唐鈺昇，胡建新，劉大洋

(1.重慶市交通工程質量檢測有限公司，重慶 400067;2.招商局重慶交通科研設計院有限公司，重慶 400067)

0 前言

斜拉索作為斜拉橋的主要受力構件，在恒載與活載的作用下，拉索把橋面系的重量與荷載傳遞給主要承重結構，拉索索力的變化將會影響橋面板以及主要承重結構的受力分配，所以拉索索力是斜拉橋結構的一個重要參數(shù)，是斜拉橋工作狀態(tài)評估的重要依據(jù)，拉索的應力狀態(tài)直接關系到整個橋梁的結構性能和使用安全。

有較多學者研究了拉索的具有彎曲剛度、垂度、面內振動與面外振動的耦合、傾斜、復雜邊界條件等對拉索索力測試的影響，如陳常松利用動平衡法推導了考慮彎曲剛度的柔索自振方程和自振頻率公式，采用瑞利能量法分析彈性支撐條件和附加質量對拉索自振頻率的影響［1］;林智宏等分析了頻率法測量索力中索力－頻率關系擬合、實測頻率的測量、索參數(shù)靈敏度分析以及識別等幾項關鍵技術［2］;王朝華等考慮拉索剛度、垂度、邊界條件等因素對采用頻率法測定索力方面進行了系統(tǒng)分析，均取得良好效果［3］;鄭罡等認為多參數(shù)識別優(yōu)于單參數(shù)(基頻)識別，提高了斜拉索索力測試的準確度和可靠度［4］。王修勇等研究了拉索－阻尼器系統(tǒng)設計對拉索模態(tài)頻率的影響，認為振動法測量拉索索力時，采取高階模態(tài)頻率及計算長度進行評估，可以消除拉索阻尼器對拉索頻率的影響［5］。J.A.Main 等人根據(jù)美國大量斜拉橋索力的測量經驗，總結了各種測量拉索振動的方法，對比了線性與非線性阻尼器抑制拉索振動的效果［6］。日本東京大學Yozo Fujino 教授等引入一般索的模態(tài)阻尼比的近似漸近線公式，該公式精確地考慮了拉索的垂度和彎曲剛度，以及阻尼器的有限剛度，公式清晰、簡潔，有助于阻尼器的設計應用［7］。

本文主要是考慮外置阻尼器的阻尼系數(shù)對拉索振動特性以及對基于頻率法索力測試的影響。

大跨度斜拉橋的拉索剛度和阻尼都很小，固有頻率和模態(tài)阻尼比往往很低，在風、雨等外部環(huán)境因素激勵下極易發(fā)生風振、風雨激振等現(xiàn)象，完全抑制拉索的振動十分困難，為了控制拉索大幅振動，除了在拉索錨固端設置阻尼裝置，許多斜拉橋采取在橋面和拉索間安裝阻尼器，以增加拉索結構的阻尼。但是外置阻尼器對拉索的自振頻率產生了一定的影響，從而影響采用振動法測量索力的精度。研究阻尼器的阻尼系數(shù)大小、安裝的相對位置對不同長度拉索的自振特性影響，包括低階與高階振動自振頻率和振型很有必要。本文以某斜拉橋為實例，分析了外置阻尼器對拉索自振頻率的影響程度，為振動法測量分析斜拉橋索力和拉索的阻尼器設計提供參考。

1 理論分析方法

1.1 能量法

目前，有部分學者運用能量法來研究外置阻尼器對拉索振動特性的影響。當拉索發(fā)生振動時，利用能量守恒定律，拉索的動能與勢能在不斷的發(fā)生著轉化，拉索的動能(W)與勢能(V)的和不變，即W+V=Wmax=Vmax=常數(shù)。能量分析方法是將阻尼器簡化為一個具有等效剛度的彈簧，而未考慮阻尼器的阻尼系數(shù)，但是工程中應用較廣的剪切型粘滯阻尼器的實際剛度很小，拉索振動時主要由阻尼系數(shù)發(fā)揮作用。如果采用能量法考慮阻尼器的阻尼系數(shù)時，能量分析方法會遇到2 個問題，簡要分析如下。

當拉索安裝外置阻尼器后，拉索的振型函數(shù)發(fā)生了變化，分為受影響的1/n L 段內，與不受影響的剩余段(n－1)/n L，在能量計算時將進行分段積分，計算簡圖如圖1。

圖1 拉索—阻尼器系統(tǒng)振動示意圖

圖中ε 為外置阻尼器到拉索端部的距離比，圖中y(x，t)為不受阻尼器影響段的振動位移函數(shù):

y1(x，t)為受阻尼器影響段的振動位移函數(shù):

上式中ω 為拉索振動角頻率;φ 為相位角;a、b為待定常數(shù)。

圖1 所示振動系統(tǒng)的動能為:

代入振動位移函數(shù)積分并整理得:

振動系統(tǒng)的勢能為:

代入振動位移函數(shù)積分并整理得:

1.2 能量法問題

能量法推導至上面步驟時，發(fā)現(xiàn)有2 個問題。

第一，數(shù)學上的問題，當W=Wmax時，cos2(ωt+，此時，但是勢能V 里面除了有關項外，還多了下面一項:

也就是說，當W=Wmax時，V 并不等于0。當系統(tǒng)動能最大的時候，勢能并不等于0;或者當系統(tǒng)勢能最大的時候，動能并不等于0。這樣就與能量法前面的假設W+V=Wmax=Vmax=常數(shù)相互矛盾。

第二，這個問題也是運用能量法的關鍵問題，當考慮拉索阻尼器阻尼系數(shù)對拉索的振動影響后，此時就不能用能量法，因為此時的拉索－阻尼器系統(tǒng)是一個非保守系統(tǒng)，里面存著阻尼力這個非保守力做功，阻尼力做功的這部分能量由阻尼器滑板之間的黏性材料的剪切變形所消耗，這時系統(tǒng)的能量不守恒。

所以用能量法可以求解只有等效剛度的阻尼器的拉索振動問題，對于考慮入阻尼器阻尼系數(shù)后，不能再用能量法求解，此時的系統(tǒng)變?yōu)橐粋€非保守系統(tǒng)。此外，數(shù)學上的分析也遇到問題。下面將引入復模態(tài)方法來分析拉索外置阻尼器對拉索振動特性的一些影響。

2 復模態(tài)方法

首先分析復模態(tài)分析方法的基本原理，本文的推導是基于J.A，Main［9］與S.Krenk［10］學者的復模態(tài)分析方法進行的。由于剪切型粘滯阻尼器的實際剛度較小，拉索振動時主要由阻尼系數(shù)發(fā)揮作用。此處只考慮阻尼器的阻尼系數(shù)對拉索振動的影響，不考慮拉索的內阻尼、彎曲剛度、垂度對拉索振動的影響，這樣簡化的結果與張緊弦模型相同，并假設拉索發(fā)生面內豎向微幅振動時索力不變，分析簡圖如圖2。

圖2 拉索—阻尼器系統(tǒng)振動分析示意圖

圖中L=l1+l2，l1＜l2，x2=L－x1，拉索上每個微小單元的偏微分方程如下:

上式中yk(xk，t)為拉索面內豎向振動位移;xk表示弦沿軸向坐標的第k 段;T 為拉索索力;m 為單位索長質量。式(7)可以考慮阻尼器安裝在拉索的任何位置，并且在阻尼器位置滿足力的平衡和位移連續(xù)兩個條件。這里引入一個無量綱時間τ=ω01t，它表示為在t 時間內發(fā)生一階振動的次數(shù)，其中ω01為為安裝阻尼器的一階振動頻率，假設式(7)對兩部分拉索的解為:

λ 為無量綱的復特征值。將式(7)代入式(8)，得到常微分方程:

由于λ 為復數(shù)，上式是一個復微分方程，其解為模態(tài)振型，也為復數(shù)，阻尼器位置的振動描述可用下式:

γ 為阻尼器位置振幅，阻尼器所在位置力的平衡方程為:

c 為阻尼器阻尼系數(shù)，將式(7)式(10)與代入式(11)，得到頻率方程:

上式頻率方程的根為系統(tǒng)的特征值，分別對應各自的振動模態(tài)，每個特征值可以寫為:

上式ζi為系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比;ωi為拉索振動特征值的模。為描述第i 階特征值的實部和虛部，引入新的符號變量:

式中φi為無量綱的阻尼振動頻率，阻尼比ζi可由σi與φi表示:

對式(12)進一步分解得到:

由簡化的式(11)實數(shù)部分:

在數(shù)學上，用解析法對上面復頻率方程求解基本是不可能的。下節(jié)將采用有限元方法不同拉索的粘性阻尼系數(shù)按式(17)進行復特征值分析，可以獲得外置阻尼器參數(shù)與拉索頻率的關系。

3 工程應用

以某斜拉橋主橋選取10 根斜拉索為研究背景，研究阻尼器阻尼系數(shù)對拉索振動頻率的影響。10根斜拉索分別代表不同長度、索力、外置阻尼器參數(shù)的拉索。其中最短拉索為SAY01 拉索，索長55.038 m;最長拉索為NCY25 拉索，索長407.353 m。10 根拉索的基本參數(shù)如表1。

表1 拉索基本參數(shù)

表1 中L 為拉索計算長度;T 為索力;c 為阻尼器阻尼系數(shù);l1為阻尼器安裝位置與橋面拉索錨固端距離;m 為拉索單位質量。

由于拉索較長，索的剛度和阻尼都很小，固有頻率和模態(tài)阻尼比很低，加之橋址處風力大，風況復雜，臺風季節(jié)最大風力達12 級。在風、雨等外部環(huán)境因素激勵下極易發(fā)生風振、風雨激振等現(xiàn)象。為了控制拉索大幅振動，除了在拉索錨固端設置減振裝置外，在橋面和拉索間均安裝外置阻尼器，以增加拉索結構的阻尼。

采用有限元法對式(17)進行復特征值分析，考慮阻尼器阻尼系數(shù)對表1 中10 根拉索自振頻率的影響。上述10 根拉索進行分析，對于前4 根較短拉索，由于頻差值較大，第30 階的振動頻率45 Hz，此處只分析短索的前30 階與長索的前45 階振動頻率。以各個拉索的階次為自變量，以考慮阻尼系數(shù)后的拉索自振頻率與未考慮阻尼系數(shù)的自振頻率比為應變量，繪圖結果如圖3。

由圖3 可知:對于長度不等的10 根斜拉索，阻尼系數(shù)對拉索自振頻率的影響有明顯的規(guī)律。首先，安裝外置阻尼器后，考慮阻尼器的阻尼系數(shù)時，拉索的各階振動頻率均提高了，這是由于阻尼器增加了拉索的約束所致。其次，外置阻尼器對拉索振動頻率的影響曲線可分為3 個階段，上升段、平穩(wěn)段、微下降段。

從量值分析，阻尼器對拉索振動頻率的影響均小于5%，最大的影響在最短的SAY01 拉索，頻率增幅達到4.71%;最小的影響在最長的SCY25 拉索，頻率增幅為2.58%。隨著索長的增大，阻尼器對拉索自振頻率的影響有減小的趨勢。當然這種影響不僅與索長有關，還與阻尼器阻尼系數(shù)，以及阻尼器安裝在拉索的相對位置有關。

從曲線的3 段性分析，曲線的微下降段的開始點基本位移30 階或30 階以上的自振頻率，此處不對微下降段做詳細分析，主要討論曲線的上升段與平穩(wěn)段，因為這兩段在實際工程索力測試時可用。由前4 根較短斜拉索的頻率影響曲線可見，拉索達到平穩(wěn)段基本位于20 階位置，而后面的較長拉索達到平穩(wěn)段基本位于10 階位置，也就是說，阻尼器對拉索自振頻率的影響，長索先于短索達到曲線平穩(wěn)段。

通過對影響曲線的分析，對比了外置阻尼器對長短拉索的高低階頻率的影響，利用影響曲線3 段性的特征和數(shù)值對比分析得出的相關規(guī)律，可以對實際工程斜拉索索力測試提供相關修正參考，以降低索力測試的誤差。

圖3 不同拉索阻尼系數(shù)—頻率影響曲線

4 結語

本文首先從能量法入手分析外置阻尼器阻尼系數(shù)對拉索振動面內振動的影響，但是遇到數(shù)學問題和非保守系統(tǒng)問題。本文再運用復特征值的有限元解法，繪制了阻尼器對長短拉索的高低階頻率的影響曲線，結果表明:

1)針對本文研究的10 根斜拉索，阻尼器對短索的頻率影響最大為4.71%，隨著索長的增加，影響越來越小，針對長度為407.353 m 的拉索，頻率影響最大為2.31%。

2)為減小外置阻尼器對拉索索力測試的影響，可以從兩個方面入手。一是采用識別基頻或者是二階頻率來換算索力，因為由影響曲線可知，阻尼器對基頻、二階頻率的影響較小。二是利用曲線的平穩(wěn)段，在索力測試時，識別平穩(wěn)段的拉索振動頻率，再根據(jù)有限元計算拉索阻尼器影響曲線平穩(wěn)段的頻率增幅，來進行相應的頻率修正。

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