【摘 要】多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，同時(shí)也是課堂教學(xué)中的難點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)注重各類積分概念的引入和理論應(yīng)用的講解，通過對(duì)各類積分計(jì)算的對(duì)比和聯(lián)系，形成統(tǒng)一的知識(shí)體系。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù) 微積分

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）29-0054-02

多元函數(shù)積分學(xué)涉及的積分類型比較多，包括重積分、曲線積分和曲面積分，而這些積分之間又通過格林公式、高斯公式以及斯托克斯建立起來各種聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易混淆各種積分概念，在計(jì)算時(shí)常常出現(xiàn)張冠李戴的事情。因此，在教學(xué)過程中采用合理有效的教學(xué)方法，積極發(fā)揮學(xué)生的探索精神就顯得尤為重要。

一 注重各類積分知識(shí)背景的引入，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

高等數(shù)學(xué)的基本特征是其研究對(duì)象的高度抽象性。這一特性也恰恰決定了它的應(yīng)用非常廣泛。事實(shí)上，這些抽象的概念往往來自于社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)踐，具有非常強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景。因此，多元函數(shù)積分學(xué)中每一個(gè)積分定義的引入應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到它就在身邊。比如，借助于密度函數(shù)，我們通過求平面薄片的質(zhì)量引入二重積分，求空間立體的質(zhì)量引入三重積分，求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量引入對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，求曲面形構(gòu)件的質(zhì)量引入對(duì)面積的曲面積分。變力沿曲線做功可以通過對(duì)坐標(biāo)的曲線積分來計(jì)算；電場(chǎng)、磁場(chǎng)在曲面上的通量就是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)當(dāng)首先把要解決的實(shí)際問題描述清楚，然后花較多的精力和時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)如何用“微元法”的思想求解上述問題，引導(dǎo)他們?nèi)ブ鸩秸莆者@一思想的本質(zhì)：“分割，近似，求和，取極限”。這樣細(xì)致的講解是很有必要的，一方面，上述這些物理背景都是具體的，看得見摸得著，比較淺顯易懂，能夠很好地闡釋各種抽象的積分概念，讓學(xué)生抓住各類積分定義的要點(diǎn)。另一方面，隨著課程的逐步深入，在多元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用方面，像轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心和引力等物理量將會(huì)陸續(xù)出現(xiàn)。學(xué)生可以通過對(duì)“微元法”思想的理解，自己獨(dú)立完成相關(guān)物理量計(jì)算公式的推導(dǎo)。當(dāng)學(xué)生親身感受到多元函數(shù)積分學(xué)的實(shí)用性后，學(xué)習(xí)興趣自然就會(huì)得到提高。

二 教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)類比和化歸的思想方法，講透各類積分的共性和區(qū)別

多元函數(shù)積分種類繁多，計(jì)算方法復(fù)雜，學(xué)生掌握起來比較困難。教學(xué)過程中教會(huì)學(xué)生使用類比、化歸的思想去學(xué)習(xí)積分概念、性質(zhì)及計(jì)算公式就顯得尤為重要。類比和化歸的學(xué)習(xí)方法便于學(xué)生形成統(tǒng)一的知識(shí)體系、培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索意識(shí)、認(rèn)清概念間的關(guān)系及概念的本質(zhì)。從各類積分的概念出發(fā)，以非均勻物體的質(zhì)量為模型，我們可以將二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

和對(duì)面積的曲面積分四個(gè)概念統(tǒng)一表示為：

（4）取極限： ，其中λ表示所有分割

微元 中直徑的最大者。分割的幾何形體Ω的不同又體現(xiàn)出不同類型積分的自身特征。比如Ω可以為平面有界閉區(qū)域（二重積分）、空間有界閉區(qū)域（三重積分）、分段光滑曲線弧段（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）、分片光滑有界曲面（對(duì)面積的曲面積分）； 可以表示面積元素（二重積分）、體積元素（三重積分）、弧長(zhǎng)元素（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）、曲面面積元素（對(duì)面積的曲面積分）等。

從各種積分計(jì)算過程來看，可以把所有的多元函數(shù)積分計(jì)算過程統(tǒng)一為三步：（1）畫區(qū)域；（2）刻畫；（3）計(jì)算。具體來說，步驟（1）的主要目的是通過作圖來確定積分區(qū)域，它是積分計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)。這需要學(xué)生具備較好的空間解析幾何知識(shí)，特別是各種常見的二次曲面的圖形以及各種曲線、曲面和空間立體在坐標(biāo)平面上的投影。課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)和現(xiàn)實(shí)生活中的建筑物（比如發(fā)電廠的冷卻塔以及廣州電視塔等）能夠讓學(xué)生對(duì)常見二次曲面圖形的印象更加深刻，拉近與曲面圖形的距離。步驟（2）是指學(xué)生需要準(zhǔn)確地刻畫出積分區(qū)域，比如，用不等式來刻畫出平面有界閉區(qū)域、空間有界閉區(qū)域以及空間曲面在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域；用參數(shù)方程來刻畫出分段光滑曲線弧段等。步驟（3）是指合理地選擇計(jì)算公式，并準(zhǔn)確地執(zhí)行。重積分的計(jì)算更多體現(xiàn)在坐標(biāo)系的選擇和積分區(qū)域的不等式刻畫，不同坐標(biāo)系下的計(jì)算公式也不盡相同，合理地選擇坐標(biāo)系往往能夠簡(jiǎn)化計(jì)算量；曲線積分的計(jì)算主要體現(xiàn)在曲線參數(shù)方程的確定，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分都是化為定積分，定積分的上限和下限要分清，前者下限一定要小于上限，后者下限和上限分別對(duì)應(yīng)積分弧段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且兩種曲線積分可以相互轉(zhuǎn)化。曲面積分的計(jì)算多體現(xiàn)在曲面方程和投影坐標(biāo)平面的確定，對(duì)面積的曲面積分和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分都是化為二重積分，都是將曲面投影得到二重積分的積分區(qū)域，相比前者，后者需由有向曲面的側(cè)定出二重積分前的符號(hào)，并且兩種曲面積分也可以相互轉(zhuǎn)化。

三 善于歸納總結(jié)，活用各種定理，提高解題效率

能夠熟練地進(jìn)行微積分的基本運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)之一。因此，學(xué)生多做一些習(xí)題是很有必要的。但是，初學(xué)者不能盲目地做題，而應(yīng)當(dāng)花更多的時(shí)間去思考各類積分的概念和基本定理，弄清楚解題方法的理論支撐。要善于總結(jié)和發(fā)掘解題經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用各類積分的相關(guān)性質(zhì)和相關(guān)定理，提高解題效率。

第一，重積分的計(jì)算要注重坐標(biāo)系的選擇和積分次序的交換。二重積分計(jì)算要注意在兩種坐標(biāo)系下面積元素的不同形式；在直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分時(shí)，積分次序決定著計(jì)算的難易程度；選擇極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的特征是：積分區(qū)域是與圓相關(guān)的平面區(qū)域。三重積分的計(jì)算要注意在三種坐標(biāo)系下體積元素的不同形式；直角坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系是計(jì)算時(shí)優(yōu)先選擇的對(duì)象，計(jì)算方法主要分為兩類：先一后二（投影法）和先二后一（截面法）；球坐標(biāo)系的選擇要慎重（積分區(qū)域稍復(fù)雜時(shí)，球坐標(biāo)系下的不等式刻畫就比較困難），選擇球坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算的特征是：積分區(qū)域?yàn)榍蛎婧蛨A錐面等所圍成的立體。

第二，定積分、重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)面積的曲面積分都可以利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也可同樣操作，但情況相對(duì)比較復(fù)雜（除了積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性外，還要考慮積分曲線弧、積分曲面的方向）。

第三，格林公式和高斯公式分別是計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的優(yōu)先選擇。但是，使用上述公式時(shí)需要驗(yàn)證它們的條件：曲線（曲面）的正向和封閉性；被積函數(shù)在積分區(qū)域上是否具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。不滿足封閉性時(shí)要求輔助線（面）的做法力求簡(jiǎn)單有效，便于計(jì)算。比如，格林公式中多選擇平行坐標(biāo)軸的直線段，而高斯公式中多選取平行坐標(biāo)平面的平面，同時(shí)被積函數(shù)要求在添加輔助線（面）后的封閉區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

第四，計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件成立時(shí)，就可以選擇比較簡(jiǎn)單的路徑替代原路徑，但需注意被積函數(shù)在新路徑與原路徑所圍積分區(qū)域上必須具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)選擇高斯公式比較麻煩時(shí)，兩類曲面積分之間的轉(zhuǎn)換公式經(jīng)?？梢阅脕韲L試簡(jiǎn)化計(jì)算。

第五，多元函數(shù)的各類積分在物理上的應(yīng)用都非常廣泛。非均勻物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心和引力等問題，不僅利用重積分可以求解，而且對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)面積的曲面積分也能用來計(jì)算它們，這就要求學(xué)生在計(jì)算時(shí)一定要弄清楚非均勻物體對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域是什么樣的幾何形體Ω。比如，Ω是平面上的閉區(qū)域和空間上的立體閉區(qū)域就分別對(duì)應(yīng)二重積分和三重積分；Ω是曲線和曲面就分別對(duì)應(yīng)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)面積的曲面積分。遇到變力沿曲線做功問題時(shí)就對(duì)應(yīng)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，遇到流量問題時(shí)就對(duì)應(yīng)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕、汪二款〕