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        正態(tài)模糊數(shù)型多屬性群決策方法及應(yīng)用

        2015-04-24 12:21:33顧翠伶王亞子
        關(guān)鍵詞:決策問(wèn)題正態(tài)區(qū)間

        顧翠伶,王亞子

        多屬性群決策廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等多個(gè)領(lǐng)域.但由于客觀事物的復(fù)雜性及人為地不確定性,使得這些領(lǐng)域的決策都存在著不確定性.凡是決策者不能精確定義的參數(shù)、概念和事件等,都被處理成某種適當(dāng)?shù)哪:?蘊(yùn)含著一系列不同置信水平的可能選擇.近年來(lái),關(guān)于三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、直覺(jué)模糊數(shù)型的多屬性決策已經(jīng)有了廣泛研究[1-7].但是三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的隸屬函數(shù)是線性隸屬函數(shù)形態(tài),在亦此亦彼性的刻畫(huà)上雖然連續(xù),但出現(xiàn)突變點(diǎn),這種突變不符合中介過(guò)渡性質(zhì)的漸變特征.李德毅等[8]指出,對(duì)大量模糊概念,用正態(tài)隸屬函數(shù)刻畫(huà)最適合,最接近人類思維.文獻(xiàn)[9]針對(duì)屬性權(quán)重未知,方案屬性值、主觀偏好值為正態(tài)模糊數(shù)型的多屬性決策問(wèn)題,提出一種基于相似度與規(guī)范化理想解的決策方法,將正態(tài)模糊數(shù)以及相關(guān)理論引入到多屬性決策領(lǐng)域,使復(fù)雜問(wèn)題的解決將更加科學(xué)化、規(guī)范化.但正態(tài)模糊數(shù)運(yùn)算與線性隸屬函數(shù)相比,模糊運(yùn)算規(guī)則復(fù)雜,使得正態(tài)模糊數(shù)在多屬性決策中的應(yīng)用還不多.因而,基于正態(tài)模糊數(shù)及相關(guān)理論的多屬性決策問(wèn)題的研究有著十分重要的意義.

        本文針對(duì)決策屬性值以正態(tài)模糊數(shù)型給出、屬性權(quán)重完全未知的模糊多屬性決策問(wèn)題,給出一種解決方案.利用正態(tài)模糊數(shù)的期望與方差,提出一種分值函數(shù),并以此把正態(tài)模糊型專家權(quán)重轉(zhuǎn)化為精確權(quán)重.依據(jù)正態(tài)分布的“3σ原則”將正態(tài)模糊數(shù)決策值轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù),按照Topsis思想求解區(qū)間型模糊多屬性決策問(wèn)題.實(shí)例驗(yàn)證新方法的可行性和有效性.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1[10]論域R上的模糊集合~A滿足以下性質(zhì):

        (2)?a∈[0,1],~Aa?{x∈R│~A(x)≥a}是有界閉區(qū)間;

        定義2[10]若模糊數(shù)~A的隸屬函數(shù)為

        則稱~A為正態(tài)模糊數(shù).容易發(fā)現(xiàn)~A是由a和σ2唯一確定,因此可以記為~A=(a,σ2).

        正態(tài)模糊數(shù)的三種運(yùn)算:設(shè)~A=(a,σ2a),~B=(b,σ2b),則有

        (1)~A+~B=(a+b,σ2a+σ2b);

        (2)λ~A=(λa,λ2σ2a);

        定義3[11]模糊數(shù)~A的期望為E(~A)

        定義4[11]模糊數(shù)~A的方差為D(~A)

        其中ε為決策者的偏好.當(dāng)~A=(a,σ2),其可信度為

        定義6[12]記~A=[aL,aR]={x|aL≤x≤aR,aL,aR∈R},稱~A為一個(gè)區(qū)間數(shù).

        定義7[13]區(qū)間數(shù)A=[a-,a+],B=[b-,b+],它們之間的運(yùn)算關(guān)系如下:

        (1)A-B=[a-,a+]-[b-,b+]=[a--b-,a+-b+];

        (2)A+B=[a-,a+]+[b-,b+]=[a-+b-,b-+a+][a-+b-,a++b-];

        (3)A×B=[a-,a+]×[b-,b+]=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)],

        當(dāng)A,B∈I+時(shí),A×B=[a-b-,a+b+].特別λA=[λa-,λa+].

        設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則

        從上式可以看出:盡管正態(tài)變量的取值范圍為(-∞,∞),但它的99.73%的值落在(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi).這個(gè)性質(zhì)就是正態(tài)分布的“3σ原則”.按照該原則,可以將正態(tài)模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù).由于區(qū)間數(shù)的運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單,因而在求解模糊多屬性決策問(wèn)題時(shí),將正態(tài)模糊數(shù)信息轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù),可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

        2 基于正態(tài)模糊型的模多屬性決策問(wèn)題

        假定正態(tài)模糊型多屬性決策問(wèn)題的決策方案集為X={X1,X2,…,Xm},決策的屬性集為U={U1,U2,…,Un},決策群體集為D={D1,D2,…,Dl},專家的權(quán)重υ={υ1,υ2,…,υl},屬性權(quán)重ρ={ρ1,ρ2,…,ρn}.屬性權(quán)重未知的正態(tài)模糊型多屬性群決策過(guò)程可以分為以下幾個(gè)步驟:

        步驟1 給定決策矩陣.第t個(gè)決策者關(guān)于屬性對(duì)決策方案的決策矩陣為

        依據(jù)正態(tài)分布的“3σ原則”,我們可以將正態(tài)模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù).求出相應(yīng)的區(qū)間型決策矩陣為

        步驟2 求決策群體中各專家的權(quán)重.由于受專家的名望、地位、所屬專業(yè)和對(duì)決策問(wèn)題的熟悉程度等因素的影響,使得各個(gè)專家的權(quán)重不能表示為一個(gè)精確的數(shù)值.根據(jù)專家的資歷、經(jīng)驗(yàn)等事先給出專家的權(quán)重,以正態(tài)模糊數(shù)的形式給出,記為υ={υ1,υ2,…,υl},其中υt=(atυ,(σtυ)2),t=1,2,…,l.υt=(atυ,(σtυ)2)均值越大,則代表專家的能力越強(qiáng),其方差越小,說(shuō)明在專家進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)越不容易出錯(cuò).所以模糊權(quán)重υt=(atυ,(σtυ)2)的均值越高、方差越小的專家在評(píng)價(jià)方案時(shí)越可信.由此對(duì)第t個(gè)專家進(jìn)行評(píng)分,利用定義5計(jì)算每個(gè)專家可信值,其中ε在評(píng)價(jià)專家權(quán)重時(shí)對(duì)待其評(píng)價(jià)值的態(tài)度,如果看中專家的期望,則取0.5<ε<1.利用可信值函數(shù),按公式

        求得每個(gè)專家的權(quán)重.

        步驟4 求決策屬性的權(quán)重值.對(duì)于屬性權(quán)重完全未知的模糊多屬性決策問(wèn)題,我們必須從已知的信息中,確定屬性的權(quán)重.這里,首先找出不同屬性Uj下的基礎(chǔ)解.所求得的屬性權(quán)重應(yīng)使得所有屬性下的基礎(chǔ)解的加權(quán)離差平方和達(dá)到最小.

        利用Matlab求解上述最優(yōu)化模型,可以得到第j個(gè)屬性Uj的權(quán)重值ρj,j=1,2,…,n.

        步驟5 求綜合決策矩陣.根據(jù)群體決策矩陣與決策屬性值,求綜合決策矩陣Z.

        步驟6 求各個(gè)決策方案的綜合評(píng)價(jià)值.定義基本區(qū)間數(shù)V=[vL,vR]=[min zLi,max zRi].首先求出每個(gè)方案與基本區(qū)間數(shù)之間的左右距離dLi=|zLi-vL|,dRi=|zRi-vR|,進(jìn)而計(jì)算每個(gè)方案與基本區(qū)間數(shù)之間的相對(duì)距離

        其中ι代表決策者的一種態(tài)度.

        方案離基本區(qū)間數(shù)的右距離越小,同時(shí)左距離越大,則方案越優(yōu).因此可以根據(jù)ψ(Xi)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序.

        3 實(shí)例分析

        通常一些大學(xué)采用教學(xué)(U1)、科研(U2)和服務(wù)(U3)這三個(gè)屬性作為評(píng)估的一級(jí)指標(biāo)(屬性),屬性權(quán)重分別為ρ1,ρ2,ρ3,并且滿足ρ1+ρ2+ρ3=1,根據(jù)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)對(duì)4個(gè)學(xué)院X1,X2,X3,X4進(jìn)行評(píng)估打分,各指標(biāo)下的評(píng)估信息用正態(tài)模糊數(shù)給出.決策群體集D={D1,D2,D3},各專家的權(quán)重集:~ω=(~ω1,~ω2,~ω3).已知決策矩陣為

        根據(jù)正態(tài)分布“3σ原則”將決策矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)矩陣.

        根據(jù)專家的資歷以及對(duì)以往經(jīng)驗(yàn)?zāi)芰Φ牧私馇闆r給出三位專家的模糊權(quán)重

        由公式(4)可得三位專家的精確權(quán)重~ω1=0.375,~ω2=0.25,~ω3=0.375.

        由區(qū)間數(shù)決策矩陣與專家的權(quán)重信息,求得群體決策矩陣

        在屬性Uj下的基礎(chǔ)解為

        求解最優(yōu)化模型(5),得到?jīng)Q策屬性的權(quán)重ρ1=0.287 7,ρ2=0.392 8,ρ3=0.319 5.

        根據(jù)群體決策矩陣與決策屬性權(quán)重,得到綜合決策矩陣

        基本區(qū)間數(shù)V=[66.682 6,93.222 9].計(jì)算每個(gè)方案與基本區(qū)間數(shù)之間的左右距離分別為:

        dL1=0,dL2=0.383 8,dL3=4.514 6,dL4=3.063 3,dR1=0.041 4,dR2=1.625 8,dR3=0,dR4=0.115 5.

        計(jì)算每個(gè)方案與基本區(qū)間數(shù)之間的相對(duì)距離

        這里取ι=0.5,決策者持中立態(tài)度.按照ψ(Xi)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序?yàn)?

        4 結(jié)論

        對(duì)大量的模糊概念,用正態(tài)隸屬函數(shù)刻畫(huà)最適合,最接近人類思維.將正態(tài)模糊數(shù)以及相關(guān)理論引入到多屬性決策領(lǐng)域,使復(fù)雜問(wèn)題的解決更加科學(xué)化、規(guī)范化.本文對(duì)正態(tài)模糊型多屬性群決策問(wèn)題進(jìn)行研究,利用正態(tài)模糊數(shù)的期望與方差,構(gòu)造一種可信值函數(shù),并以此把正態(tài)模糊型的專家權(quán)重轉(zhuǎn)化為精確權(quán)重.按照概率統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí),將決策矩陣中專家的正態(tài)模糊型決策屬性值轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù).然后按照區(qū)間模糊數(shù)的理論及Topsis思想求解區(qū)間型模糊多屬性決策問(wèn)題.把正態(tài)模糊型多屬性群決策轉(zhuǎn)化為區(qū)間型模糊多屬性群決策,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.實(shí)例驗(yàn)證本文方法的可行性和有效性,豐富了模糊決策的應(yīng)用.

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