王文華，顧溟宇，王言英

（大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連，116024）

基于船舶興波能量守恒的形狀因子算法

王文華，顧溟宇，王言英

（大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連，116024）

為了拓展傳統(tǒng)的根據(jù)船模阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定形狀因子計(jì)算方法的適用測(cè)量速度范圍，文章提出了基于船舶興波能量守恒的形狀因子計(jì)算方法。該算法以興波阻力系數(shù)的理論近似表達(dá)式取代ITTC（1978）方法的興波阻力系數(shù)近似表達(dá)式，采用梯度下降最優(yōu)算法對(duì)船模阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值擬合計(jì)算求得形狀因子。以4250 TEU集裝箱船作為算例，將文中算法同傳統(tǒng)的普魯哈斯卡法和ITTC（1978）方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了該算法的合理性和精確性。

船舶阻力；三因次換算；形狀因子；興波能量守恒；梯度下降最優(yōu)算法；集裝箱船

0 引言

在船舶設(shè)計(jì)初期，型線設(shè)計(jì)完成后大多數(shù)船舶都需要預(yù)報(bào)實(shí)船航速。目前，船?？焖傩栽囼?yàn)仍然是預(yù)報(bào)實(shí)船航速方法中最為常用，也是最為可靠的方法。其中比較重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是船模阻力試驗(yàn)，其目的主要為研究船模在水中等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的作用力及其航行狀態(tài)，從而獲得船模的阻力隨航速的變化關(guān)系，為預(yù)報(bào)實(shí)船性能提供必要的數(shù)據(jù)[1]。

目前，根據(jù)對(duì)阻力成分劃分的不同，船模阻力試驗(yàn)的尺度效應(yīng)換算方法可以分為二因次和三因次法兩種[2-3]。三因次法又稱為（1+k）法，關(guān)鍵問題是確定形狀因子（1+k）。傳統(tǒng)形狀因子計(jì)算方法主要包括普魯哈斯卡方法和ITTC（1978）方法。這兩種方法分別將興波阻力系數(shù)表示為正比于傅汝德數(shù)Fr的4次和n次方的形式[4-5]。在第26屆ITTC會(huì)議最終給出的阻力報(bào)告中已經(jīng)明確指出，采用這兩種方法計(jì)算形狀因子的船模試驗(yàn)點(diǎn)的傅汝德數(shù)應(yīng)該介于0.1～0.2之間[6]。

然而，對(duì)于類似集裝箱船的中高速運(yùn)輸船舶，其船模阻力試驗(yàn)服務(wù)航速范圍已不再屬于低速范圍（傅汝德數(shù)通常都高于0.2）。如果通過普魯哈斯卡或ITTC（1978）方法確定形狀因子，需要額外進(jìn)行傅汝德數(shù)在0.1～0.2范圍內(nèi)的低速試驗(yàn)，這無疑將會(huì)增加船模試驗(yàn)的成本。此外，船模低速試驗(yàn)較高速更為困難，易受各種因素的干擾，導(dǎo)致阻力波動(dòng)和測(cè)量結(jié)果誤差增大，這將會(huì)給船模阻力試驗(yàn)帶來一定的難度。為此，尋求一種適用測(cè)量速度范圍更廣的形狀因子計(jì)算方法是很有必要的。

本文從船舶興波能量守恒角度出發(fā)，給出適用于任何航速情況下的興波阻力系數(shù)的理論近似表達(dá)式，并且配合梯度下降最優(yōu)算法對(duì)阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到表達(dá)式中的參數(shù)，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)形狀因子計(jì)算方法的改進(jìn)，提出了一種適用的測(cè)量速度范圍更廣的形狀因子計(jì)算方法。最后，以一艘4250 TEU集裝箱船作為算例，將傳統(tǒng)普魯哈斯卡法、ITTC（1978）方法及本文方法的形狀因子計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了本文方法的合理性和精確性。

1 基于船舶興波能量守恒的形狀因子計(jì)算方法

在三因次船舶阻力尺度效應(yīng)換算方法中，傳統(tǒng)普魯哈斯卡法和ITTC（1978）方法將興波阻力系數(shù)表示為正比于傅汝德數(shù)Fr的4次方和n次方的形式，其總阻力系數(shù)分別為公式（1）和（2）。雖然這兩種方法在低速條件下能夠滿足工程精度要求，但是在中高速情況下準(zhǔn)確度卻不夠高。

其中：CT為總阻力系數(shù)、CF為摩擦阻力系數(shù)、1+k為形狀因子，y和n為待定參數(shù)。

1.1 基于船舶興波能量守恒的興波阻力假定

船舶在水面航行時(shí)產(chǎn)生波浪，船體必須提供興波的波能（即要克服興波阻力做功），這就是從能量觀點(diǎn)解釋興波阻力的由來[7]。

當(dāng)船舶航行時(shí)，整個(gè)船波（首波和尾波系）隨同船體一起前進(jìn)。因此，整個(gè)船體波系的總能量包括船首橫波中未受干擾部分、首尾波系中散波、和首尾橫波干擾后合成波的能量之和：

其中：E是船體波系總能量，H1為船首橫波的波高，H2為船尾橫波的波高，H3為散波的波高，b為所選截面處的波寬，λ為波長(zhǎng)，2πq為干擾橫波的相位差，Kd和K為常系數(shù)。

從能量角度分析，船體波浪在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的總能量，等于興波阻力在2倍波長(zhǎng)的距離內(nèi)所作的功（E=RW·2λ）。則有：

由于船波僅限在船后的扇形區(qū)內(nèi)，波寬b與波長(zhǎng)λ成正比。再根據(jù)公式可知波長(zhǎng)λ與波速c（即船速v）的平方成正比，因此b∝v2。此外，由伯努利方程可知水面高度的變化與速度平方成比例，由此推想船行波波高H正比于船速v的平方項(xiàng)（H∝v2）。同時(shí)，考慮到興波長(zhǎng)度mL=（n+q）λ，得到船體興波阻力系數(shù)的表達(dá)式：

參考ITTC（1978）方法對(duì)普魯哈斯卡法的改進(jìn)，并且引入λ∝v2的比例關(guān)系，最終可以得到興波阻力系數(shù)的表達(dá)式：

式中：A，B，M和n為常系數(shù)，F(xiàn)r為傅汝德數(shù)。

1.2 形狀因子計(jì)算方法

在三因次船舶阻力換算方法中，總阻力系數(shù)CT可以表示為：

其中：Re為雷諾數(shù)、Fr為傅汝德數(shù)；CF為摩擦阻力系數(shù)、CPV為粘壓阻力系數(shù)、CW是興波阻力系數(shù)；1+k為僅與船體形狀有關(guān)的形狀因子。

根據(jù)1957-ITTC平板摩擦阻力系數(shù)公式，CF可以表示為：

然后，將公式（6）和（8）代入到（7）中，并且利用傅汝德數(shù)和雷諾數(shù)的定義將公式變?yōu)楦等甑聰?shù)的函數(shù)形式，從而能夠得到新的船舶總阻力系數(shù)表達(dá)式，

其中：k、A、B、M和n為待定參數(shù)。a為常數(shù)，通過下式計(jì)算：

式中：L為船長(zhǎng)，v為流體運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)，g為重力加速度。然后，根據(jù)船模試驗(yàn)所得一系列散點(diǎn)（Fr，CT），采用公式（9）去擬合試驗(yàn)點(diǎn)，即可求得形狀因子。

1.3 梯度下降的數(shù)值擬合算法

根據(jù)新的船舶總阻力系數(shù)表達(dá)式（9）和m組船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)（Fr，CT）i（i=1，2，…，m），計(jì)算公式中5個(gè)待求未知參數(shù)k、A、B、M、n。

定義參數(shù)向量為ξ=［k，A，B，M，n］T，構(gòu)造擬合誤差函數(shù)E（ξ）：

使得E（ξ）取得最小值的參數(shù)向量ξopt的值，即為阻力系數(shù)表達(dá)式中的待定參數(shù)的取值。

因?yàn)樯鲜鰞?yōu)化對(duì)象為多元非線性函數(shù)，用常規(guī)最小二乘法無法求解，所以這里采用梯度下降法進(jìn)行數(shù)值求解[8-9]。構(gòu)造迭代方程：

其中：▽E（ξ）為擬合誤差函數(shù)E（ξ）的梯度，h為迭代步長(zhǎng)。

在梯度下降法中，采用的迭代收斂條件：

其中：α，β，γ為預(yù)先給定的閾值。當(dāng)公式（21）同時(shí)滿足時(shí)，迭代結(jié)束。

為了加快收斂速度，這里選用相對(duì)接近極值的ITTC（1978）方法的結(jié)果作為初值迭代計(jì)算形狀因子，從而能夠提高計(jì)算效率。

2 算例分析和方法驗(yàn)證

以4250 TEU集裝箱船作為算例，通過與傳統(tǒng)的普魯哈斯卡法和ITTC（1978）方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文新方法的合理性和精確性。4250 TEU集裝箱船的主尺度如表1所示。

表1 4250 TEU集裝箱船的主尺度Tab.1 Main dimensions of 4250 TEU Container Vessel

2.1 船模和實(shí)船試驗(yàn)數(shù)據(jù)

4250 TEU集裝箱船的船模阻力試驗(yàn)結(jié)果見表2，該船模試驗(yàn)在德國(guó)漢堡水池進(jìn)行，實(shí)船與模型的縮尺比為30.42。其中，VM代表航速、RTM為船舶阻力、CTM為總阻力系數(shù)。

表2 4250 TEU集裝箱的船模阻力試驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Resistance results of model test for 4250 TEU Container Vessel

續(xù)表2

此外，針對(duì)同系列4250 TEU集裝箱船的20次實(shí)船航速試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)ISO 15016標(biāo)準(zhǔn)實(shí)船航速試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正辦法進(jìn)行修正，得到實(shí)船在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的航速功率散點(diǎn)如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下實(shí)船的航速功率Fig.1 Speed power of 4250 TEU Container Vessel under standard state

結(jié)合4250 TEU集裝箱船的船模阻力試驗(yàn)結(jié)果（如表2）和實(shí)船航速試驗(yàn)結(jié)果（如圖1），利用1978-ITTC標(biāo)準(zhǔn)航速預(yù)報(bào)方法進(jìn)行船模與實(shí)船相關(guān)分析。當(dāng)功率相關(guān)因子為1時(shí)，通過分析可以得到最佳形狀因子的值為1.157，即最優(yōu)k的取值為0.157。

2.2 三種方法計(jì)算結(jié)果的比較分析

這里，根據(jù)表1中No 1～13共13組船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別采用普魯哈斯卡法[7]、ITTC（1978）方法[4]和本文新方法計(jì)算得到形狀因子和其他未知參數(shù)，如表3所示。

表3 不同方法的參數(shù)擬合結(jié)果Tab.3 Fitting parameter of three different methods

將通過三種方法所得到的模型總阻力系數(shù)的擬合曲線和船?？傋枇ο禂?shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制在圖2中。從圖中可以看出，與傳統(tǒng)普魯哈斯卡法和ITTC（1978）法相比，本文新方法擬合曲線更接近船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。為了進(jìn)一步說明三種方法對(duì)船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度，下面將選用判定系數(shù)R2來進(jìn)行討論。

圖2 船?？傋枇ο禂?shù)計(jì)算結(jié)果Fig.2 Total coefficient of ship model versus various methods

判定系數(shù)R2作為度量擬合優(yōu)度的重要統(tǒng)計(jì)量，反映的是擬合曲線對(duì)船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合程度，其取值范圍是［0，1］。R2的值越接近1，擬合程度越好；反之，則擬合程度越差。計(jì)算公式為

表4 不同方法的判定系數(shù)R2Tab.4 Coefficient of determination R2versus various methods

從圖2和表4中可以看出，與傳統(tǒng)普魯哈斯卡法和ITTC（1978）法相比，通過本文方法計(jì)算所得曲線關(guān)于船模試驗(yàn)數(shù)據(jù)的上下波動(dòng)最小，擬合程度最好。此外，本文新方法中的船舶興波阻力表達(dá)式是基于船舶興波能量守恒所進(jìn)行的理論推導(dǎo)，因此本文方法能夠更準(zhǔn)確地描述船舶興波阻力和總阻力的物理意義。

此外，將三種方法計(jì)算所得形狀因子中的擬合參數(shù)k與通過實(shí)船航速試驗(yàn)結(jié)果推得的最優(yōu)k進(jìn)行比較，如表5所示。

表5 不同方法所得擬合參數(shù)k的比較Tab.5 Comparison of fitting parameter k versus different methods

從表5中可以看出，對(duì)于集裝箱船服務(wù)航速范圍的船模阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用傳統(tǒng)普魯哈斯卡法和ITTC（1978）法計(jì)算所得參數(shù)k與實(shí)船試驗(yàn)推得的最優(yōu)k值相比，誤差已經(jīng)超出工程精度所允許的范圍。此外，k作為阻力換算的重要參數(shù)，反映了船舶所受粘壓阻力與摩擦阻力的比值關(guān)系，因此，采用普魯哈斯卡法和ITTC（1978）法進(jìn)行中高速船舶的阻力計(jì)算和航速分析可能會(huì)產(chǎn)生較大誤差。另一方面，采用本文新方法所得參數(shù)k非常接近最優(yōu)k值。這說明從工程應(yīng)用角度，本文新方法的計(jì)算結(jié)果能夠更好地滿足工程精度要求。

3 結(jié)論

本文從船舶興波能量守恒角度出發(fā)，給出適用于任何航速情況下的興波阻力和總阻力的理論近似公式。并且配合梯度下降最優(yōu)算法對(duì)船模阻力試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值擬合計(jì)算，求得表達(dá)式中參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)三因次船舶阻力換算方法的改進(jìn)，得出了一種適用測(cè)量速度范圍更廣的形狀因子計(jì)算方法。

以4250 TEU集裝箱船作為算例，通過與傳統(tǒng)普魯哈斯卡法和ITTC（1978）方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的精確性和合理性。此外，從解釋物理現(xiàn)象和工程實(shí)際應(yīng)用角度本文闡明了該方法的優(yōu)越性，驗(yàn)證了該方法可在更廣的測(cè)量速度范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶阻力和航速的計(jì)算。

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Calculation method of form factor based on energy conservation of ship wave-making

WANG Wen-hua,GU Ming-yu,WANG Yan-ying
(School of Naval Architecture,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

In order to expand the applicable measurement speed rang of the traditional method which is used to determine the form factor by the ship model test data,this paper presents a calculation method of form factor based on energy conservation of ship wave-making.In this method,from energy conservation of ship wave-making,the theoretical approximation formula of wave-making resistance can be obtained and replace the one used in ITTC(1978)method.New expression of total resistance coefficient can be achieved and used to determine the parameters by using gradient descent algorithm,and then form factor can be acquired.Finally,for a test case of 4250 TEU Container Vessel,by comparing with traditional Prohaska and ITTC(1978)methods,the feasibility and accuracy of proposed method were validated.

ship resistance;3-dimensional extrapolation of scale effect;form factor;energy conservation of wave-making;gradient descent algorithm;container ship

U661.31

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.05.001

1007-7294（2015）05-0477-07

2014-10-23

王文華（1981-），男，講師，碩士生導(dǎo)師，Email：wangwenhua@dlut.edu.cn；

顧溟宇（1981-），男，博士研究生，Email：gu.mingyu@foxmail.com；

王言英（1938-），男，教授，博士生導(dǎo)師，Email：yygwang@dlut.edu.cn。