高樹玲,趙苗嬋

討論線性方程組

其中A=(aij)∈Rn×n非奇異,X,b∈Rn.

不失一般性,假定A的對角線元素全是1,設(shè)A=I-L-U,其中L和U分別為A的嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角矩陣.

考慮預(yù)條件系統(tǒng)PAX=Pb,其中P∈Rn×n為非奇異矩陣.常見的預(yù)條件矩陣有P=I+S和P=I+R.其中

I是單位矩陣,aij是矩陣(aij)n×n對應(yīng)位置上的元素.另外還有其他的一些預(yù)條件矩陣.本文考慮一種新的預(yù)條件因子

在一定條件下該預(yù)條件SOR迭代法為收斂的.古典和該預(yù)條件后SOR迭代矩陣分別記為Lω,～Lω.令

D的嚴(yán)格下和上三角陣,ID,LD,UD分別表示D(L+U)的對角陣和嚴(yán)格下和上三角陣.則

1 相關(guān)的定義和引理

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n.若A可表示為A=s I-B,其中B≥0,則當(dāng)s＞ρ(B)時,稱A為非奇異的M-矩陣,簡稱M-矩陣;若A滿足aij≤0(1≤i≠j≤n),aii＞0(i=1,2,…,n),則稱A為L矩陣.其中ρ(B)為矩陣B的譜半徑.

定義2[2]若M是非奇異n階矩陣,稱A=M-N是A的分裂,若ρ(M-1N)＜1,則稱分裂A=M-N是收斂的;若M-1≥0,N≥0,則稱分裂A=M-N是正規(guī)的;若M-1≥0,M-1N＞0,則稱分裂A=M-N是弱正規(guī)的.

定義3[2]如果一個n×n矩陣A=(aij)滿足:i≠j時,aij≤0,A是非奇異的且A-1≥0,則稱A為非奇異的Z-陣.

引理1[2]設(shè)A=M-N是A的正規(guī)或弱正規(guī)分裂,則ρ(M-1N)＜1的充要條件為A-1≥0.

引理2[3]如果A為非負(fù)不可約矩陣,則:

1)ρ(A)為A的一正的特征值;

2)A有一正的特征向量x與ρ(A)相對應(yīng);

3)A的任意元素增加時ρ(A)也增加.

引理3[4]設(shè)A=M1-N1=M2-N2是A的兩個弱正規(guī)分裂,如果A-1≥0,并且下列條件之一成立:

1)N1≤N2;2)M-11≥M-12,N1≥0;3)M-11≥M-12,N2≥0;

引理4[5]若A是非負(fù)矩陣,則:

1)若αx≤Ax對某一非負(fù)向量x且x≠0成立,則α≤ρ(A);

2)若Ax≤βx對某一正向量x成立,則ρ(A)≤β,進(jìn)一步,如果A是不可約矩陣且有0≠αx≤Ax≤βx,αx≠Ax,Ax≠βx對某一非負(fù)向量x成立,則:α＜ρ(A)＜β,x是一正向量.

2 主要結(jié)論和證明

定理1 如果線性方程組(1)的系數(shù)矩陣A為非奇異的Z-陣,且滿足

1)則 對于0＜ω≤1,當(dāng)ρ(Lω)＜1時,有ρ(～Lω)＜1且ρ(～Lω)≤ρ(Lω)＜1.

2)若A是不可約的,且滿足題設(shè)條件和0＜ω＜1,那么:

(1)若ρ(Lω)＜1,則ρ(～Lω)≤ρ(Lω)＜1;

(2)若ρ(Lω)＞1,則ρ(～Lω)≥ρ(Lω)＞1.

證 因為

由條件

知,-DL+LD≥0且I-ID的主對角元素均大于零,所以

又

令

則

而

所以A=M-N=M1-N1均為A的弱正規(guī)分裂.又

所以M1-1≥M-1,N≥0.又ρ(M-1N)＜1,A-1≥0,ρ(M1-1N1)≤ρ(M-1N),所以ρ(～M-1～N)≤ρ(M-1N)＜1即ρ(～Lω)≤ρ(Lω)＜1.

下面證明2).因為A=I-L-U是不可約的,而

所以Lω也是不可約的.又Lω≥0,由引理2存在一向量x＞0與其相對應(yīng).設(shè)ρ(Lω)=λ,則有Lωx=λx,即

也即

因為

所以當(dāng)λ-1＞0,即ρ(Lω)＞1時,～Lωx-λx≥0;(λ-1)＜0,即ρ(Lω)＜1時,～Lωx-λx≤0.由引理3可得定理結(jié)論(2)成立. ?

3 數(shù)值例子

設(shè)線性方程組(1)的系數(shù)矩陣為

用ρ(GSS),ρ(GSR),ρ(GSD)分別表示在本文引言中提到的預(yù)條件P=I+S,P=I+R,及本文引言中提到的新的預(yù)條件P=I+D下SOR迭代矩陣的譜半徑,它們的大小比較如下表1.

表1列出具體的計算結(jié)果,可以看出新的預(yù)條件比已有的預(yù)條件收斂速度更有優(yōu)越性.

表1 ρ(GSS),ρ(GSR),ρ(GSD)的計算結(jié)果

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