2014年10月，臨安市舉行了數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)比武活動，我作為評委之一有幸參與了錦城區(qū)的評比工作。其中有四位教師選擇了二年級上冊的“有序排列”這一教學(xué)內(nèi)容。對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)不同的理解和把握產(chǎn)生了不同的教學(xué)過程和教學(xué)效果，引發(fā)了我很多思考。

片段：情景導(dǎo)入，（前部分省略）出示中國地圖：

師：相鄰的兩個省份用不同的顏色來表示很容易區(qū)分，使人一眼就能看出。（圖略）

師：我們學(xué)校也有東、西兩個校區(qū)，請你用紅、黃兩種顏色來表示，有幾種不同的表示方法。

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生：東校區(qū)涂紅色，西校區(qū)涂黃色；或者東校區(qū)涂黃色，西校區(qū)涂紅色兩種。

師：如果老師想用紅黃藍三種顏色來表示東、西兩個校區(qū)，有幾種不同的涂法呢？

從紅黃藍三種顏色中選出兩種，給兩個校區(qū)涂上不同的顏色。

學(xué)生自主操作涂色，教師有意識地選取兩個學(xué)生的作品（一個涂了四種，一個涂了七種）展示。

師：你覺得他們涂得對嗎？為什么？怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？說說你是怎樣涂的。從而引出了交換法和定位法。

課后與執(zhí)教老師進行交流，我問為什么選擇這個內(nèi)容進行探究學(xué)習(xí)，而不用教材上的例題。教師的回答是教材上的例題太簡單，學(xué)生很容易得出這六個數(shù)，探究的價值不大，而用這個內(nèi)容有一定的難度，有利于探究活動的開展。這是老師的真實想法。老師的這種想法，引發(fā)我很多的思考。有序排列的教學(xué)重點是通過探究活動，找到有序排列的基本策略，建構(gòu)有序排列的數(shù)學(xué)模型，而并非通過復(fù)雜的材料探究出排列的種類。所以想要把握一個教學(xué)內(nèi)容的重點、難點和生長點，必須要把握好教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)，即透過數(shù)學(xué)知識書面的、靜態(tài)的符號形式，聯(lián)想到蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法、知識的發(fā)生發(fā)展歷史、社會生活應(yīng)用情境、學(xué)生的潛在經(jīng)驗及認(rèn)知活動過程等。因為數(shù)學(xué)知識教學(xué)不僅僅是單一的、靜態(tài)的符號形式，更是數(shù)學(xué)思想方法、語言、文化的整體的、動態(tài)的綜合體現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升必須在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的探索過程中，感悟知識，形成技能，體驗思想方法，獲得積極的情感體驗。于是我在教學(xué)中設(shè)計了這樣幾個環(huán)節(jié)。

一、把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是一種思維方式，是一種“數(shù)學(xué)化”的思維方式，因此數(shù)學(xué)的魅力不僅在于它的精確計算，而在于它是一種思維方式，把具體的問題上升到抽象的數(shù)學(xué)問題，再通過解決抽象的數(shù)學(xué)問題將其應(yīng)用到具體的問題解決中。這個過程被稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)思維就是一種模式化的思維方式。所以我們在教學(xué)有序排列時的教學(xué)重點是幫助學(xué)生建立有序排列的數(shù)學(xué)模型。

片段一

情景導(dǎo)入：

師：今天老師要帶同學(xué)們一起去數(shù)學(xué)城堡游玩，大家喜歡嗎？可是進入數(shù)學(xué)城堡要用密碼才能開啟大門。提示：密碼是由1和2組成的一個兩位數(shù)，它有幾種可能？

生：12或者交換位置21兩種可能。

師：還有其他可能嗎？我們來試試吧。啊，密碼原來是21。大門打開了，我們來到了數(shù)學(xué)宮殿。要進入數(shù)學(xué)宮殿又要密碼才能開啟大門。

提示：密碼是由1、2、3三個數(shù)中的兩個數(shù)組成的兩位數(shù)，這個密碼有幾種可能？每個同學(xué)在作業(yè)紙上試一試，寫一寫。

反饋：大家都寫好了，我們來看看這兩位小朋友寫得對嗎？

（1）12、23、13、21

生：少寫了好幾個。

師：你認(rèn)為有幾個？他漏寫了哪幾個？再看第二個同學(xué)寫的。他寫對了嗎？

（2）12、13、23、21、31、32、13

生：不對，13這個數(shù)重復(fù)了。

師：我們在排列的時候不能重復(fù)，也不能漏寫。怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？

學(xué)生1演示：12、21、13、31、23、32

師：大家仔細(xì)看他取卡片的時候有規(guī)律嗎？是怎樣取的？（從小到大依次取的）。排數(shù)字的時候是怎樣排的？你能給你的方法取個名字嗎？（出示交換法）

師：誰有和他不一樣的方法？上來給大家演示一下。

生2演示：12、13、21、23、31、32

師：大家仔細(xì)看他取卡片的時候有規(guī)律嗎？是怎樣取的？（從小到大依次取的）。排數(shù)字的時候是怎樣排的？你能給你的方法取個名字嗎？（出示定位法）

師：還有不一樣的方法嗎？

生3演示：21、31、12、32、13、23

師：說說你是怎樣排的。

教師總結(jié)：剛才三位小朋友上來給大家演示了他們的排列方法，有一個共同點就是都是按從小到大的順序依次來取卡片的，從而保證不重復(fù)、不遺漏。

建構(gòu)主義認(rèn)為：“教學(xué)，歸根到底是一種幫助和促進人成長的努力。”意即教學(xué)工作是為了幫助學(xué)生參與知識建構(gòu)，而非讓學(xué)生記住結(jié)果。學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動完成建構(gòu)的過程，必須以學(xué)習(xí)者原有的經(jīng)驗、心理結(jié)構(gòu)等為基礎(chǔ)，教學(xué)需要找準(zhǔn)學(xué)生的“學(xué)習(xí)起點”。從“學(xué)生的現(xiàn)實”去尋找教學(xué)素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，還能夠更好地提示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、把握數(shù)學(xué)的基本原則，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的基本原則就是求真、求簡、求美。即把原本比較復(fù)雜的事物通過運用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法變得簡單，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力。

片段二

師：到底是哪一個密碼呢？請看提示：密碼是這一列數(shù)中從小到大排在第四個的那個數(shù)，誰能很快找到它？

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生：是23。

師：他找對了嗎？說說從哪種方法的排列中更容易找到它？為什么？

教師總結(jié)：定十位法不僅取卡片的時候是按從大到小取的，而且排成的兩位數(shù)也是從大到小依次排列的，更能看出它的有序性。

教師在這個環(huán)節(jié)中首先通過對比，突出了用定十位法的優(yōu)越性，更能體現(xiàn)出排列的有序性。

片段三

師：打開了數(shù)學(xué)宮殿的大門，這個宮殿真美啊，沈×、陳×、王×是好朋友，想在宮殿前拍照留念，如果每兩個人都要拍一張，一共有幾種不同的排列方法？請在作業(yè)紙上排一排。

反饋：說說你是怎樣排的。

生1：沈×、陳×/陳×、沈×/沈×、王×/王×、沈×/陳×、王×/王×、陳×

生2：沈×、陳×/沈×、王×/陳×、沈×/陳×、王×/王×、沈×/王×、陳×

我們可以用交換法和定位法找到這六種排列，但要寫這么多名字比較麻煩，誰有更簡潔的方法來表示呢？

生：我可以給他們寫上號碼，再來排列。1號是沈×，2號是陳×、3號是王×，我就可以排成12、21、13、31、23、32。

師：真聰明，他把生活中的拍照問題，用編號的方法就轉(zhuǎn)化成我們數(shù)學(xué)上的數(shù)字排列問題了，又快又簡單。

教師把生活中拍照的有序排列問題與數(shù)學(xué)中有序排列的數(shù)學(xué)模型有機地聯(lián)系起來。

教師在教學(xué)中要深入鉆研教材，同時高于教材，用一些更高的觀點來理解、把握教學(xué)內(nèi)容。教師可以通過還原數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)生過程，還原數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史，著眼數(shù)學(xué)知識的本原意義，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的體系結(jié)構(gòu)等，把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)。

？誗編輯 王夢玉