李廣，吳文偉

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

基于功率流法的振動(dòng)與聲輻射研究

李廣，吳文偉

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

文章以水中有限長加肋圓柱殼為研究對(duì)象，利用模態(tài)疊加法導(dǎo)出了在點(diǎn)激勵(lì)作用下殼體中傳播的功率流表達(dá)式，以及輻射聲功率的表達(dá)式，提出了輻射因子，通過數(shù)值算例探索了三種振動(dòng)波功率流在不同頻段及不同位置的傳播特性，并在不同頻段對(duì)傳播功率流作了一定簡化，進(jìn)一步分析了其能量傳播規(guī)律。

模態(tài)疊加法；功率流；聲輻射

0 引言

有限長彈性圓柱殼被廣泛應(yīng)用于船舶、航空及石油工程等各個(gè)工程領(lǐng)域，因此研究其振動(dòng)與聲輻射特性對(duì)工程實(shí)際應(yīng)用具有重要指導(dǎo)意義。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)有限長圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射進(jìn)行過大量的研究：Harari等[1]研究了具有任意邊界條件的水下有限長加肋圓柱殼體的振動(dòng)與聲輻射；湯渭霖等[2]得到了有限長加肋圓柱殼的振動(dòng)與聲輻射的近似解析解，并研究了肋骨對(duì)聲輻射的影響。

自Goyder和White[3-5]于1980年創(chuàng)建功率流理論以來，功率流方法作為一種結(jié)構(gòu)振動(dòng)的分析方法，被越來越廣泛地應(yīng)用在振動(dòng)分析中[6-9]。由于功率流既包含力和速度的幅值大小，也考慮了它們之間的相位關(guān)系，從而避免了單純使用速度或加速度有效值表示的振級(jí)落差帶來的一些問題，并且功率流反映了振動(dòng)能量的傳遞，可以獲得系統(tǒng)中能量的傳遞規(guī)律。而輻射聲可以以聲功率的形式來表達(dá)，因此，振動(dòng)與聲輻射可以從能量的角度來統(tǒng)一進(jìn)行研究。

本文旨在以水中有限長加肋圓柱殼為研究對(duì)象，以振動(dòng)功率流與輻射聲功率來分別研究振動(dòng)與噪聲，分別得到殼體中彎曲波、縱波、扭轉(zhuǎn)波的振動(dòng)功率流及其與輻射聲功率的關(guān)系，以及不同功率流之間的相互影響，為工程中類似結(jié)構(gòu)的減振降噪及測(cè)試技術(shù)提供一定的指導(dǎo)依據(jù)。

1 水中有限長加肋圓柱殼的近似解析解

1.1 計(jì)算模型

如下圖所示的浸入在水中長為2L的彈性加肋圓柱薄殼，半徑為R，殼體厚度為h，h/a＜＜1，材料密度ρp，楊氏模量E，損耗因子η，泊松比μ，周圍流體介質(zhì)密度ρ0，聲速c0，肋骨高度為hr，厚度為dr，間距為d，第j根肋骨位置為xj，薄殼振動(dòng)可以用中面在x、θ、r方向的位移u、v、w來表示，其中u為軸向位移分量，v為圓周切向位移分量，w為圓周徑向位移分量，兩端邊界條件為簡支，即：

圖1 水中簡支有限長圓柱殼模型Fig.1 Simply supported finite cylindrical shell immersed in water

1.2 振動(dòng)方程及其解的形式

假設(shè)振動(dòng)為對(duì)稱振動(dòng)，則殼體可以采用Donnell方程來描述：

其解的形式[6]設(shè)為：

其中：解的表達(dá)式中略去了時(shí)間項(xiàng)e-iωt，且該形式解僅適用于對(duì)稱激勵(lì)的形式。根據(jù)簡支邊界條件有：

1.3 外部激勵(lì)力

在這里，只考慮徑向激勵(lì)力，不考慮切向與軸向激勵(lì)力，將其展開為：

展開系數(shù)由下式給出：

1.4 外部流體介質(zhì)反作用力

在簡諧（e-iωt）情況下，流體介質(zhì)中的聲壓p（r，x，θ）滿足Helmholtz波動(dòng)方程及邊界條件：

其中：k=ω/c0，同理將圓柱殼表面聲壓解寫為：

文獻(xiàn)[6]給出了聲輻射負(fù)荷引起的表面聲壓展開系數(shù)為：

1.5 肋骨反作用力

肋骨近似為只有徑向力g（x，θ）作用，同樣地，將g（x，θ）展開為：

高度。

1.6 求解耦合方程

在這里，我們同時(shí)略去了方程兩端力與位移中的時(shí)間項(xiàng)e-iωt，因此對(duì)結(jié)果并沒有影響。將以上駐波形式解、外部徑向激勵(lì)力、流體介質(zhì)反作用力以及肋骨反作用力代入Donnell方程，得到：

進(jìn)而得到耦合方程：

以及u（x，θ），v（x，θ），w（x，θ）

2 振動(dòng)功率流與輻射聲功率

2.1 振動(dòng)功率流

根據(jù)殼體微元的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：

根據(jù)振動(dòng)功率流的定義：

在位于軸向坐標(biāo)為x的截面上，殼體的各個(gè)內(nèi)力和力矩所傳播的功率流分別為：縱波功率流：

扭轉(zhuǎn)波功率流：

彎曲波功率流：

總功率流：

由縱波、扭轉(zhuǎn)波和彎曲波功率流表達(dá)式我們可以看出，每一種功率流都包含三部分，而對(duì)于純縱波、純扭轉(zhuǎn)波以及純彎曲波功率流而言，它們各自只與相應(yīng)方向的應(yīng)力與速度有關(guān)，即純縱波功率流只與軸向速度和軸向力有關(guān)，體現(xiàn)在縱波功率流表達(dá)式中則只包含項(xiàng)，同理，純扭轉(zhuǎn)波功率流只與切向速度和切向力有關(guān)，體現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)波功率流表達(dá)式中則只包含項(xiàng)，純彎曲波功率流只與徑向速度和有效徑向剪力以及彎矩有關(guān)，體現(xiàn)在彎曲波功率流表達(dá)式中則只包含項(xiàng)。由此可見，分別表示縱波與扭轉(zhuǎn)波、縱波與彎曲波的耦合作用，其值大小分別通過T21、T31來確定，在確定的模態(tài)下，T21和T31隨著頻率及位置而變化。同理以及也表示相應(yīng)振動(dòng)波的耦合作用。

2.2 輻射聲功率

根據(jù)1.4的殼體表面聲壓表達(dá)式得到輻射聲功率為：

可見三個(gè)方向的位移中只有徑向位移w可以產(chǎn)生輻射聲，對(duì)比功率流的表達(dá)式，可知在功率流表達(dá)式的矩陣T中僅有T33項(xiàng)對(duì)聲功率產(chǎn)生影響，因此我們可以定義一個(gè)輻射因子S（ω），即：

它表示功率流對(duì)聲功率的影響，其中右端的分母項(xiàng)表示殼體中傳播的總純彎曲波功率流，因此我們就可以通過輻射因子并根據(jù)殼體中的純彎曲波功率流來預(yù)報(bào)輻射聲功率。

3 數(shù)值算例及結(jié)論

3.1 模型參數(shù)

取圓柱殼的基本參數(shù)：長度2L=3 m，半徑R=0.5 m，厚度h=0.02 m，圓柱殼材料密度ρp=7 800 kg/ m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，損耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3，水的密度ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 500 m/s，肋骨參數(shù)：肋骨個(gè)數(shù)為9個(gè)，肋骨間距d=0.3 m，肋骨寬度dr=0.03 m，肋骨高度hr=0.1 m，肋骨材料與殼體材料相同。假設(shè)激勵(lì)力是位于x=0，θ=0處，峰值為1 N的徑向集中點(diǎn)激勵(lì)，方向沿半徑指向外部，殼體的環(huán)頻率約為1 750 Hz。文獻(xiàn)[9]表明當(dāng)L/a＞3時(shí)，可認(rèn)為自輻射阻抗遠(yuǎn)大于互輻射阻抗，忽略互輻射阻抗對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，因此可令p=m，但忽略互輻射阻抗并不等于忽略流體介質(zhì)負(fù)荷。

3.2 振動(dòng)功率流的貢獻(xiàn)分布

由以上分析可知，每一種功率流分別由三部分構(gòu)成，一部分是對(duì)應(yīng)方向的力與速度產(chǎn)生的功率流，另外兩部分表示其他方向的力產(chǎn)生的耦合作用。取殼體中傳播的功率流隨位置與頻率的變化進(jìn)行研究。圖2～4給出了由激勵(lì)點(diǎn)向兩端傳播的縱波、扭轉(zhuǎn)波和彎曲波功率流的貢獻(xiàn)分布。

圖2 縱波功率流的貢獻(xiàn)分布Fig.2 Distribution of longitudinal wave power flow ratio

圖3 扭轉(zhuǎn)波功率流的貢獻(xiàn)分布Fig.3 Distribution of torsional wave power flow ratio

圖4 彎曲波功率流的貢獻(xiàn)分布Fig.4 Distribution of bending wave power flow ratio

由圖2～4我們可以得出以下結(jié)論：

（1）在低頻段縱波功率流與扭轉(zhuǎn)波功率流占主導(dǎo)，而在中高頻段則以彎曲波功率流占主導(dǎo)；

（2）由圖2可知，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，縱波受到其余兩種波的影響都較大，尤其是在500 Hz以下的低頻段；

（3）由圖3可知，不論是在低頻段還是高頻段，扭轉(zhuǎn)波受彎曲波的影響都很小，可以忽略不計(jì)，因此，可以令T32=0；

（4）由圖4可知，在超過800 Hz的頻段，彎曲波受縱波和扭轉(zhuǎn)波的影響都很小，可以忽略不計(jì)，因此，可以令T13=0和T23=0；

（5）對(duì)比圖2（d）、圖3（d）以及圖4（d）可知，在500 Hz以下的低頻段，彎曲波功率流對(duì)總功率流的影響很小，可以忽略不計(jì)，而在超過環(huán)頻率1 750 Hz后，彎曲波功率流成為功率流的主要部分，其次是縱波，扭轉(zhuǎn)波所占的比例最??；

（6）由（2）、（3）和（4）的分析可知，在500 Hz以下的低頻段，功率流表達(dá)式（33）可以寫為：

由（3）和（4）的分析可知，在大于800 Hz且小于環(huán)頻率的頻段內(nèi)，功率流表達(dá)式可寫為：

由（5）的分析可知，當(dāng)頻率超過環(huán)頻率后，功率流表達(dá)式可近似寫為：

圖5 輻射因子Fig.5 Radiation factor

即：

3.3 輻射因子

根據(jù)2.2的分析，得到輻射因子隨頻率的變化曲線，如圖5所示。其中，圖中的縱坐標(biāo)取對(duì)數(shù)。由圖中輻射因子隨頻率的變化曲線，在已知純彎曲波功率流PB′（ω）后可依據(jù)該曲線對(duì)輻射聲功率進(jìn)行預(yù)報(bào)，即：

4 結(jié)論

由以上分析可知，在工程實(shí)際應(yīng)用中，若需要測(cè)量加肋圓柱殼中功率流的傳播，在某些頻率范圍內(nèi)可以忽略某些形式的振動(dòng)波，例如在上述算例中，在500 Hz以下頻率范圍內(nèi)，只需測(cè)量縱波與扭轉(zhuǎn)波功率流，而在環(huán)頻率以上范圍，如果只需定性分析傳播功率流的特性，近似地可以只測(cè)量彎曲波功率流。而輻射因子則可以根據(jù)殼體中傳播的純彎曲波功率流來預(yù)報(bào)輻射聲功率。因此，本文能夠?yàn)閷?shí)際工程測(cè)試及噪聲預(yù)報(bào)提供一定的指導(dǎo)依據(jù)。

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Vibration and sound radiation research based on power flow method

LI Guang,WU Wen-wei
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

This paper studies stiffened finite cylindrical shells in water based on modal superposition approach.Expressions of vibrational power flow and sound radiation power are obtained and the radiation factor is proposed furthermore when the shell is excited by a point force.The propagation characteristic of three kinds of vibrational power flow in different bands and positions are also explored through a numerical example.In different bands,the expressions of propagation power flow are simplified in order to analyse the propagation regularity of energy furthermore.

modal superposition approach;power flow;sound radiation

TB532

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.05.016

1007-7294（2015）05-0609-10

2014-12-25

李廣（1986-），男，工程師，E-mail：466786274@qq.com；

吳文偉（1969-），男，研究員。