【摘 要】數(shù)學(xué)實驗課與一般數(shù)學(xué)課的不同之處在于：素材的背景具有原生性，問題的揭示具有生成性，研究的內(nèi)容具有綜合性，探索的過程具有實踐性，學(xué)習(xí)的方式具有自主性，思維的訓(xùn)練具有延展性，目標的達成具有開放性。正因為如此，數(shù)學(xué)實驗課成為學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗、內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，也成為提升教師課程能力的平臺。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗課 課程能力 自主建構(gòu) 經(jīng)驗 方法

數(shù)學(xué)實驗課以學(xué)生的學(xué)習(xí)活動為主體，以學(xué)生的親身體驗、再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)為主要途徑，強調(diào)學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師、學(xué)生與社會之間的合作與交流，注重激發(fā)學(xué)生的主體意識和主動建構(gòu)的積極性，力圖改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)過分強調(diào)“執(zhí)行教案”的狀態(tài)，容納師生的新體驗、新感悟，有即興發(fā)揮的創(chuàng)造，也有過程和結(jié)果的開放，最終引領(lǐng)學(xué)生“活學(xué)數(shù)學(xué)”“學(xué)活數(shù)學(xué)”。

一、解決問題、積累經(jīng)驗是設(shè)計數(shù)學(xué)實驗課的基石

《初中數(shù)學(xué)課程標準》將過程性目標列為課程標準之一，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是過程性目標，而數(shù)學(xué)實驗課的開設(shè)就為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗提供了機會。在這個過程中，學(xué)生和教師共同解決問題、積累經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)實驗課案例1：從排隊來認識負數(shù)

實驗活動1：首先，把全班學(xué)生按身高由低到高排成一列，并依次編為1號、2號……，然后再把學(xué)生分成4個學(xué)習(xí)小組，每組5-6人。學(xué)生回到各小組后完成下面兩個圖（線上寫姓名，線下寫數(shù)字）。學(xué)生在圖1中，把自己及小組成員的編號依次標在相應(yīng)位置。在圖2中，要求學(xué)生首先把自己（我）放在0的位置上，再標出其他組員的對應(yīng)位置。

實驗活動2： 把活動1中“按身高由低到高排成一列”改為“按年齡由小到大排成一列”，再完成與上面一樣的圖。

實驗活動3：讓學(xué)生自己確定排隊的標準，再完成相同的任務(wù)。

對于“認識負數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容，一般的數(shù)學(xué)教學(xué)都是采用從具有相反意義的量引入，“把一個量記為正，那么另一個量就記為負”。大多通過“零上與零下”“上升與下降”“收入與支出”等實例的比較來強調(diào)引入負數(shù)的必要性，對學(xué)生而言都是被動地接受。許多學(xué)生難以感受到負數(shù)的實際存在，有的學(xué)生最終也不能理解“零并不表示沒有”這句話的真正涵義。

本案例將“認識負數(shù)”作為一節(jié)實驗課來上，可以幫助學(xué)生從生活經(jīng)驗出發(fā)，不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并自主完成從生活經(jīng)驗到數(shù)學(xué)經(jīng)驗的提升。學(xué)生在自主完成第一個圖時，其實就是把排隊時的“隊列”提升為圖上的“直線”，隊列中的“學(xué)生”提升為直線上的“點”，并對應(yīng)一個數(shù)。在思考問題、解決問題的過程中完成了這一提升過程。面對第二個圖，學(xué)生在前面積累經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進行較為深入的思考與合作交流，最終引出了負數(shù)。整個負數(shù)的引入過程親切自然，順理成章。學(xué)生切實感受到“負數(shù)的引入是必要的，負數(shù)就在我們身邊”，學(xué)生也自然而然地認識到：“由于‘0就是我’，所以‘零不能表示沒有’?！?/p>

本節(jié)數(shù)學(xué)實驗課沒有純粹的教師教的活動，更多的是從學(xué)生熟悉的生活場景出發(fā)，為學(xué)生營造一個寬松和諧、無拘無束的心理自由和安全的環(huán)境，讓學(xué)生以飽滿的熱情參與教學(xué)。體現(xiàn)了從學(xué)生熟悉的常識或基本的生活及學(xué)習(xí)經(jīng)驗出發(fā)設(shè)計學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在活動中體驗和感悟?qū)W習(xí)內(nèi)容，尋求解決問題的途徑，獲得新知，解決問題，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這種思考與解決問題的方法，更符合人的認知規(guī)律，也是指導(dǎo)設(shè)計數(shù)學(xué)實驗課的思想基石。

二、提升經(jīng)驗、學(xué)會方法是設(shè)計數(shù)學(xué)實驗課的核心

思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。它是眾多的數(shù)學(xué)問題解決后總結(jié)而成的，它凌駕于具體問題之上而熠熠生輝。數(shù)學(xué)思想方法對解決具體的數(shù)學(xué)問題具有指導(dǎo)作用，它不一定是非常明確的解題方法，但它總能指明解決問題的方向。

數(shù)學(xué)實驗課案例2：從翻轉(zhuǎn)茶杯來認識有理數(shù)的乘法法則

將學(xué)生4-5 人分為一組，按序編號，每小組選擇若干個大小一樣的茶杯。

數(shù)學(xué)實驗一：“3翻2”。3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過若干次操作，能否使3只茶杯的杯口都朝下？

數(shù)學(xué)實驗二：“4翻2、3”。4只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過若干次操作，能否使4只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉(zhuǎn)3只茶杯呢？

數(shù)學(xué)實驗三：“5翻2、3、4”。5只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過若干次操作，能否使5只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉(zhuǎn)3只、4只茶杯呢？

數(shù)學(xué)實驗四：引導(dǎo)學(xué)生運用獲得的活動經(jīng)驗，提出需要研究的問題——“5翻2”“5翻3”“5翻4”“6翻4”“6翻5”等。讓學(xué)生充分活動、交流、展示。

1.引導(dǎo)學(xué)生思考。

（1）“3翻2”是否的確無法實現(xiàn)？如何解釋？

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后已有2只茶杯的杯口朝下，只有1只茶杯的杯口朝上；“每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯”是否可以看作“將1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次”？

（2）如何解釋“5翻2”也無法實現(xiàn)？

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后已有2只茶杯的杯口朝下，還有3只茶杯的杯口朝上，問題轉(zhuǎn)化為上述的“3翻2”。

（3）關(guān)于“5翻3”。

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后“5翻3” 轉(zhuǎn)化為“2翻3”；第二次翻轉(zhuǎn)后（將1只茶杯翻轉(zhuǎn)1次，另1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次）問題轉(zhuǎn)化為“1翻3”；每次翻轉(zhuǎn)3只茶杯可以看作將1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)3次。所以“5翻3”可以完成。

（4）一次“6翻4”的操作相當于進行兩次“6翻2”。

2.實驗結(jié)論。

在生活中，“杯口朝上” 與“杯口朝下”意義相反，數(shù)學(xué)上常用正負數(shù)表示具有相反意義的量。如用“+1”表示“杯口朝上”，那么“杯口朝下”就可以表示為“-1”。翻轉(zhuǎn)茶杯的問題就變?yōu)椋航?jīng)過若干次操作，表示各個杯子狀態(tài)的數(shù)字從“+1”變?yōu)椤?1”。

下面我們用各個數(shù)字積來代表茶杯的整體狀況。翻轉(zhuǎn)1只茶杯，就是改變1只茶杯的杯口朝向，即相當于改變1個因數(shù)的符號。同時翻轉(zhuǎn)3只茶杯，就是同時改變3個因數(shù)的符號，這時若干茶杯的整體狀況改變；同時翻轉(zhuǎn)2只茶杯，就是同時改變2個因數(shù)的符號，這時若干茶杯的整體狀況不改變。這樣，我們就可以用有理數(shù)乘法運算的“符號法則”來解決“翻轉(zhuǎn)茶杯”的問題了，也就把“翻轉(zhuǎn)茶杯”的問題“數(shù)學(xué)化”了。

以“3翻2”為例 ：

由于每次翻轉(zhuǎn)兩只茶杯，整體狀態(tài)不發(fā)生改變，始終為“+1”，不可能變?yōu)槟繕藸顟B(tài)的“-1”，所以“3翻2”是不可能實現(xiàn)的。

3.方法應(yīng)用：試用這種方法解釋其他情形。

“同號得正，異號得負，幾個非零因數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負，當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正”。一般的課堂教學(xué)中都是教師隨意舉例得出法則，教會學(xué)生用來解題即可。很少有教師會細究法則的原因。而這節(jié)數(shù)學(xué)實驗課，使學(xué)生對這一法則有了進一步理解。

本節(jié)課針對問題情景，合理地設(shè)計數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容以及教學(xué)方法，既考慮到學(xué)生的直接經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生思考，以提升他們的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，也考慮到問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法，講解方法，引導(dǎo)他們總結(jié)思想方法。從具體教學(xué)中可以看出，學(xué)生能夠借助所學(xué)的知識和生活經(jīng)驗，獨立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，學(xué)生在實驗、討論、解決問題等活動中表現(xiàn)出來的興趣、好奇心、投入程度、合作態(tài)度、意志力和探索精神等，都比常態(tài)課要高得多。

三、運用方法、形成觀念是設(shè)計數(shù)學(xué)實驗課的靈魂

通過數(shù)學(xué)實驗活動，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問題的提出、分析和解決的過程，通過對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和內(nèi)化，他們在頭腦中會逐步留下對數(shù)學(xué)的綜合性認識，這就是數(shù)學(xué)觀念。它是學(xué)生對數(shù)學(xué)的理性認識、情感、態(tài)度、價值觀的綜合體，對數(shù)學(xué)觀念的追求應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最原始、最永恒、最有效的動力。一旦形成積極、正確的數(shù)學(xué)觀念，學(xué)生就會有學(xué)以致用的意識和能力，會積極參與合作學(xué)習(xí)，能夠積極思考、勇于探索，既能夠發(fā)現(xiàn)自己的思維方式中的錯誤，接受別人的幫助，調(diào)整思維策略，也能夠勇于懷疑、大膽創(chuàng)新，還能夠表現(xiàn)自我、展示思維、迸發(fā)智慧、體驗成功。

數(shù)學(xué)實驗課案例3：五邊形能鑲嵌嗎？

問題1：只用正方形或者是等邊三角形的地板磚能不能將一塊地面鋪滿？

實驗活動一：拿出準備好的正方形和等邊三角形的硬紙片試著拼。

問題2：正五邊形能鑲嵌嗎？

實驗活動二：拿出準備好的正五邊形硬紙片試著拼，觀察并討論為什么正三角形、正方形可以鑲嵌，而正五邊形不可以。

問題3：全等的三角形、四邊形能不能進行鑲嵌呢？

實驗活動三：拿出準備好的全等的三角形和四邊形，只利用全等的三角形或者只利用全等的四邊形，試著拼一下。

問題4：用不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌要具備什么條件？

實驗活動四：正五邊形是不可以進行鑲嵌的，普通的五邊形是否能夠鑲嵌呢？

對于這一問題，《教師用書》給出的參考答案是：“用全等的五邊形不能鑲嵌平面，因為在圖形的每一個拼接點處，無法用五邊形的某些角構(gòu)成周角。”但學(xué)生卻通過實驗、猜想、驗證發(fā)現(xiàn)五邊形是可以鑲嵌的。學(xué)生還通過網(wǎng)絡(luò)平臺發(fā)現(xiàn)，迄今為止，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有十多種可以鑲嵌的五邊形。本課之所以這樣設(shè)計，就是從這一錯誤經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生通過自我學(xué)習(xí)與積累，運用所掌握的方法，勇于懷疑、大膽創(chuàng)新，幫助他們養(yǎng)成良好的治學(xué)品質(zhì)和嚴謹?shù)膶W(xué)科素養(yǎng)，形成積極的數(shù)學(xué)觀念。沒有一種解題方法是最完美的，我們的數(shù)學(xué)課應(yīng)該承擔起培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力的重任。每個學(xué)生的想法都有其發(fā)生、發(fā)展的過程，這些過程都應(yīng)該被關(guān)注。也許有些想法是錯誤的，但這種錯誤也同樣有價值。讓學(xué)生參與實驗，不僅可以調(diào)動學(xué)生的積極性，還能發(fā)現(xiàn)教師解決問題的片面性。數(shù)學(xué)實驗課使合作探究成為可能，使知識的流動有了載體。

（本文獲江蘇省第十三屆“五四杯”中學(xué)青年教師教育教學(xué)論文競賽一等獎；作者單位：江蘇省連云港市朐山中學(xué)）