充分條件

定義：性質(zhì)A對(duì)于性質(zhì)B的存在是充分的特征，如果有A的成立，可以得到B的成立。這就是說(shuō)，條件A能保證結(jié)論B的成立，即條件A對(duì)于結(jié)論B的成立是充足的。

例1 如果兩個(gè)三角線全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等。

例2 若a，b都是正數(shù)，則ab也是正數(shù)。

例3 如果f（a）=0，那么多項(xiàng)式f（x）能被x-a整除。

在例1中，顯然兩個(gè)三角形全等的條件，完全保證了這兩個(gè)三角形面積相等的結(jié)論的成立；如果把條件改為兩個(gè)等底等高的三角形，這個(gè)結(jié)論仍能成立。但是，如果把命題的條件和結(jié)論互換，即如果兩個(gè)三角形的面積相等，就不一定是全等三角形。

根據(jù)上面的討論，對(duì)于充分條件的特征我們可以概括為：有此則必然，無(wú)此未必然?，F(xiàn)在我們對(duì)這一特征作具體的分析：

（1）所謂“有此則必然”，記作A B，即表示只要具備了條件A，事件B一定能夠成立。如例2，a，b都是正數(shù)的條件，也完全保證了積ab是正數(shù)的這個(gè)結(jié)論成立。

（2）所謂“無(wú)此未必然”，應(yīng)作兩方面理解，即“未必然”包含著“然”與“不然”兩種可能。

（1）先看“無(wú)此也可然”的情形，如例2，如果把條件改為a，b都是負(fù)數(shù)，結(jié)論也仍然成立，這說(shuō)明，對(duì)于充分條件，只要有此即可，并不是非此不可。換句話說(shuō)，把條件A撤換后，命題中的結(jié)論仍有成立的可能。

（2）再看“無(wú)此也可不然”，如例3，如果f（a）≠0，那么多項(xiàng)式f（x）就不能被x-a整除。這就是說(shuō)，如果沒(méi)有條件A，事件B就不可能成立。

（3）如果把條件和結(jié)論互換（或互否），命題不一定成立，即B A不真（或A B不真）。仍如例2，若ab積為正數(shù)，這兩個(gè)數(shù)不一定是正數(shù)。

事實(shí)上，例1，例2，例3的條件對(duì)于各自結(jié)論的成立來(lái)說(shuō)都是充分條件，而例1，例2由于他們的逆命題或否命題不真，則條件僅僅是充分的。

二、必要條件

定義：性質(zhì)B對(duì)于性質(zhì)A的成立，是必要的特征，如果B不成立時(shí)，不可能有A成立。這就是說(shuō)，如果沒(méi)有條件B就沒(méi)有結(jié)論A，那么就說(shuō)條件B對(duì)于結(jié)論A的成立是必要的。

例4 如果tanA=tanB，那么A=B。

例5 對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等。

我們可以看出，這兩個(gè)命題是不成立的，但他們的逆命題都成立。另一方面，命題中條件對(duì)于推出各自的結(jié)論又都是必不可少的。但僅有這些條件，對(duì)于保證結(jié)論的成立，也還是不夠的，而沒(méi)有這些條件，結(jié)論就不成立。

類(lèi)似前面的討論，對(duì)于必要條件的特征，也可概括為有此不必然，無(wú)此必不然。我們也對(duì)這個(gè)特征作具體分析：

（1）所謂“有此不必然”，即如果具備了條件B，不能保證結(jié)論A一定成立。這里也包含著“然”與“不然”兩種可能。如例4，例5的條件就不能保證結(jié)論一定成立，因此是不夠的。而前面例3的條件，對(duì)于結(jié)論的成立是必要的，又是充分的。

（2）至于“無(wú)此必不然”，就是說(shuō)如果沒(méi)有條件B，則事件A就不能成立，即條件B是不能被撤換的。如例4，顯然若tanA≠tanB，則A≠B。

（3）如果把條件B和結(jié)論A互換（或互否），命題一定成立。即逆命題或否命題為真。如例5，若兩個(gè)三角形全等，則他們的對(duì)應(yīng)角相等。

例3，例，4，例5的條件對(duì)于各自結(jié)論的成立來(lái)說(shuō)，都是必要條件，而例4，例5，由于只是逆命題為真而原命題不真，即條件并不能保證結(jié)論一定成立，故條件僅僅是必要的。

三、充要條件

定義：性質(zhì)A對(duì)于性質(zhì)B是充分必要的特征，如果A的成立，得出B的成立；并且A不成立時(shí)，不可能有B成立。這就是說(shuō)：如果原命題的成立，他的逆命題也成立，則我們說(shuō)原命題的條件是既充分而又必要的，也即A B。

例6 若b2-4ac=0，則實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0（a≠0）必要等根。

例6還可敘述成：要使實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0（a≠0）有等根，必須且只須b2-4ac=0。這里術(shù)語(yǔ)“必須”表示“必要條件”，而“只須”就表示“充分條件”。同樣，對(duì)于例3我們也可敘述為“要使多項(xiàng)式f（x）能被x-a整除，必須且只須f（a）=0”或當(dāng)且僅當(dāng)f（a）=0，多項(xiàng)式f（x）能被x-a整除”。

如果A是B的充分必要條件，那么B也是A的充分必要條件。在實(shí)際應(yīng)用中，我們把充分必要條件簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件。同時(shí)，還必須了解，我們說(shuō)充分條件，應(yīng)視為也包含充要條件，不要把它看成只“僅僅是充分的但非必要的”，即充分條件可以是充要條件，也可以是“僅僅是充分的”，對(duì)于必要條件，也可作同樣的理解。

（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）