張曉瑾，胡斯樂(lè)，林粵科，梅雪川

(1. 廣州機(jī)械科學(xué)研究院有限公司，廣東廣州510700;2. 廣汽本田汽車有限公司，廣東廣州510700)

0 前言

影響串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器靜態(tài)位姿精度的誤差源有很多，包括外部環(huán)境引起的誤差和內(nèi)部機(jī)構(gòu)參數(shù)誤差。外部誤差主要包括有周圍環(huán)境的溫度、鄰近設(shè)備的振動(dòng)、電網(wǎng)電壓波動(dòng)、空氣濕度與污染、操作者的干預(yù)等;內(nèi)部誤差主要包括幾何參數(shù)誤差、受力變形、熱變形、摩擦力、振動(dòng)等。

考慮到大部分機(jī)器人大多是室內(nèi)車間作業(yè)，因而外部誤差影響不大，以焊接機(jī)器人為例，其主要是低速輕負(fù)載作業(yè)，受力變形、熱變形、摩擦、振動(dòng)引起的誤差也很小，其主要誤差來(lái)源還是幾何參數(shù)誤差，該誤差占工業(yè)機(jī)器人所有誤差的80%以上。

所謂幾何參數(shù)誤差，即表示在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，幾何參數(shù)的名義值與真實(shí)值的偏差。目前，機(jī)器人末端執(zhí)行器位置的靜態(tài)精度誤差分析大都采用傳遞矩陣法或矢量法，且在機(jī)器人各構(gòu)件參數(shù)誤差及各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量確定的條件下，研究機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿精度誤差變化規(guī)律［1－4］。靜態(tài)精度誤差分析時(shí)假設(shè)機(jī)器人各構(gòu)件為質(zhì)量忽略不計(jì)的理想剛體。在這種假設(shè)下，引起機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿精度誤差的主要因素為結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)變量誤差。本章采用傳遞矩陣法研究由靜態(tài)誤差引起的機(jī)器人末端位姿精度誤差，建立機(jī)器人靜態(tài)位姿精度誤差模型，用一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)機(jī)器人的精度水平，即以可靠度為指標(biāo)對(duì)串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)精度誤差進(jìn)行研究。

1 串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述及其靜態(tài)位姿誤差

串聯(lián)機(jī)器人是用關(guān)節(jié)將系列連桿連接在一起而構(gòu)成的。在對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析時(shí)多采用D-H 法來(lái)建立機(jī)器人坐標(biāo)系［5－6］，并利用改進(jìn)的D-H模型［7］，建立坐標(biāo)系{N}相對(duì)于坐標(biāo)系{0}的變換矩陣為［8］:

其中:

串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿精度受多方面因素影響，這些影響均會(huì)使連桿關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)參數(shù)產(chǎn)生誤差，即:Δθi、Δdi、Δai、Δαi，從而使機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿產(chǎn)生誤差。從誤差理論與傳遞情況分析，機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿誤差與各組成連桿的運(yùn)動(dòng)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差之間存在著函數(shù)關(guān)系，因此，研究串聯(lián)機(jī)器人的位姿誤差也就可歸結(jié)為其函數(shù)誤差的研究。

針對(duì)實(shí)際情況，式(1)中θi、di、ai、αi均為隨機(jī)變量，利用微小位移合成法［9］，首先確定機(jī)器人在某一姿態(tài)下的誤差陣，即ΔT 為:

其中，?T/?θi、?T/?di、?T/?ai、?T/?αi為連桿轉(zhuǎn)角θi、連桿距離di、連桿長(zhǎng)度ai、連桿扭轉(zhuǎn)角αi的誤差傳遞矩陣，假定Vij(j =1，2，3，4)相應(yīng)地代表機(jī)器人各組成連桿的關(guān)節(jié)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)di、θi、ai和αi，則機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置廣義坐標(biāo)對(duì)于各組成連桿的關(guān)節(jié)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為:

當(dāng)姿態(tài)廣義坐標(biāo)取為X-Y-Z 固定坐標(biāo)系(α，β，γ)時(shí)，末端執(zhí)行器姿態(tài)對(duì)于各組成連桿的關(guān)節(jié)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)di、θi、ai和αi求偏導(dǎo)數(shù)，即:

2 應(yīng)用蒙特卡洛法分析串聯(lián)機(jī)器人靜態(tài)位姿精度可靠性

蒙特卡洛方法［10］又稱隨機(jī)抽樣方法，利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，以求得的統(tǒng)計(jì)特征值 (如均值、方差、概率等)作為待解問(wèn)題的數(shù)值解。隨著現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，蒙特卡洛方法越來(lái)越廣泛地應(yīng)用到各種科學(xué)研究中。誤差的蒙特卡洛模擬方法，就是對(duì)具有不同的分布特性的原始誤差隨機(jī)量進(jìn)行抽樣，按照誤差模型計(jì)算和統(tǒng)計(jì)誤差值分布的一種方法。文中主要對(duì)引起串聯(lián)機(jī)器人靜態(tài)位姿誤差的幾何參數(shù)誤差進(jìn)行模擬和分析。串聯(lián)機(jī)器人各幾何參數(shù)誤差具有隨機(jī)性，故其引起的末端執(zhí)行器位姿誤差亦具有隨機(jī)性。

將誤差的抽樣值代入末端執(zhí)行器的位姿誤差數(shù)學(xué)模型，獲得末端執(zhí)行器位姿誤差的抽樣值，采用末端執(zhí)行器的位置誤差落在半徑為R 的誤差球體內(nèi)的概率和姿態(tài)誤差小于給定誤差T 的概率，來(lái)量化分析手部位姿誤差，用精度可靠度表示。其中，位置與姿態(tài)誤差分別按如下公式計(jì)算:

Pi是在同一位姿對(duì)關(guān)節(jié)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)di、θi、ai和αi抽樣計(jì)算第i 次時(shí)所得點(diǎn)位置值，αi、βi和γi是在同一位姿對(duì)關(guān)節(jié)變量和結(jié)構(gòu)參數(shù)di、θi、ai和αi抽樣計(jì)算第i 次時(shí)所得的姿態(tài)角。Pc、αc、βc和γc為機(jī)器人末端執(zhí)行器理想位姿坐標(biāo)值。

設(shè)位置誤差ΔPi和姿態(tài)誤差Δφi= (Δαi，Δβi，Δγi)T小于給定誤差R 和T= (Tα，Tβ，Tγ)T的樣本數(shù)分別為λP、λφ= (λα，λβ，λγ)T，那么機(jī)器人位置誤差和姿態(tài)誤差小于給定誤差R 和T 的概率近似等于位姿小于給定誤差的樣本數(shù)除以樣本總數(shù)λ，即機(jī)器人精度可靠度為:

2.1 關(guān)節(jié)參數(shù)對(duì)靜態(tài)位姿精度可靠性影響分析

以五自由度串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行分析，其連桿參數(shù)如表1 所示。

表1 五自由度串聯(lián)機(jī)器人連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

計(jì)算時(shí)做如下假設(shè):關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi和關(guān)節(jié)參數(shù)di、ai、αi均服從正態(tài)分布，其中，關(guān)節(jié)參數(shù)di、ai、αi均值如表1 所示，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.05 mm、0.05 mm、0.5°;關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi標(biāo)準(zhǔn)差為0.5°，現(xiàn)計(jì)算各關(guān)節(jié)從零位轉(zhuǎn)動(dòng)45°時(shí)，機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿準(zhǔn)確度的可靠度。

應(yīng)用串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣公式，再對(duì)5-DOF 串聯(lián)機(jī)器人的4 種隨機(jī)變量進(jìn)行105次抽樣，代入公式中，就可得機(jī)器人末端執(zhí)行器在θ1=45°，θ2=45°，θ3=105°，θ4=45°，θ5=45°所達(dá)點(diǎn)C 處的0T5，分別計(jì)算機(jī)器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)誤差值。表2 所示為位姿理想值和抽樣計(jì)算所得樣本的數(shù)字特征。

各參數(shù)誤差對(duì)歐拉角Δα 均值影響最大。位置誤差、姿態(tài)誤差經(jīng)χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)在顯著性水平α =0.05 下服從正態(tài)分布，各正態(tài)分布參數(shù)如表2 所示。

表2 機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿誤差理想值和樣本的數(shù)字特征

對(duì)給定的末端執(zhí)行器的位置誤差球體半徑R =3 mm和姿態(tài)給定誤差T =0.02°，機(jī)器人末端執(zhí)行器的可靠度為:

為便于比較，在其他參數(shù)相同的情況下，取關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi和關(guān)節(jié)參數(shù)di、ai、αi均值不變，標(biāo)準(zhǔn)差分別減小5 倍，即依次取表3 所列標(biāo)準(zhǔn)差組合形式，計(jì)算串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿誤差可靠度。

表3 各參數(shù)均值不變，標(biāo)準(zhǔn)差分別減小5 倍時(shí)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿誤差樣本的數(shù)字特征

以機(jī)構(gòu)可靠度為評(píng)價(jià)指標(biāo)，由表3 可知，當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi和關(guān)節(jié)參數(shù)di、ai、αi標(biāo)準(zhǔn)差都減小5倍的情況下，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi誤差標(biāo)準(zhǔn)差的減小，使得機(jī)構(gòu)位置精度可靠性顯著提高，其他參數(shù)連桿轉(zhuǎn)角αi、連桿長(zhǎng)度ai、連桿偏距di誤差標(biāo)準(zhǔn)差的減小對(duì)機(jī)構(gòu)位置精度可靠性的影響不明顯。各參數(shù)對(duì)末端執(zhí)行器姿態(tài)精度可靠度的影響程度同機(jī)構(gòu)位置精度可靠性。由此可以得出，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi的誤差分布對(duì)機(jī)器人機(jī)構(gòu)可靠度影響較大，為了提高機(jī)器人的可靠度，通過(guò)采用精度較高的驅(qū)動(dòng)電機(jī)、減小動(dòng)力傳動(dòng)中的傳遞誤差等措施來(lái)控制末端位姿誤差。

2.2 各關(guān)節(jié)對(duì)靜態(tài)位姿精度可靠性影響程度

為分析各關(guān)節(jié)對(duì)串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿精度可靠性的影響，方便觀察結(jié)果，在與關(guān)節(jié)參數(shù)對(duì)靜態(tài)位姿精度可靠性影響分析中相同的指令位姿，取對(duì)末端執(zhí)行器位姿精度可靠性影響最大的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi，改變其分散性，其他參數(shù)分布形式不變進(jìn)行分析。即取各關(guān)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差σθ1～σθ5分別減小5 倍，研究其對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿精度可靠性的影響，結(jié)果如表4所示。

表4 各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角均值不變，標(biāo)準(zhǔn)差分別減小5 倍時(shí)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿樣本的數(shù)字特征

由表4 可以看出，當(dāng)其他3 個(gè)連桿參數(shù)誤差分布不變時(shí)，關(guān)節(jié)1 ～5 的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別減小5 倍，經(jīng)蒙特卡洛分析可知，對(duì)給定的末端執(zhí)行器的位置誤差球體半徑R=3 mm，關(guān)節(jié)3 處的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差分布對(duì)末端執(zhí)行器的位置可靠度影響最大，其他關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差分布的改變對(duì)姿態(tài)可靠度影響不大。因此，可知在要求位置精度時(shí)，應(yīng)特別減小關(guān)節(jié)3 的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差值。

3 結(jié)論

對(duì)由靜態(tài)誤差引起的串聯(lián)機(jī)器人末端位姿精度可靠性做了分析，建立了串聯(lián)機(jī)器人的靜態(tài)位姿精度誤差及精度可靠性模型，并以5 自由度串聯(lián)機(jī)器人為例，采用Monte Carlo 統(tǒng)計(jì)模擬方法，計(jì)算了串聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿精度誤差及可靠性，以精度可靠度為評(píng)價(jià)指標(biāo)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi的誤差對(duì)串聯(lián)機(jī)器人末端位姿精度誤差的影響比較大，且關(guān)節(jié)3 處得關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差值對(duì)串聯(lián)機(jī)器人末端位姿精度誤差尤其重要，因此在設(shè)計(jì)、安裝、使用時(shí)，應(yīng)盡量減小串聯(lián)機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的誤差，對(duì)關(guān)節(jié)3 的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差更應(yīng)嚴(yán)格控制。

［1］WU C h．A Kinematic CAD Tool for the Design and Control of a Robot Manipulator ［J］．The International Journal of Robotics Research，1984．16(1):58－67．

［2］KUMAR A，P．S．Analysis of Mechanical Errors in Manipulators［C］//Proc．6thWorld Cong on TMM，1983:960－964．

［3］黃真．機(jī)器人手臂誤差分析及誤差傳遞函數(shù)［C］//15thISIR，1985:873－878．

［4］陳明哲，張啟先．工業(yè)機(jī)器人誤差分析［J］．北京航空學(xué)院學(xué)報(bào)，1984(2):11－22．

［5］熊有倫．機(jī)器人學(xué)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1993．

［6］ISO9787-1999．Manipulating Industrial Robots-Coordinate Systems and Motion Nomenclatures 1999［S］．

［7］John J Craig．機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論［M］．3 版．贠，譯．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2011:161．

［8］BRUNO Siciliano，OUSSAMA Khatib．Springer Handbook of Robotics［M］．Springer，2007．

［9］徐衛(wèi)良，張啟先．機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析的微小位移合成法［J］．南京工學(xué)院學(xué)報(bào)，1987，1(6):45－54．

［10］謝里陽(yáng)，王正，周金宇，等．機(jī)械可靠性基本理論與方法［M］．北京:科學(xué)出版社，2009:54－70．