【摘 要】數(shù)學(xué)教學(xué)很大程度上是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，它是一個(gè)嚴(yán)密和系統(tǒng)的過程。如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體現(xiàn)出學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要課題，方法有多種多樣，而在教學(xué)過程中著力培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的一個(gè)切入點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】活動(dòng)能力 作圖 思維力 分類思想

一、數(shù)學(xué)作圖與分類思想的形成

例如，等腰三角形的畫法應(yīng)用的教學(xué)。

如圖1所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（ ）個(gè)。

此題在等腰三角形的概念基礎(chǔ)上，考查學(xué)生對(duì)概念理解的全面性，怎樣才能準(zhǔn)確地畫出符合條件的P點(diǎn)，而且不重復(fù)、不遺漏，這就要求學(xué)生做到認(rèn)真分析，從而在分析與作圖過程中培養(yǎng)分析和解決問題的能力以及分類思想的運(yùn)用。

a.當(dāng)AB為腰，點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，作以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓，與直線AB、BC相交的交點(diǎn)都是符合條件的點(diǎn)P。

b.當(dāng)AB為腰，點(diǎn)B為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，作以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓，與直線AB、BC相交的交點(diǎn)都是符合條件的點(diǎn)P。

c.當(dāng)AB為底邊時(shí)，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。

故符合條件的點(diǎn)共有8個(gè)，如圖2所示。

這一類題目都可以歸結(jié)到“兩圓一線”的基本作圖上來，這類問題的探究既讓學(xué)生經(jīng)歷了問題的探討過程，體會(huì)了知識(shí)的系統(tǒng)性，也在探索過程中培養(yǎng)了學(xué)生的分類思想和化歸思想，使學(xué)生對(duì)等腰三角形的作圖問題有一個(gè)全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

類比題：

（1）若以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線AB切于點(diǎn)C，求C點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。

二、數(shù)學(xué)作圖與知識(shí)的形成

從知識(shí)的形成角度來說，教學(xué)過程中要強(qiáng)化過程意識(shí)，注意數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，重視知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程。也就是說，教學(xué)中要加強(qiáng)過程教學(xué)，真正做到結(jié)論和過程并重。從這點(diǎn)上來說，數(shù)學(xué)作圖能力的培養(yǎng)與發(fā)展，能幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的形成、發(fā)展過程的理解。學(xué)生自己動(dòng)手操作的過程，就是積累經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)能力的過程。

例如，在三角形全等條件的探索中，作三角形是基本操作，也是學(xué)生應(yīng)該掌握的作圖基本能力，同時(shí)對(duì)于學(xué)生正確理解三角形全等的條件也有著舉足輕重的作用。

通過兩邊和兩邊夾角作三角形，學(xué)生明白了，根據(jù)兩邊和兩邊的夾角所作出的三角形是唯一的，故兩次用同樣的條件作出來的圖形是一樣的，即可以重合，這說明滿足兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。其中，在強(qiáng)調(diào)這個(gè)全等事實(shí)時(shí)，必須指出，其中角的條件是兩條邊的夾角，若不是夾角，三角形會(huì)全等嗎？即滿足兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如圖4所示，△ABC和△ABD中，∠BAC和∠BAD是公共角，是一對(duì)相等角，AB是公共邊，以點(diǎn)B為圓心BC長(zhǎng)為半徑的弧與AC邊相交于點(diǎn)D，所以BC=BD，在這個(gè)圖中滿足△ABC和△ABD有兩邊和一角相等，顯然兩個(gè)三角形不全等，學(xué)生通過作圖就能一目了然。

解決該題的關(guān)鍵點(diǎn)就是要會(huì)作圖，通過分類思想，得到三種情形，即①如圖5所示，5cm和6cm是30°角的夾邊，②5cm是30°角的對(duì)邊，③6cm是30°角的對(duì)邊。而通過作圖不難得到，當(dāng)5cm為30°角的對(duì)邊時(shí)，又有兩種情況（見圖6），故本題有四種不同答案。而題中甲、乙、丙給出的解答都不全面，補(bǔ)上第四種情況（如圖7），即“6cm是30°角的對(duì)邊”，便可全面求解了。

初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，學(xué)生“能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考”。要達(dá)到這一要求，教師就要在平時(shí)教學(xué)中重視學(xué)生數(shù)學(xué)作圖能力的培養(yǎng)。當(dāng)然，學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)不能指望“一蹴而就”，而要“細(xì)水長(zhǎng)流”，持之以恒。借助作圖幫助理解、分析題意這種思想要貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

（作者單位：江蘇省高郵市卸甲初級(jí)中學(xué)）