【摘 要】目前針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)題的研究基本都是站在課堂教學(xué)的立場(chǎng),從數(shù)學(xué)概念本身的角度分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因。現(xiàn)實(shí)是,學(xué)生很多錯(cuò)誤的形成還存在心理因素。本文搜集、調(diào)查、整理學(xué)生在八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最初學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)容易重復(fù)的錯(cuò)誤,以及后期階段測(cè)試中得分率仍比較低的錯(cuò)題。對(duì)于每個(gè)錯(cuò)誤,找學(xué)生訪談,了解學(xué)生的真實(shí)想法,找出學(xué)生不同知識(shí)點(diǎn)的錯(cuò)誤中存在的內(nèi)在共同點(diǎn)。
【關(guān)鍵詞】八年級(jí)數(shù)學(xué) 典型錯(cuò)誤
一、 學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)初期的錯(cuò)誤類型
學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)對(duì)某些概念表現(xiàn)出不能接受的抵觸而反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤。具體分類如下:
1.對(duì)字母表示數(shù)的正負(fù)存在錯(cuò)誤觀念。
有部分學(xué)生頑固地認(rèn)為沒有出現(xiàn)負(fù)號(hào)的式子的值為正數(shù),如“a”為正數(shù),而出現(xiàn)負(fù)號(hào)的式子的值就為負(fù)數(shù),如“-a”為負(fù)數(shù)。實(shí)質(zhì)上,學(xué)生強(qiáng)烈抵制“字母即一般(或概括)的數(shù)”這個(gè)觀點(diǎn)。這個(gè)錯(cuò)誤觀念不糾正,他們常常會(huì)本能地出現(xiàn)有關(guān)字母正負(fù)號(hào)的錯(cuò)誤。
舉例:(a<0)=a=a。學(xué)生雖然知道,但是他仍然本能地認(rèn)為結(jié)果是“a”,忽視題目中已經(jīng)給定的“a<0”的條件。
2.把符號(hào)“”與“平方根”混淆起來。
一些學(xué)生在認(rèn)識(shí)“是一個(gè)無限小數(shù)”時(shí)就會(huì)產(chǎn)生抵觸,甚至他們根本沒辦法接收“是一個(gè)數(shù)”的事實(shí)。于是在學(xué)習(xí)二次根式時(shí),他們對(duì)符號(hào)“”意義的理解就發(fā)生了偏差。部分學(xué)生經(jīng)常把“”與“平方根”等同起來。比如:“=±2”,學(xué)生把“”理解為“4的平方根”,所以他認(rèn)為結(jié)果為“±2”。又比如:解方程“x2=2”時(shí),學(xué)生經(jīng)常會(huì)只寫一個(gè)結(jié)果“x=”,表面上看,他是漏了一個(gè)解,但是如果問他“有幾個(gè)解”時(shí),他往往明確地回答“2個(gè)解”,說明他潛意識(shí)認(rèn)為“”就是“2的平方根”,包含了正負(fù)兩個(gè)值。
3.在函數(shù)中把表示變量的字母理解為某個(gè)數(shù)。
學(xué)生趨向于把函數(shù)和代數(shù)公式聯(lián)系起來,他們不能把函數(shù)解析式中表示變量的字母看成是變量,只是把它看成是代數(shù)公式中的字母,或者是方程中的未知數(shù),它代表著某個(gè)數(shù),只是這個(gè)數(shù)現(xiàn)在不知道而已。以至于他們不能把函數(shù)解析式與函數(shù)圖像有機(jī)地結(jié)合起來。
比如,畫出y=5x(0≤x≤4)的函數(shù)圖像,學(xué)生往往不考慮自變量的取值范圍,把它畫成一條直線,說明圖像與自變量的取值范圍之間的聯(lián)系,他們并沒有建立起來。
4.對(duì)命題中的因果關(guān)系存在邏輯錯(cuò)誤。
對(duì)于命題中的條件與結(jié)論分別是什么,學(xué)生通常處于霧里看花的朦朧狀態(tài),經(jīng)常把條件與結(jié)論混淆。
比如,一元二次方程根的判別式與根的情況的關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系,其中包含兩種因果關(guān)系:
第一種是利用根的判別式,不解方程,就可以判斷一個(gè)一元二次方程根的情況;
第二種,反過來,知道根的情況來判斷根的判別式的情況。
但是學(xué)生不能分清這兩種的區(qū)別,習(xí)慣性地使用應(yīng)用比較多的第二種推斷來做題。
舉例:試判斷關(guān)于x的方程x2+ax+a=1是否一定有實(shí)數(shù)根,并說明理由。
學(xué)生通常認(rèn)為此題告知的是“方程有實(shí)數(shù)根”,要自己“求出字母a的取值范圍”。解:∵方程x2+ax+a=1有實(shí)數(shù)根,
∴△b2-4ac=a2-4(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,
∴a是一切實(shí)數(shù)。
正確解答:∵△b2-4ac=a2-4(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,
∴方程x2+ax+a=1一定有實(shí)數(shù)根。
5.分類討論產(chǎn)生困難。
學(xué)生知道有“分類討論”這個(gè)詞,但是他們不知道什么情況下要討論,為什么要討論,即使知道此題要討論,他們也很難找到分類的標(biāo)準(zhǔn),即不知道怎么討論。
舉例:已知菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°,一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,那么菱形的邊長(zhǎng)為 。
學(xué)生典型錯(cuò)誤:“6”;漏了另一個(gè)解“2”。
學(xué)生通常不去追究“一條對(duì)角線長(zhǎng)為6”,到底指“哪條對(duì)角線”,然后在“趨易避難”心理的驅(qū)使下,選擇了比較容易計(jì)算的那種情況,算出答案。
正確的分類如下:
二、學(xué)生在復(fù)習(xí)階段的錯(cuò)誤類型
本次研究抽取了八年級(jí)第二學(xué)期三次校際統(tǒng)一測(cè)試、統(tǒng)一批改的學(xué)生試卷來進(jìn)行重點(diǎn)分析,發(fā)現(xiàn)經(jīng)過教師的講解、學(xué)生的作業(yè)訓(xùn)練以及早期的錯(cuò)誤糾正,學(xué)生原有的錯(cuò)誤情況有了一些改善,但是有的問題仍舊存在,隨著綜合性問題的出現(xiàn),學(xué)生產(chǎn)生了新的困難。我們提取得分率比較低的題目,再次針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤存在的內(nèi)在共同點(diǎn),從認(rèn)知心理活動(dòng)進(jìn)行分析與分類。
1.不能正確理解概念。
八年級(jí)學(xué)生會(huì)把概念“方程的增根”與“方程的根”、符號(hào)“”與“平方根”混淆起來。同時(shí)他們也經(jīng)常把命題的條件和結(jié)論的因果關(guān)系混淆起來。
舉例1:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試第17題:使分式方程-2=產(chǎn)生增根的k的值是 。
此題正確答案是k=±3,得分率為68%。學(xué)生一般只答一個(gè)解。
舉例2:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)5月月考第9題:方程x3-2x=0的解是 。正確答案:x1=0,x2=,x3=-,得分率為79%。
2.不能把自然語言轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言。
學(xué)生不能全部接納同一個(gè)意義的不同表征形式,以至于不能順利建立不同形式的等價(jià)命題之間的聯(lián)系,從而不能自如地進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。
舉例1:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試第6題:已知,函數(shù)y=-2x+3,當(dāng)x 時(shí),該函數(shù)在x軸上方。
學(xué)生就是不能把“函數(shù)在x軸上方”正確轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語言“y>0”,說明“函數(shù)在x軸上方”與“y>0”這兩個(gè)概念在這些學(xué)生的思維中沒有建立概括性的關(guān)系。其實(shí),在此題中這是相等的兩個(gè)概念。
3.不能把概念靈活運(yùn)用到不同的情境中。
學(xué)生通過學(xué)習(xí)訓(xùn)練,能在一般常見的情境中運(yùn)用所學(xué)的概念解決問題,然而當(dāng)題目提供的情境比較少見或者比較抽象時(shí),學(xué)生就不知所措。
舉例:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試第7題:若點(diǎn)P(-2,m)、Q(2,n)是直線y=(m2+1)x+b(b是常數(shù))上的兩點(diǎn),則m、 n大小關(guān)系是 。
平時(shí)學(xué)生常見的題目表述比較直接,通常會(huì)問“函數(shù)y=(m2+1)x+b(m、b是常數(shù))隨著x的增大而 ?!蹦敲磳W(xué)生會(huì)比較肯定地回答“增大”。
此題的情境比較抽象,學(xué)生看見字母多的問題,本身就有不能駕馭的不自信,而且此題涉及的概念也比較多。第一,“m2+1,是個(gè)正數(shù)”;第二,“一次函數(shù)y=kx+b(k≠0,k、b為常數(shù))當(dāng)k>0時(shí),y隨著x的增大而增大”;第三,“若點(diǎn)P(-2,m)、Q(2,n)是直線y=(m2+1)x+b(b是常數(shù))上的兩點(diǎn)”,即“當(dāng)x=-2”時(shí),y=m;x=2時(shí),y=n。
4.不能客觀審視自己的解題過程,從中發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤。
很多學(xué)生只靠本能來做題,做完題目后,他們就很少主動(dòng)地去審視自己有沒有正確理解題意、計(jì)算過程是否正確,要解決的這個(gè)問題需要用到哪個(gè)概念,要注意哪些事項(xiàng),等等。
舉例:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試第4題:若多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°,則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線有( )。
A.7條 B.8條 C.9條 D.10條
此題正確答案應(yīng)該是C,得分率只有50%。很多學(xué)生選D。
通過訪談,發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都能正確計(jì)算出這是一個(gè)十二邊形,但是在計(jì)算對(duì)角線條數(shù)時(shí),他們忘了要去掉原先的這個(gè)頂點(diǎn),因?yàn)轫旤c(diǎn)與它自身不能連接成對(duì)角線。這個(gè)錯(cuò)誤就好像小學(xué)生數(shù)人數(shù)時(shí)忘記數(shù)自己一樣經(jīng)典。
5.對(duì)難度稍大的題目的恐懼情緒抑制思維活動(dòng)。
很多學(xué)生一看見文字比較多的應(yīng)用題、圖形比較復(fù)雜的幾何題以及綜合性強(qiáng)的壓軸題,就產(chǎn)生了恐懼情緒,就會(huì)厭煩,而懶得認(rèn)真思考,只能自動(dòng)放棄。幾乎每份試卷的這些題型的得分率都比較低,學(xué)生也經(jīng)常會(huì)在此開天窗。然而當(dāng)他人講解解題方法時(shí),他們一樣感覺原來方法挺簡(jiǎn)單,埋怨自己考試時(shí)怎么就想不出來。
舉例1:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷第23題:用一張直角邊長(zhǎng)為4cm的等腰直角三角形紙片,剪出一個(gè)面積盡可能大的正方形。甲、乙兩位同學(xué)分別按照方案一、方案二進(jìn)行裁剪,記正方形EDFC的面積為S1,正方形MNGH的面積為S2。
(1)請(qǐng)你通過計(jì)算,直接寫出S1與S2的大小;
(2)比較S1與S2的大小。
此題滿分7分,得分率為77.5%,正確答案為S1=4,S2=,S1>S2。
學(xué)生錯(cuò)誤情況:有11人得3分,只能計(jì)算對(duì)S1=4;有2人得4分,計(jì)算對(duì)S1=4,能判斷出S1>S2;有1人得1分,只能猜測(cè)出S1>S2;有1人得0分。
此題表現(xiàn)形式是一個(gè)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題,實(shí)質(zhì)就是計(jì)算面積,而且不用寫出計(jì)算過程,只需寫出答案,也就是說學(xué)生可以用各種方法(比如小學(xué)學(xué)過的割補(bǔ)法、八年級(jí)學(xué)的勾股定理等)來解決,然而在這樣的文字表述下,很多同學(xué)放棄了計(jì)算S2。
6.相同的練習(xí)過多導(dǎo)致習(xí)慣性錯(cuò)誤。
在一段時(shí)間內(nèi),如果對(duì)同一個(gè)概念用同一種情境同一種表述形式來連續(xù)地訓(xùn)練學(xué)生的話,那么當(dāng)問題題意突然發(fā)生微小的變化時(shí),學(xué)生往往會(huì)輕易地忽略掉變化,習(xí)慣性地解答而導(dǎo)致錯(cuò)誤。
舉例:2010學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷第3題:對(duì)于非零向量,下列命題中假命題是( )。
在考前復(fù)習(xí)階段的測(cè)試中,沒有出現(xiàn)過選擇“錯(cuò)誤答案”的選擇題。很多學(xué)生反映說此題沒有看清題意,以為是選擇“真命題”,所以考試時(shí)看見一個(gè)肯定正確的答案就選上了。因?yàn)槠綍r(shí)選擇題是要求選擇正確答案的居多,習(xí)慣使然。
(作者單位:上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院)