胡海靜，朱圣英，崔平遠(yuǎn)

(1.北京理工大學(xué) 深空探測技術(shù)研究所，北京 100081； 2.飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

基于Lyapunov函數(shù)的小天體軟著陸障礙規(guī)避控制方法

胡海靜1，2，朱圣英1，2，崔平遠(yuǎn)1，2

(1.北京理工大學(xué) 深空探測技術(shù)研究所，北京 100081； 2.飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

針對姿軌耦合型探測器控制方法存在工程實現(xiàn)難、計算效率低的問題，提出一種基于Lyapunov函數(shù)的小天體自主軟著陸障礙規(guī)避控制方法。首先，建立了小天體著陸過程姿態(tài)和軌道的動力學(xué)模型；其次，考慮探測器當(dāng)前的勢能與障礙地形對探測器的威脅選取Lyapunov函數(shù)，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理推導(dǎo)了推力器的開關(guān)控制邏輯，能夠?qū)崿F(xiàn)到達(dá)目標(biāo)著陸點的同時進(jìn)行障礙規(guī)避，且該過程不需事先設(shè)計參考模型。同時，該控制邏輯具有解析形式，能夠?qū)崿F(xiàn)實時障礙規(guī)避。仿真結(jié)果表明，該方法能夠有效實現(xiàn)規(guī)避障礙且滿足姿態(tài)穩(wěn)定的要求。

小天體；Lyapunov；障礙規(guī)避；姿軌耦合；跟蹤控制

0 引 言

隨著行星際探測任務(wù)的日益增多，探測器在天體表面的安全軟著陸已經(jīng)成為未來深空科學(xué)探測的重要任務(wù)和課題。為了對有科學(xué)價值的區(qū)域進(jìn)行研究和取樣，希望探測器能夠在危險(巖石、彈坑和陡坡)的區(qū)域進(jìn)行安全著陸。

探測器自主障礙規(guī)避是在獲取著陸區(qū)地形信息前提下，規(guī)劃滿足探測器機(jī)動性能的運動軌跡，通過姿、軌控制系統(tǒng)完成推力器開關(guān)控制，達(dá)到跟蹤運動軌跡與穩(wěn)定姿態(tài)的目的。對此，JPL實驗室與約翰遜空間中心聯(lián)合開發(fā)了一套基于激光掃描雷達(dá)的障礙規(guī)避控制算法，用于實現(xiàn)火星表面著陸的障礙規(guī)避[1]。另外，為了實現(xiàn)障礙規(guī)避過程中探測器6個自由度控制，JPL實驗室也做了大量研究[2]。以上過程均利用探測器當(dāng)前狀態(tài)和著陸點信息設(shè)計多項式軌跡，該方式計算簡單，然而，無法避免探測器規(guī)避過程中與障礙發(fā)生碰撞。采用勢函數(shù)的制導(dǎo)方法有望解決上述問題，根據(jù)探測器當(dāng)前的勢能與障礙地形對探測器的威脅選取Lyapunov函數(shù)，并通過Lyapunov穩(wěn)定性原理推導(dǎo)穩(wěn)定制導(dǎo)律，因而能夠保證探測器到達(dá)目標(biāo)點的同時有效降低碰撞的概率[3]。在實際工程中，障礙規(guī)避技術(shù)也在我國的“嫦娥3號”探月任務(wù)中得到應(yīng)用，實現(xiàn)避障精度優(yōu)于5 m[4]。

大行星著陸器往往采用反推發(fā)動機(jī)和姿態(tài)推力噴嘴的構(gòu)型，而小天體引力較弱，無需采用反推發(fā)動機(jī)進(jìn)行減速。在小天體實際任務(wù)中采用噴嘴進(jìn)行姿態(tài)和軌道控制能夠滿足著陸器減速和平穩(wěn)到達(dá)目標(biāo)點的要求，“隼鳥號”任務(wù)中，由于探測器的姿態(tài)控制噴嘴出現(xiàn)部分故障，最終同時依靠電推力和噴嘴完成了附著過程的姿態(tài)和軌道控制。采用噴嘴實現(xiàn)附著過程的軌道控制和姿態(tài)穩(wěn)定要求探測器具備姿、軌耦合控制能力。然而，目前，姿、軌耦合探測器軟著陸障礙規(guī)避控制方法積分等效方法存在執(zhí)行效率低等問題，難以滿足實時性要求。另外，文獻(xiàn)[5]提出一種姿軌耦合推力器的開關(guān)選擇方法，能夠完成航天器交會對接過程的姿軌控制，然而該方法依賴事先設(shè)計的參考模型。

針對上述問題，本文提出一種基于Lyapunov的小天體自主軟著陸障礙規(guī)避控制方法。首先，建立了小天體著陸過程姿態(tài)和軌道的動力學(xué)模型；另外，考慮探測器當(dāng)前的勢能與障礙地形對探測器的威脅選取Lyapunov函數(shù)，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理推導(dǎo)了推力器的開關(guān)控制邏輯，能夠?qū)崿F(xiàn)到達(dá)目標(biāo)著陸點的同時進(jìn)行障礙規(guī)避，且該過程不需事先設(shè)計參考模型。同時，該控制邏輯具有解析形式，能夠滿足障礙規(guī)避過程實時性要求。

1 動力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系定義

小天體著陸的姿態(tài)和軌道參考坐標(biāo)系如圖1所示[6]。

圖1 參考坐標(biāo)系定義Fig.1 Definition of reference system

著陸器本體坐標(biāo)系為∑b:ob-xbybzb，該坐標(biāo)系原點ob在探測器的質(zhì)心處，obxb軸、obyb軸及obzb軸分別與探測器的體軸重合。該坐標(biāo)系可用來反映著陸過程中探測器的空間姿態(tài)。

著陸點固連坐標(biāo)系為∑l:ol-xlylzl，該坐標(biāo)系原點ol位于預(yù)定的著陸點，olxl沿經(jīng)線的切線指向南極方向，olzl和從小行星質(zhì)心指向著陸點的矢量oaol方向一致，olyl與olxl、olzl之間滿足右手系法則。著陸器本體坐標(biāo)系到著陸點固連坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣記作LRB。

1.2 姿軌動力學(xué)

采用修正羅德里格參數(shù)(MRPs)作為姿態(tài)表達(dá)式，便于將姿態(tài)動力學(xué)方程寫為一般形式的二階非線性微分方程。著陸器姿態(tài)采用MRPs描述，其中，姿態(tài)角σ∈R3，角速度ω∈R3，則MRPs參數(shù)描述的運動學(xué)方程為

(1)

其中

(2)

(3)

剛體的姿態(tài)動力學(xué)方程為

(4)

其中：J=diag(J1J2J3)轉(zhuǎn)動慣量的對角矩陣；M是著陸器本體坐標(biāo)系中的控制力矩向量。

通過轉(zhuǎn)化，可以將姿態(tài)動力學(xué)寫成二階非線性微分方程的形式

(5)

考慮小天體障礙規(guī)避過程距離小天體表面很近，目標(biāo)天體的自旋角速度對探測器的影響較小，著陸點坐標(biāo)系下著陸器的動力學(xué)方程可以近似表示為如下形式

(6)

其中：SFb為探測器本體坐標(biāo)系下三軸的控制加速度；LRS為本體系到著陸點坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；gp為目標(biāo)天體產(chǎn)生的引力加速度。

(7)

(8)

令e=[eρeσ]T，則姿軌動力學(xué)方程可以表示為

(9)

其中

1.3 探測器構(gòu)型

為了實現(xiàn)小天體障礙規(guī)避過程的平動和轉(zhuǎn)動運動，探測器需要能夠同時生成控制力和控制力矩。圖2為一種工程中常見的推力器分布構(gòu)型，在本體坐標(biāo)系下，其控制力和力矩可以表示為

(10)

其中：ua推力的大??；H為推力器分布構(gòu)型決定的控制力和力矩的分配矩陣；u=[u1u2… u12]T為推力器的開關(guān)狀態(tài)

(11)

令dx、dy和dz表示推力器的力矩，則分配矩陣HF和HM可表示為

圖2 推力器分布結(jié)構(gòu)Fig.2 Thrusters’ configuration of the lander

2 基于Lyapunov函數(shù)的障礙規(guī)避姿軌控制方法

障礙規(guī)避控制系統(tǒng)利用獲取的著陸區(qū)地形信息，結(jié)合導(dǎo)航系統(tǒng)給出的著陸器的位置、速度等信息，產(chǎn)生的控制信號驅(qū)動發(fā)動機(jī)來完成著陸器自主障礙規(guī)避。由于未來的科學(xué)考察需要，使得著陸區(qū)地形復(fù)雜，分布著各種障礙，因此在著陸器進(jìn)行障礙規(guī)避時要注意避免與這些障礙發(fā)生碰撞。同時，由于星載機(jī)運算能力有限，要求障礙規(guī)避控制算法簡單、可靠，這使得障礙規(guī)避控制算法要具有解析表達(dá)式。本節(jié)給出一種基于Lyapunov函數(shù)的障礙規(guī)避控制方法，選取的正定Lyapunov函數(shù)由狀態(tài)函數(shù)與危險地形勢函數(shù)兩部分組成，通過采用Lyapunov穩(wěn)定性原理推導(dǎo)了其推力器開關(guān)控制方法，能夠保證實現(xiàn)障礙規(guī)避的同時穩(wěn)定姿態(tài)。

選取正定狀態(tài)函數(shù)為

(12)

選取危險地形勢函數(shù)為

(13)

其中：xi、yi代表了障礙的位置；zi代表了障礙的高度或深度；k1、σ1是正數(shù)；i是障礙的編碼。該函數(shù)代表了當(dāng)前所處位置障礙對著陸器的威脅，該函數(shù)越大代表當(dāng)前所處地勢越危險，反之越安全。

選取Lyapunov函數(shù)

(14)

ΦP和ΦS均為正定，因此

Φ>0

(15)

其中：Δ=Δρ+Δσ+δs

從而，可以得出

(16)

如果Δ<0，則系統(tǒng)將在狀態(tài)空間平衡點處是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。

對于任意一個正定矩陣Q，矩陣P是Lyapunov方程的特解

(17)

根據(jù)Lyapunov原理，如果2eTPB(σ)(Hu-ω)≤0，則誤差方程漸近穩(wěn)定。

則可求得

其中

則式(15)可以寫成如下形式

(18)

(19)

(20)

然后，βρ和βσ能夠?qū)懗搔蘸挺械暮瘮?shù)

(21)

向量βρ和βσ中的元素如表1所示。

表1 向量βρ和βσ中的元素

4)計算

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗證上述算法和公式推導(dǎo)的可行性和可靠性，本文針對小天體障礙規(guī)避為例進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真。在障礙規(guī)避算法中，采用的狀態(tài)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)取值p1、p2、p3取0.002，p4、p5、p6取0.02，地勢加權(quán)k1為0.2，形狀系數(shù)σ1取值2，函數(shù)下降系數(shù)kx=ky=kz=0.2。從初始位置處進(jìn)行障礙規(guī)避，這些障礙信息如表2中所示，選取的目標(biāo)著陸點為rf=[0，0，0]m，初始位置為[35，80，50]m，初始速度為[0.5，-0.5，-0.8]m/s，小天體引力[0，0，0.001]m/s2，推力大小ua=15N，m=200kg。

表2 障礙信息

圖3 三軸位置Fig.3 Position of the lander

圖4 三軸速度Fig.4 Velocity of the lander

圖5 障礙規(guī)避軌跡Fig.5 Hazard avoidance trajectory

圖6 姿態(tài)穩(wěn)定誤差Fig.6 Attitude errors

圖3為著陸器的三維位置曲線，從中可以看出著陸器的位置逐漸逼近目標(biāo)點。圖4為著陸器障礙規(guī)避過程的速度曲線，能夠達(dá)到在小天體表面軟著陸的速度要求。另外，著陸區(qū)障礙對著陸器位置和速度曲線的曲率有較大影響，在障礙地形區(qū)的著陸軌跡如圖5所示，從中可以看出，著陸器能夠?qū)崿F(xiàn)規(guī)避障礙的目標(biāo)。由于障礙規(guī)避過程沒有涉及姿態(tài)機(jī)動，在整個過程中姿態(tài)穩(wěn)定誤差如圖6所示，可以看出在整個障礙規(guī)避過程中著陸器姿態(tài)保持平穩(wěn)。以上仿真表明，本文提出的姿軌耦合控制方法能夠完成障礙規(guī)避的同時實現(xiàn)著陸器姿態(tài)穩(wěn)定，使探測器安全、平穩(wěn)下降到目標(biāo)著陸點。另外，由于該推力器開關(guān)控制過程具有解析的表達(dá)式，因而具有計算效率高的優(yōu)點。

4 結(jié) 論

針對姿軌耦合型探測器控制方法存在工程實現(xiàn)難、計算效率低的問題，本文提出了一種基于Lyapunov函數(shù)的小天體自主軟著陸障礙規(guī)避控制方法。該方法考慮探測器當(dāng)前的勢能與障礙地形對探測器的威脅選取勢函數(shù)，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理推導(dǎo)了推力器的開關(guān)控制邏輯，能夠?qū)崿F(xiàn)到達(dá)目標(biāo)著陸點的同時進(jìn)行障礙規(guī)避，而且，該過程不依賴參考模型，能夠?qū)崿F(xiàn)自主運行。同時，該控制邏輯具有解析形式，能夠滿足障礙規(guī)避過程實時性要求。

[1] Johnson A E， Klumpp A R， Collier J B， et al. Lidar-based hazard avoidance for safe landing on Mars[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2002，25(6):1091-1099.

[2] Wong E C， Singh G. Guidance and control design for hazard avoidance and safe landing on Mars[J]. Journal of Spacecraft and Rockets， 2006，43(2):378-384．

[3] Zhu S Y， Cui P Y， Hu H J. Hazard detection and avoidance for planetary landing based on Lyapunov control method[C]∥Intelligent Control and Automation. Beijing: [s.n.], 2012.

[4] 張洪華，梁俊，黃翔宇，等.嫦娥三號自主避障軟著陸控制技術(shù)[J].中國科學(xué):技術(shù)科學(xué)，2014，44(6):559-568. [Zhang H H， Liang J， Huang X Y， et al. Autonomous hazard avoidance control for Chang’E-3 soft landing[J]. Sci. China， 2014，44(6):559-568.]

[5] Curti F， Romano M， Bevilacqua R. Lyapunov-based thrusters’ selection for spacecraft control: analysis and experimentation[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics， 2010，33(4):1143-1160．

[6] 朱圣英，崔平遠(yuǎn)，崔祜濤，等.基于路標(biāo)觀測角的星際著陸器自主位姿確定技術(shù)[J].航空學(xué)報，2010，31(2):318-326. [Zhu S Y， Cui P Y， Cui H T， et al. Autonomous position and attitude determination for interplanetary landers based on landmark observation angles[J]. Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica， 2010，31(2):318-326.]

[責(zé)任編輯：宋宏]

Lyapunov-Based Hazard Avoidance Control Method for Landing on Small Celestial Bodies

HU Haijing1，2， ZHU Shengying1，2， CUI Pingyuan1，2

(1. School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China； 2. Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle， Ministry of Education， Beijing 100081， China)

Aiming at the difficulty in designing the coupled attitude and orbit control lander， the lyapunov-based hazard avoidance control method for landing on small celestial bodies is presented. Firstly， the dynamic model is given， and the is selected based on the current potential of the lander and the threat from the hazards. Then， the on-off logic of the thrusters is derived according to the Lyapunov theory. This guarantees that the lander can arrive at the landing site and avoid the hazards， and this process . Since the control logic is analytical， this control method can meet the real-time requirement of hazard avoidance and is easy to be applied in the engineering. The simulation results show that this method can avoid the hazards effectively and stabilize the attitude.

small celestial bodies； Lyapunov； hazard avoidance； coupled attitude and orbit system； tracking control

2014-10-14

2014-12-30

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)資助(2012CB720000)；國家自然科學(xué)基金資助(60874094)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助(20111101110001)；北京理工大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊

V447.2

A

2095-7777(2015)02-0149-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.02.008

胡海靜(1986—)，男，博士生，主要研究方向：行星著陸導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。 通信地址：北京理工大學(xué)宇航學(xué)院22信箱(100081) 電話：(010)68918921 E-mail:bithuhaijing@163.com