☉江蘇省沭陽高級中學 王有茂

數(shù)學實驗教學初探

☉江蘇省沭陽高級中學 王有茂

在美國的諸多教育場所有這樣一幅標語：“聽了，我知道；看了，我理解；做了，我記得.”心理學研究也表明：聽可以記住10%的信息；看可以記住30%的信息；動手做可以記住90%的信息.這就說明在獲取信息的過程中，動手做的效果最佳.為了能在教學過程中給學生一個接觸科學、學習科學、感受科學的環(huán)境，創(chuàng)造學生多動手、多動腦的條件，教師可以在課堂教學過程中適當?shù)卮┎逡恍嶒灲虒W.數(shù)學作為一門自然科學，當然也不能例外.

新課程理念正是基于此的一種數(shù)學教學實踐，新課程標準中對于動手實踐有了新的說明：讓學生積極參與知識的形成過程，主動建構(gòu)概念，可以用操作實踐的方式（諸如數(shù)學實驗等）讓學生理解數(shù)學、運用數(shù)學、體會數(shù)學的實際價值；荷蘭著名的數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal，1905-1990）曾說過：“要實現(xiàn)真正的數(shù)學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的.在傳統(tǒng)的課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展，它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動”.筆者認為：盡管從現(xiàn)階段數(shù)學教學來看，更多時候數(shù)學還是以純粹理論的方式在進行教學，是以形式化的特征在展示和考查，但是在新課程理念大方向的指引下，數(shù)學教學的趨勢勢必會向更側(cè)重動手實踐的一面傾斜，數(shù)學教學也將會類似物理、化學等學科更注重動手操作與親身實踐，隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，還會為數(shù)學實驗教學增添更豐富和更新鮮的內(nèi)容，提供更先進的手段.近年來，數(shù)學實驗一詞漸漸在各地新課程培訓和實施中嶄露頭角.國內(nèi)外都有一些中小學開設(shè)了數(shù)學實驗室、“e-數(shù)學實驗室”或?qū)嶒灲?，準備各種各樣的教具、操作用具，許多用發(fā)現(xiàn)法教學的課就在數(shù)學實驗室中進行.我校是江蘇省數(shù)學技術(shù)與高中數(shù)學整合課程基地，建有數(shù)學實驗室，擁有諸如圖形計算器、平板終端、幻燈、幾何模型、實具等一系列數(shù)學實驗工具，還建設(shè)有云課程技術(shù)設(shè)備，筆者有幸參與了依托課程基地的省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“基于云課堂的高中數(shù)學互動課程開發(fā)研究”的研究，觀摩了一些數(shù)學實驗課教學，也進行了一些數(shù)學實驗教學嘗試，頗有感想，在此與大家交流分享.

一、數(shù)學實驗的特點

1.開放性

數(shù)學實驗不必像物理、化學課中學生分組實驗那樣，用整節(jié)課比較規(guī)范地完成教師在實驗室中準備的實驗；也不一定要履行“預習—實驗—報告”的要求；也不一定都是借助實物教具，還可以通過數(shù)學軟件來完成.實驗的結(jié)果也不一定唯一，具有開放性.教師可以根據(jù)教學的要求，選擇不同性質(zhì)的實驗.實驗的時間可以由幾分鐘到幾十分鐘不等.數(shù)學實驗要求做到開放性設(shè)計問題，放手讓學生借助工具，利用數(shù)學APP、網(wǎng)絡(luò)、資料實驗學習，最終讓學生解決問題；教師也不再是教書匠，應該是輔導者、參與者、組織者、交流者、歸納者、評價評估者，教師不能控制學生的思維，要大膽放開，真正相信學生，教師可以提供實驗的思維方法、實驗的規(guī)范性和邏輯性.

2.可操作性

數(shù)學實驗與一般的科學實驗類似，具備可操作性.數(shù)學實驗的目的是增加學生學習數(shù)學的趣味性，提高學生學習數(shù)學的積極性，增強學生對數(shù)學的應用意識，培養(yǎng)學生用所學的數(shù)學知識和計算機技術(shù)去認識問題和解決實際問題的能力.不同于傳統(tǒng)的數(shù)學學習方式，它強調(diào)以學生動手為主的數(shù)學學習方式.傳統(tǒng)的數(shù)學教育一般都是純理論的研究，曾經(jīng)有人問挪威數(shù)學家阿貝爾，你為什么喜歡研究數(shù)學？而不是物理或天文學？阿貝爾說：“我喜歡最簡潔的東西，諸如一條線、一個面，甚至連研究的工具是那么的簡潔——只要一支筆就可以！”當然，這種純理論研究的數(shù)學時代在今天漸漸被多元化的研究方式所取代了，數(shù)學學習、研究的方式出現(xiàn)了諸如：數(shù)學情境研究法、數(shù)學實驗研究、數(shù)學與其他學科整合式的研究、數(shù)學研究性小組討論合作學習等，這些都提出了數(shù)學不再是以往的純理論方式的學習，而是具備可操作性動手實踐的新方向.

3.時代性

王長沛教授曾經(jīng)講過：“學生是信息技術(shù)的原住民”，信息化時代的產(chǎn)生與發(fā)展，決定了數(shù)學實驗必然將大幅走進中學數(shù)學課堂.數(shù)學實驗中，由于計算機的引入和數(shù)學軟件包的應用，用數(shù)學APP來支持數(shù)學實驗教學，為數(shù)學思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，使學生擺脫了繁重的、乏味的數(shù)學演算和數(shù)值計算，促進了數(shù)學同其他學科之間的結(jié)合，從而使學生有時間去做更多的創(chuàng)造性工作.現(xiàn)階段中學數(shù)學教學比較具備時代性特點的實驗主要依賴下列基本工具：計算機、手持技術(shù)、平板終端、圖形計算器、幾何教具等，這些工具都給數(shù)學實驗帶來了時代性的特征，隨著科技的發(fā)展，數(shù)學實驗必然會受到更先進工具的影響，其時代性特征不言而喻.

二、數(shù)學實驗的作用

1.促進主動學習，培養(yǎng)自主探究能力

數(shù)學實驗設(shè)計的初衷正是為了培養(yǎng)學生的實際動手能力和對知識的理解能力.新課程一直致力于學生對知識形成過程的引導，那么在一些可以使用數(shù)學實驗的課程中，將數(shù)學新知引入以數(shù)學實驗的方式來解決，教師的作用是引導學生完成對新知的操作和理解，而不是替代.在這些新知教學中，以數(shù)學實驗為知識學習的前沿，通過合理的教學設(shè)計和實驗裝備，將學生引入到這個操作環(huán)節(jié)中.這里需要指出：在實驗環(huán)節(jié)，教師最好的作用是“消失”.大量的研究已經(jīng)表明，動手操作是學生最喜歡的教學方式，而對學生喜歡的方式進行這樣那樣的干預，會影響學生對于問題解決的創(chuàng)造力，容易抹殺學生的積極性.因此，筆者認為只要教學環(huán)節(jié)設(shè)計合理，把數(shù)學實驗操作還給學生，對于促進學生主動學習，培養(yǎng)其自學能力是一種極大的促進，這是真正符合新課程理念的主動探究、積極建構(gòu)，而不是所謂的偽探究.圖1是筆者對于學生如何進行數(shù)學實驗操作的一個整體建構(gòu)思路：

圖1

案例1“橢圓的定義”的引入教學.

在蘇教版“圓錐曲線”的第一節(jié)課中，集中介紹了圓錐曲線的三種曲線的定義，課本上雖然給出了一些實驗方案，但多數(shù)老師或是讓學生自行驗證，或是自己演示課件了事，而忽略了這一節(jié)課的教學目標，實際上這是一節(jié)很好的數(shù)學實驗課，對學生理解圓錐曲線的本質(zhì)及后續(xù)的學習至關(guān)重要，做得好甚至會讓學生終身難忘.筆者對橢圓的定義引入作如下設(shè)計：

上課開始，讓學生利用幾何實驗室的圓錐曲面教具（或自制圓錐體）自由切割形成曲線，首先對各種曲線有一個感性認識，然后在圓錐曲面（透明的有機玻璃做成）內(nèi)放入兩個球和一個橢圓面（有色透明），用Dandelin雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的特性：到兩切點距離之和為定值，加深對橢圓的理解，最后讓學生動手畫出橢圓.

課程教具材料：一塊適當大小的木板、一根棉線、兩個釘子、一把小錘.

師：圓的定義是什么？

生：平面內(nèi)到定點距離等于定值的點的軌跡.

師：我們?nèi)绾萎媹A呢？

師：如何畫橢圓呢？

生：把一個定點變?yōu)閮蓚€定點.

師：那請大家來畫一下橢圓.

多數(shù)學生將釘子由一個變成兩個，畫出了大小不一的橢圓.（有的同學由于兩釘子間的距離太大，線被拉成了一條線段，有的直接線就短了，無法連接.讓各種情況的同學展示，大家進行評價糾正，適當調(diào)整線的長度后畫出了橢圓）

師：能歸納出橢圓的定義嗎？

生：到兩個定點的距離之和等于定值的點的軌跡.

內(nèi)容：研究生認為現(xiàn)在的入學教育內(nèi)容千篇一律，即陳舊又太單調(diào)，主要以說教為主。建議注重內(nèi)容，加強內(nèi)容層次，與時俱進，豐富有意義的內(nèi)容才可以吸引學生主動參加。

師：為什么有的同學畫出了線段、有的同學畫不出來呢？

最終通過不斷補充修正，完善了橢圓的定義.

老師鼓勵幾何畫板水平高的同學，運用幾何畫板畫圖，最后老師演示，從而引出橢圓定義.還可讓學生觀察各個同學畫出的橢圓的大小、圓扁程度，啟發(fā)學生進一步研究其與線長、兩定點之間距離的關(guān)系，激發(fā)學生研究的興趣，為后面研究方程和幾何性質(zhì)埋下伏筆.學生通過親身的實驗操作，通過動手、動腦、動口多種感官參與學習活動，不但掌握了學習數(shù)學的方法，而且從感性認識上升到了理性認識，發(fā)現(xiàn)了橢圓的內(nèi)在規(guī)律，又培養(yǎng)了學生自主學習的能力、探究能力和合作學習能力.

2.優(yōu)化課堂教學，加深知識理解層次

數(shù)學是形式化的、抽象的，但是抽象的背后也孕育著非形式化的手段.這種手段可以利用數(shù)學實驗來實現(xiàn)，比如以向量教學為例，向量是既有方向又有長度的量.學生初學向量總覺得非常別扭，向量的很多運算方式和法則與腦海中一維實數(shù)運算并不相同.筆者數(shù)次在向量運算法則教學中發(fā)現(xiàn)，僅僅依賴教師講述這些法則的適用性，只能使少數(shù)學生理解和掌握，大多數(shù)學生盡管依賴法則解決問題，但是對于法則為什么是這樣使用的原因知之甚少.

因此，筆者設(shè)計了向量法則教學的數(shù)學實驗，使其對教學增加了實效性的效果.學生親自參與和控制數(shù)學現(xiàn)象，身臨其境地了解數(shù)學現(xiàn)象產(chǎn)生的條件、變化過程及其規(guī)律.從而深刻地理解數(shù)學概念的意義和規(guī)律適用的條件，對知識的了解更深刻，掌握更牢固.

案例2在實數(shù)與向量的積第一課時教學時可采用實驗法.課前讓同學準備一盒火柴，先將一根火柴放在桌面上，把它看作向量a，火柴頭看作a的終點，然后作如下實驗：

①按第一根火柴的方向，首尾相連地連續(xù)排三根火柴得向量b；

②按第一根火柴的反方向，首尾相連地連續(xù)排三根火柴得向量c.

讓學生自己觀察它們的方向、長度與a的方向、長度之間的關(guān)系.分小組討論，然后各小組派代表發(fā)言，共同探討出結(jié)論，進而推廣到任意實數(shù)與向量相乘，歸納出數(shù)乘的定義（λ，a）.這樣使學生通過親身體驗，得出結(jié)論，獲取了成功的喜悅，又從特殊到一般引出定義.這種促使學生主動參與知識的形成過程的教學方法，既符合學生學習的認知規(guī)律，又突出了學生的主體地位.另外還可請同學用火柴驗證向量數(shù)乘的分配律.

從本節(jié)課的實際效果來看，學生興趣較濃，比較清晰地完成了對數(shù)乘定義的理解.這一實驗的成功對學生來說，既是對數(shù)學研究活動的一種體驗，又是掌握一種終身受用的治學方法；如此讓學生親自從實驗中得出結(jié)論，不僅可以激起學生的興趣，還可以使學生更容易理解知識.數(shù)學實驗教學具有刺激性的效果.學生在教師的指導下，獨立完成數(shù)學實驗，體現(xiàn)了對知識的再發(fā)現(xiàn)和重新探索的過程，通過實驗使學生在完成實驗的過程中品嘗到勝利的喜悅.

此外數(shù)學實驗對優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，也都非常重要.學生在實驗的過程必然會產(chǎn)生新的問題，并對新出現(xiàn)的問題進行探索，通過不斷調(diào)整自己的思路，再實驗，再調(diào)整，直至解決，于無形中優(yōu)化了思維品質(zhì)，培養(yǎng)了自身的創(chuàng)新能力.

三、數(shù)學實驗的模式

筆者從數(shù)學實驗的操作方式進行小結(jié)，數(shù)學實驗的教學可以分為以下幾種模式：

1.自主探索式

這種模式要求把自主學習的空間還給學生，把自主學習的權(quán)力交給學生，把自主學習的過程讓給學生.教師的作用就在于創(chuàng)設(shè)自主學習的氛圍，激發(fā)自主學習的興趣，培養(yǎng)自主學習的能力，提供自主學習的支持，為學生創(chuàng)造成功的機會.

案例3平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線的交點個數(shù).

（1）畫圖觀察、猜想，由圖2可得：f（1）=0，f（2）=1，f（3）=3，f（4）=6.

圖2

由此可得f（1）=0，（f2）=（f1）+1，（f3）=（f2）+2，（f4）=（f3）+3.

猜想：（fn）=（fn-1）+（n-1）.

（2）用數(shù)學歸納法證明猜想（略）.

在這里，自己進行動手畫圖、觀察、分析、歸納、猜想的過程正是一項很有價值的思想實驗.通過親身的實驗操作，通過動手、動腦、動口多種感官參與學習活動，不但掌握了學習數(shù)學的方法，而且從感性認識上升到了理性認識，發(fā)現(xiàn)了其內(nèi)在的規(guī)律.

2.師生協(xié)作式

師生協(xié)作式數(shù)學實驗要求在教學活動中，師生的人格地位平等，師生雙方共同參與，相互合作，一起組成教學活動中充滿活力的可交流和共享的資源.文中案例1即為師生協(xié)作式，此處不贅述展開.

3.生生協(xié)作式

讓學生以小組合作的方式來做，可以培養(yǎng)他們的團隊合作精神和人際交往能力，形成和發(fā)展他們的情感、態(tài)度、價值觀.例如，筆者曾經(jīng)觀摩初中的一節(jié)“e-數(shù)學實驗室”公開課，課題是“一次函數(shù)的圖像”，每組同學在組長的統(tǒng)一安排下，各個組員對一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的k、b進行不同賦值，利用圖形計算器，繪出圖像，小組成員對得出的圖像進行交流、觀察、比較、討論、歸納，進一步分析研究，最終得出了一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與k、b符號的關(guān)系，進而得出一次函數(shù)的性質(zhì).

總之，在數(shù)學教學中，其一，如果學生一眼就能看穿的結(jié)論，大可不必進行實驗操作，因為實驗教學僅僅是數(shù)學教學大花園中的一朵奇葩而已，花園只有爭奇斗艷，才能讓參觀者流連忘返.所以千萬不要動不動就實驗教學，畢竟數(shù)學是思維的體操，實驗驗證只是片段而已；其二，如果怕影響教學進度而放棄“數(shù)學實驗”也是很不可取的，因為“數(shù)學實驗”是一種過程教學，能很好地培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新精神，符合新課標的要求，因而數(shù)學實驗教學必須把握好度，我們不能也不必要依賴于實驗方法來學習數(shù)學，但完全可以用實驗方法去探索真理、發(fā)現(xiàn)真理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.F