□ 田應(yīng)仲 □ 聶杰聰 □ 張?chǎng)┚?□ 李 龍

1.上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072

2.上海大學(xué)上海市智能制造及機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200072

工業(yè)機(jī)器人精度是國(guó)內(nèi)外研究的重要技術(shù)，是衡量其性能的重要指標(biāo)之一，ISO 9283（工業(yè)機(jī)器人：性能標(biāo)準(zhǔn)和測(cè)量方法）描述了評(píng)價(jià)工業(yè)機(jī)器人精度的標(biāo)準(zhǔn)：重復(fù)定位精度、位姿精度以及軌跡精度［1］。其中，位姿精度和軌跡精度統(tǒng)稱(chēng)為絕對(duì)定位精度，它是機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動(dòng)與期望運(yùn)動(dòng)之間的偏差。重復(fù)定位精度是機(jī)器人在重復(fù)執(zhí)行同一期望運(yùn)動(dòng)時(shí)，其實(shí)際運(yùn)動(dòng)之間的相互離散程度?，F(xiàn)階段的工業(yè)機(jī)器人根據(jù)關(guān)節(jié)、構(gòu)型、負(fù)載的不同，重復(fù)定位精度控制范圍為±0.01～2 mm，絕對(duì)定位精度控制范圍為±0.1～100 mm［2］，即絕對(duì)定位精度遠(yuǎn)低于重復(fù)定位精度，難以滿足工業(yè)發(fā)展的要求。因此，提高機(jī)器人絕對(duì)精度指標(biāo)是目前急需解決的問(wèn)題。目前機(jī)器人的標(biāo)定方法通常分為運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和非運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定，有研究結(jié)果表明，幾乎95%的機(jī)器人定位誤差是由自身運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差造成的。因此，采用基于運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的方法，辨識(shí)出運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行補(bǔ)償，這將極大提高機(jī)器人的定位精度。

我國(guó)對(duì)機(jī)器人的誤差補(bǔ)償算法研究較晚，研究手段較少，目前，國(guó)內(nèi)研究的誤差補(bǔ)償算法絕大多數(shù)是針對(duì)普通6R型工業(yè)機(jī)器人，而對(duì)包含復(fù)合機(jī)構(gòu)的6R工業(yè)機(jī)器人的誤差補(bǔ)償算法研究極少。蔡鶴皋等［3］采用MDH模型推導(dǎo)出了具有通用性的串聯(lián)機(jī)器人幾何參數(shù)識(shí)別公式，并對(duì)RMA-I型機(jī)器人進(jìn)行誤差補(bǔ)償后使其精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。南小海［4］利用MDH推導(dǎo)了Reis RV-16型串聯(lián)機(jī)器人的實(shí)際幾何參數(shù)識(shí)別公式，采用最小二乘法成功辨識(shí)出了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，補(bǔ)償后大大地提高了機(jī)器人的位置精度。

筆者先推導(dǎo)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型及參數(shù)辨識(shí)方法，針對(duì)包含復(fù)合機(jī)構(gòu)的川崎ZX165U型6R工業(yè)機(jī)器人，分析其機(jī)構(gòu)特點(diǎn)及其MDH模型參數(shù)形式，利用高精度的激光跟蹤儀為測(cè)量設(shè)備，采用改進(jìn)的最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，利用辨識(shí)出來(lái)的參數(shù)修改機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型，從而達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康模瑯O大地提高了機(jī)器人的位置定位精度。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)經(jīng)典的D-H模型，每個(gè)連桿可由4個(gè)參數(shù)（即扭角 αi-1，連桿長(zhǎng)度 ai-1，連桿偏距 di和關(guān)節(jié)角 θi）來(lái)描述，但是，當(dāng)相鄰兩關(guān)節(jié)軸線平行時(shí)，D-H模型違背了模型應(yīng)具備連續(xù)性的準(zhǔn)則，因?yàn)榇藭r(shí)機(jī)器人幾何尺寸的微小變化，會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)發(fā)生跳變，模型存在奇異性，導(dǎo)致無(wú)法辨識(shí)連桿參數(shù)。Hayati等［5］針對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)提出MDH模型，在原有的D-H模型上，引入附加轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng) Rot（y，βi）來(lái)避免奇異性，即建立 MDH 模型，該模型對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣可表示為：

用矩陣表示為：

式中：s和c分別為sin和cos的縮寫(xiě)，當(dāng)兩相鄰關(guān)節(jié)軸線 Zi-1與 Zi不平行時(shí)，βi=0。

對(duì)于n關(guān)節(jié)機(jī)器人，從機(jī)器人基座到末端執(zhí)行器的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，即按照上述步驟依次進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，將各個(gè)連桿的齊次變換矩陣依次相乘，得：

用P來(lái)表示機(jī)器人末端基于自身基坐標(biāo)系的理論位置，則：

在機(jī)器人裝配過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一些誤差，如：進(jìn)行機(jī)械校零時(shí)，由于角度編碼器到達(dá)的零位無(wú)法與機(jī)器人的名義零位相一致，產(chǎn)生了零位誤差Δθi；由加工和裝配過(guò)程中而造成的長(zhǎng)度誤差Δdi和Δai；由機(jī)器人相鄰的兩軸線間存在平行度或者垂直度的誤差而導(dǎo)致的角度誤差Δαi和前面提到的Δβi，因此實(shí)際位置P′可表示為：

由于這些誤差都比較小，可以簡(jiǎn)化為線性方程：

式（7）為機(jī)器人位置定位誤差公式，可轉(zhuǎn)化為：

在式（8）中僅考慮位置誤差，6關(guān)節(jié)機(jī)器人n個(gè)測(cè)量點(diǎn)的方程寫(xiě)成矩陣形式：

式（9）的正則方程為：

若［B］的列線性獨(dú)立，則Δq的最小二乘解為：

式（14）中的Δq即為運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的近似解，將求得的Δq值補(bǔ)償?shù)綑C(jī)器人的連桿參數(shù)上，得到新的連桿參數(shù)，再用新的連桿參數(shù)重新求解，多次迭代，直到ΔPx、ΔPy、ΔPz足夠小，從而達(dá)到誤差補(bǔ)償、提高機(jī)器人定位精度的目的。

連桿參數(shù)誤差補(bǔ)償算法可以歸納為：①列出機(jī)器人的名義連桿參數(shù)；②根據(jù)名義參數(shù)和測(cè)量的數(shù)據(jù)，建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差方程；③用最小二乘法解運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差方程，得到參數(shù)誤差Δq；④根據(jù)得到的Δq，補(bǔ)償連桿參數(shù)值；⑤轉(zhuǎn)向②，直到 ΔPx、ΔPy、ΔPz都小于某一最小值；⑥連桿參數(shù)誤差即為名義值與經(jīng)過(guò)多次迭代最后所得的值之差。

2 誤差補(bǔ)償實(shí)例

目前，ABB、KUKA等大公司在碼垛和搬運(yùn)機(jī)器人中，大多采用抗沖擊能力強(qiáng)的鉸鏈?zhǔn)剿倪B桿結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)增加了整個(gè)臂部的剛度，為重型負(fù)載的設(shè)計(jì)要求提供了結(jié)構(gòu)上的可行性。該四連桿結(jié)構(gòu)具有行程放大功能，即以較小的驅(qū)動(dòng)行程實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端較大的工作行程，從而可以滿足碼垛作業(yè)對(duì)大工作空間的性能要求［6］。川崎公司生產(chǎn)的ZX165U型機(jī)器人同樣包含了鉸鏈?zhǔn)剿倪B桿結(jié)構(gòu)（見(jiàn)2.1節(jié)介紹），筆者采用ZX165U型機(jī)器人為實(shí)例，對(duì)其進(jìn)行誤差補(bǔ)償，驗(yàn)證上述補(bǔ)償算法的有效性。

2.1 ZX165U型機(jī)器人簡(jiǎn)介

ZX165型機(jī)器人是一種大型通用工業(yè)機(jī)器人，該機(jī)器人在碼垛時(shí)，能夠保證整個(gè)末端（物體）平行移動(dòng)而只需要最少的關(guān)節(jié)電機(jī)參與運(yùn)作（JT2），節(jié)省資源，并且由于其底座阻尼器的作用，使整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程速度穩(wěn)定，更能保證物體的安全。圖1所示的機(jī)器人的6個(gè)軸均是旋轉(zhuǎn)軸，關(guān)節(jié) 1（JT1）、關(guān)節(jié) 4（JT4）、關(guān)節(jié) 5（JT5）和關(guān)節(jié)6（JT6）都是與一般的串聯(lián)機(jī)器人相同的。而關(guān)節(jié)2（JT2）與關(guān)節(jié)3（JT3）之間在結(jié)構(gòu)上是通過(guò)鉸鏈?zhǔn)剿倪B桿結(jié)構(gòu)加上三角形結(jié)構(gòu)來(lái)耦合的，正是因?yàn)槭褂昧诉@種復(fù)合機(jī)構(gòu)，使其能以低能耗實(shí)現(xiàn)手臂向后翻，就是因?yàn)榇藱C(jī)構(gòu)使它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與簡(jiǎn)單的串聯(lián)機(jī)器人有所不同，也給D-H坐標(biāo)系的建立和桿件參數(shù)的確定帶來(lái)了困難。

把ZX165U型機(jī)器人簡(jiǎn)化成如圖2所示結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，當(dāng)機(jī)器人只有 JT2 運(yùn)動(dòng)時(shí)，連桿（3、4、5、6）始終作平移運(yùn)動(dòng)。

▲圖1 ZX165U型機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

▲圖2 當(dāng)只有關(guān)節(jié)2運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)器人末端的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

▲圖3 混合鉸鏈結(jié)構(gòu)

將JT2和JT3處的平行四邊形結(jié)構(gòu)以及三角形結(jié)構(gòu)的混合結(jié)構(gòu)進(jìn)行單獨(dú)分析，如圖3所示，可以確定JT3 的虛擬旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn) O， 得到∠C″BC′=∠E″OE′，∠CBC′=∠EOE′，得出虛擬中心O的轉(zhuǎn)角與關(guān)節(jié)2的轉(zhuǎn)角相等的結(jié)論，所以可用O點(diǎn)作為等效關(guān)節(jié)2。而連桿2的長(zhǎng)度為OE的長(zhǎng)度，即為CB的長(zhǎng)度。另外，關(guān)節(jié)3處的轉(zhuǎn)角因平行四邊形關(guān)節(jié)有一個(gè)補(bǔ)償，可知關(guān)節(jié)3轉(zhuǎn)角為θ3+θ2。上述這些在之后建立的D-H坐標(biāo)系以及D-H參數(shù)中都需考慮。

2.2 ZX165U型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

根據(jù)2.1節(jié)對(duì)ZX165U型機(jī)器人進(jìn)行分析，建立其連桿坐標(biāo)系，如圖4所示，可以看出，相鄰關(guān)節(jié)軸線中只有JT2和JT3軸線在理論上相互平行，MDH名義連桿參數(shù)見(jiàn)表1。

由式（3）可知，末端法蘭中心點(diǎn)相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

3 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

表1 MDH名義連桿參數(shù)

本實(shí)驗(yàn)用Leica激光跟蹤儀作為測(cè)量裝備。首先，用激光跟蹤儀構(gòu)造機(jī)器人的基坐標(biāo)系，步驟如下。

1）用示教器把機(jī)器人調(diào)整至初始位置 （JT1=-90°、JT2=-90°、JT3=0°、JT4=0°、JT5=0°、JT6=0°）， 并將靶球放在機(jī)器人末端執(zhí)行器上的某一固定點(diǎn)。

2）旋轉(zhuǎn)軸1，其它軸的角度保持不變，每隔10°用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人末端執(zhí)行器上固定點(diǎn)的坐標(biāo)值，根據(jù)這些坐標(biāo)點(diǎn)擬合出一個(gè)圓1。

3）旋轉(zhuǎn)軸2，其它軸的角度保持不變，每隔10°用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人末端執(zhí)行器上固定點(diǎn)的坐標(biāo)值，根據(jù)這些坐標(biāo)點(diǎn)擬合出一個(gè)平面2。

4）用激光跟蹤儀測(cè)量基座所在的平面A。

5）根據(jù)圓1的法線和平面A的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，平面2和平面A的交線作為Y軸，圓1的法線作為Z軸，根據(jù)右手定則定出X軸，結(jié)合激光跟蹤儀自帶軟件，可建立ZX165U型機(jī)器人的虛擬基坐標(biāo)系。

建立機(jī)器人的基坐標(biāo)系之后，用激光跟蹤儀在機(jī)器人包絡(luò)空間內(nèi)測(cè)量95個(gè)點(diǎn)，為避免誤差補(bǔ)償陷入局部最優(yōu)，測(cè)量點(diǎn)均勻分布在整個(gè)工作空間，ZX165U型機(jī)器人需要辨識(shí)的模型參數(shù)共25個(gè)。采集完數(shù)據(jù)后，用其中34個(gè)點(diǎn)建立誤差方程，按照前述方法用34個(gè)點(diǎn)來(lái)建立誤差方程是充足的，其余61個(gè)點(diǎn)作為驗(yàn)證。

應(yīng)用本文第1節(jié)的補(bǔ)償算法，用MATLAB作為計(jì)算工具，得到MDH模型連桿參數(shù)誤差，見(jiàn)表2。

利用表2得出的連桿參數(shù)誤差對(duì)機(jī)器人名義連桿參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)用于建立誤差方程的34個(gè)標(biāo)定集補(bǔ)償前后位置誤差變化情況如圖5所示，對(duì)用于驗(yàn)證結(jié)果的61個(gè)驗(yàn)證集補(bǔ)償前后位置誤差變化情況如圖6所示。對(duì)位置誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，從表3可知，經(jīng)過(guò)連桿參數(shù)誤差補(bǔ)償后，標(biāo)定集位置誤差均值從11.440 9 mm降到了0.237 8 mm，提高了97.92%，均方差從2.477 3 mm降到了0.157 4 mm，提高了93.65%；檢驗(yàn)集位置誤差均值從10.624 8 mm降到了0.368 7 mm，提高了96.53%，均方差從2.288 5 mm降到了0.204 6 mm，提高了91.06%，機(jī)器人誤差補(bǔ)償效果非常顯著，說(shuō)明了上述補(bǔ)償算法的準(zhǔn)確性。

表2 MDH模型連桿參數(shù)誤差

▲圖4 ZX165U型機(jī)器人D-H模型

4 結(jié)論

提出了一種機(jī)器人位置誤差補(bǔ)償方法，首先對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，并列出運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差方程，再通過(guò)最小二乘法辨識(shí)出所需的連桿參數(shù)，并予以補(bǔ)償；此方法還考慮了相鄰兩關(guān)節(jié)間平行時(shí)引起的奇異性問(wèn)題，并采用MDH方法消除其奇異性。以川崎公司生產(chǎn)的包含復(fù)合機(jī)構(gòu)的ZX165U型機(jī)器人為實(shí)例，對(duì)其進(jìn)行誤差補(bǔ)償，補(bǔ)償后大大提高了機(jī)器人的絕對(duì)定位精度。

但機(jī)器人誤差補(bǔ)償是一項(xiàng)非常復(fù)雜的工作，筆者僅從運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型方面考慮提高其絕對(duì)位置定位精度，而對(duì)機(jī)器人桿件彈性變形、齒輪傳動(dòng)誤差、關(guān)節(jié)間隙等因素尚未考慮進(jìn)去，所以，要更進(jìn)一步提高機(jī)器人的位置精度，還要依賴(lài)更完整的誤差辨識(shí)模型。

［1］ISO 9283， Manipulating Industrial Robots-Performance Criteria and Related test Methods［S］.

［2］Vatchara Lertpiriyasuwat.Real-time Estimation of Endeffector Position and Orientation for Manufacturing Robots［D］.USA：Universtity of Washington， 2000.

［3］蔡鶴皋，張超群，吳偉國(guó).機(jī)器人實(shí)際幾何參數(shù)識(shí)別與仿真［J］.中國(guó)機(jī)械工程， 1998， 9（10）：11-14.

表3 標(biāo)定集與檢驗(yàn)集補(bǔ)償前后數(shù)據(jù)分析

▲圖5 標(biāo)定集補(bǔ)償前后位置誤差對(duì)比

▲圖6 檢驗(yàn)集補(bǔ)償前后位置誤差對(duì)比

［4］南小海.6R型工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定算法與實(shí)驗(yàn)研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2008.

［5］HayatiS A.RobotArm GeometricalLink Parameter Estimation［C］.Proeeedings of the 22nd IEEE Conference on Decision and Control，Pasadena，California，1983.

［6］李躍.重載碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及其運(yùn)動(dòng)控制研究［D］.綿陽(yáng)：西南科技大學(xué)，2013.

［7］任永杰，邾繼貴，楊學(xué)友，等.利用激光跟蹤儀對(duì)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定的方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（9）：195-200.