鄭藝裕，崔祜濤，王曉芳

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深空探測(cè)基礎(chǔ)研究中心，哈爾濱150080；2.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081)

附著小天體的動(dòng)態(tài)面魯棒制導(dǎo)與控制方法

鄭藝裕1，崔祜濤1，王曉芳2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深空探測(cè)基礎(chǔ)研究中心，哈爾濱150080；2.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081)

以精確附著小天體表面的任務(wù)為背景，提出一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB) 和動(dòng)態(tài)面控制的附著小天體的制導(dǎo)與控制方法。根據(jù)探測(cè)器的初始條件與終端著陸條件規(guī)劃了標(biāo)稱(chēng)軌跡，并將引力場(chǎng)建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾等視為總擾動(dòng)，結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制和DOB設(shè)計(jì)了標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制器。分析總擾動(dòng)估計(jì)誤差的漸進(jìn)收斂性以及閉環(huán)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定控制器參數(shù)選取條件。數(shù)值仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的DOB可以有效地估計(jì)并抑制總擾動(dòng)且閉環(huán)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和控制精度。

小天體；附著；制導(dǎo)控制；動(dòng)態(tài)面控制；擾動(dòng)觀測(cè)器

0 引 言

作為深空探測(cè)的重要領(lǐng)域之一，小天體探測(cè)自20世紀(jì)以來(lái)一直備受人們關(guān)注。國(guó)外著名的研究機(jī)構(gòu)，例如美國(guó)國(guó)家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration， NASA)、歐洲太空局(European Space Agency，ESA)和日本宇宙航空研究開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)(Japan Aerospace Exploration Agency，JAXA)，均開(kāi)展了小天體探測(cè)任務(wù)，并取得了豐碩的探測(cè)成果。由于探測(cè)器附著小天體表面的過(guò)程持續(xù)時(shí)間相對(duì)較短，目標(biāo)小天體與地面基站之間的通訊存在較大的延遲，星載計(jì)算機(jī)能力有限，因此探測(cè)器在附著過(guò)程中應(yīng)具備自主性和實(shí)時(shí)性。小天體一般尺寸小，形狀不規(guī)則，其引力場(chǎng)建模存在著較大的不確定性。同時(shí)，太陽(yáng)光壓、太陽(yáng)的引力攝動(dòng)以及太陽(yáng)離子風(fēng)等外部擾動(dòng)也將在一定程度上影響探測(cè)器的附著精度。在任務(wù)實(shí)施前，如何有效地評(píng)估這些動(dòng)力學(xué)不確定性因素對(duì)附著精度的影響并設(shè)計(jì)較強(qiáng)魯棒性的制導(dǎo)與控制方案將是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。為了使探測(cè)器安全、精確、可靠地附著在小天體上，探測(cè)器的制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制(GNC)系統(tǒng)需具備魯棒性、自主性和實(shí)時(shí)性[1-3]。

目前，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者在探測(cè)器軟著陸小天體的自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制問(wèn)題上做了許多工作。文獻(xiàn)[4]提出一種軟著陸小天體的開(kāi)環(huán)視線(xiàn)制導(dǎo)律，但該制導(dǎo)律對(duì)小天體引力場(chǎng)建模誤差和外部擾動(dòng)的魯棒性較差。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]提出一種標(biāo)稱(chēng)軌跡制導(dǎo)方案，并基于滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制器，可有效抑制小天體引力場(chǎng)建模誤差和外部擾動(dòng)。但該方法假設(shè)外部干擾的界是已知的且控制器存在抖振現(xiàn)象，不便于工程運(yùn)用。文獻(xiàn)[6]給出了一種利用星載光學(xué)相機(jī)和激光雷達(dá)的自主導(dǎo)航方法，測(cè)量探測(cè)器相對(duì)著陸點(diǎn)的距離與速度，并基于滑?？刂评碚撎岢隽艘环N自主軟著陸的制導(dǎo)方案。針對(duì)小天體制導(dǎo)與控制工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于PD+PWPF的標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤制導(dǎo)控制方法，并驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方法的有效性。文獻(xiàn)[8] 針對(duì)小天體探測(cè)器的脈沖機(jī)動(dòng)方式，提出一種自主的魯棒閉環(huán)控制方法。文獻(xiàn)[9]考慮目標(biāo)天體的引力模型建模問(wèn)題以及接近過(guò)程中的狀態(tài)約束和控制約束問(wèn)題規(guī)劃了探測(cè)器附著標(biāo)稱(chēng)軌跡，并設(shè)計(jì)了魯棒反饋控制律跟蹤標(biāo)稱(chēng)軌跡。針對(duì)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤誤差有限時(shí)間收斂問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]提出一種基于非奇異終端滑模的有限時(shí)間小天體軟著陸制導(dǎo)控制方法。

擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB)的概念最早由日本學(xué)者Ohishi等[11]于1987年提出。DOB的主要原理是將實(shí)際輸出與名義模型輸出之間的差異、耦合項(xiàng)、參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)等視為作用于名義模型的總擾動(dòng)，估計(jì)出該總擾動(dòng)并將估計(jì)值作為前饋，達(dá)到對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行完全抑制的目的?；跀_動(dòng)觀測(cè)器的控制方法(DOB-based control，DOBC)具有計(jì)算簡(jiǎn)單、魯棒性好且不依賴(lài)于精確的模型等優(yōu)點(diǎn)，引起了許多學(xué)者的關(guān)注，并廣泛運(yùn)用于各類(lèi)線(xiàn)性和非線(xiàn)性系統(tǒng)的前饋控制器設(shè)計(jì)中[12-16]，是一種高效、簡(jiǎn)單的控制器設(shè)計(jì)方法。動(dòng)態(tài)面控制方法[17]將高階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)一階子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，其主要思想是在傳統(tǒng)的Backstepping方法基礎(chǔ)上將每一步得到的虛擬控制量通過(guò)低通濾波器，得到下一步的設(shè)計(jì)的跟蹤軌跡，避免了傳統(tǒng)的Backstepping方法的“微分爆炸”問(wèn)題。

研究表明，擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于低通濾波器Q(s)的設(shè)計(jì)。為了保證擾動(dòng)觀測(cè)器的物理可實(shí)現(xiàn)性，一般要求Q(s)的相對(duì)階一般不低于被控對(duì)象的相對(duì)階次且Q(s)的相對(duì)階應(yīng)盡量小[18-19]。當(dāng)控制對(duì)象的相對(duì)階較高時(shí)，Q(s)的相對(duì)階將較大，此時(shí)將增加系統(tǒng)的復(fù)雜性，不利于實(shí)時(shí)在線(xiàn)計(jì)算。由于動(dòng)態(tài)面控制可以將高階系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為低階系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)，因此本文綜合運(yùn)用DOBC與動(dòng)態(tài)面控制方法研究小天體軟著陸制導(dǎo)控制方法，既可對(duì)引力場(chǎng)建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾等有效地估計(jì)和抑制，避免Q(s)相對(duì)階較高的問(wèn)題，且綜合了兩種控制方法的優(yōu)點(diǎn)，有利于提高控制系統(tǒng)的魯棒性和控制精度。

本文首先根據(jù)探測(cè)器的初始條件與終端著陸條件規(guī)劃了標(biāo)稱(chēng)軌跡，然后基于擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)與動(dòng)態(tài)面控制理論設(shè)計(jì)相應(yīng)的標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制器。在設(shè)計(jì)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制器時(shí)，將引力場(chǎng)建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾等視為總擾動(dòng)，在動(dòng)態(tài)面控制設(shè)計(jì)框架的基礎(chǔ)上利用狀態(tài)反饋和總干擾估計(jì)值的前饋對(duì)各個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。然后分析總干擾估計(jì)誤差的漸進(jìn)收斂性?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定理論，分析閉環(huán)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制參數(shù)的選取條件。最后，利用數(shù)值仿真技術(shù)，以附著433號(hào)小天體Eros為例驗(yàn)證提出的設(shè)計(jì)方法的較強(qiáng)的魯棒性和較高的控制精度。

1 探測(cè)器動(dòng)力學(xué)模型

首先給出小天體慣性坐標(biāo)系和小天體固連坐標(biāo)系的定義[20]。小天體慣性坐標(biāo)系oixiyizi：坐標(biāo)系原點(diǎn)位于小天體質(zhì)心，oixi軸與oiyi軸分別指向歷元時(shí)刻小天體的最小和中間慣性軸方向，oizi軸與其余兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系；小天體固連坐標(biāo)系oxyz：坐標(biāo)系原點(diǎn)位于小天體質(zhì)心，ox軸與oy軸分別指向小天體的最小和中間慣性軸方向，oz軸與其余兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

在小天體固連坐標(biāo)系下，探測(cè)器的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可以描述為[4-5，10]

(1)

其中：r和ω分別為小天體慣性坐標(biāo)系下探測(cè)器的位置矢量與小天體的旋轉(zhuǎn)角速度矢量；“r′”和“r″”分別表示矢量“r”相對(duì)于小天體固連坐標(biāo)系的一階和二階導(dǎo)數(shù)；d為太陽(yáng)光壓、太陽(yáng)引力攝動(dòng)和建模誤差等引起的總干擾；u為控制輸入；V為小天體的引力勢(shì)函數(shù)，其球諧函數(shù)形式為[21]

(2)

其中：G為萬(wàn)有引力常數(shù)；M為小天體的質(zhì)量；ra為小天體參考橢球體的參考半徑；r、φ和λ分別為探測(cè)器在小天體固連坐標(biāo)系的徑向距離、緯度和經(jīng)度；Pnm(sinφ)為勒讓德多項(xiàng)式或者締合勒讓德多項(xiàng)式；Cnm和Snm為球諧系數(shù)。

假設(shè)小天體繞oz軸作轉(zhuǎn)速ω的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有ω′=0。因此，可將式(1)在小天體固連坐標(biāo)系下展開(kāi)為

(3)

其中：ux、uy和uz為u在小天體固連坐標(biāo)系下的3個(gè)分量；dx、dy和dz為d在小天體固連坐標(biāo)系下的3個(gè)分量；Vx=?V/?x，Vy=?V/?y，Vz=?V/?z。

采用2階引力勢(shì)函數(shù)的展開(kāi)式，由式(2)可得

(4)

考慮如下轉(zhuǎn)化關(guān)系

(5)

代入式(4)可得

(6)

根據(jù)式(6)可以求得Vx，Vy和Vz。

為方便制導(dǎo)控制方法設(shè)計(jì)，定義

(7)

(8)

其中

2 制導(dǎo)控制設(shè)計(jì)

2.1 標(biāo)稱(chēng)軌跡規(guī)劃

假設(shè)t=tf時(shí)刻探測(cè)器在小天體表面軟著陸，探測(cè)器在初始時(shí)刻t=t0邊界條件為

著陸點(diǎn)位置坐標(biāo)為

設(shè)計(jì)如下標(biāo)稱(chēng)軌跡

(9)

其中：t為當(dāng)前時(shí)間；α為12×1待定向量；N(t)為3×12矩陣，且

(10)

其中：I為3×3單位矩陣。對(duì)式(9)求導(dǎo)可得

(11)

考慮邊界條件

(12)

(13)

(14)

(15)

可得如下線(xiàn)性代數(shù)方程

(16)

根據(jù)式(16)，可以求解α，從而獲得標(biāo)稱(chēng)軌跡式(9)和式(11)。

2.2 標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制

本小節(jié)利用擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)外部干擾d進(jìn)行估計(jì)并將估計(jì)值作為前饋，結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制理論設(shè)計(jì)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制算法。

定義動(dòng)態(tài)面

(17)

對(duì)其求導(dǎo)并考慮式(8)可得

(18)

以x2作為虛擬控制量設(shè)計(jì)α1并設(shè)計(jì)α1為

(19)

其中：k1為正定的3×3對(duì)角陣。

采用如下濾波器對(duì)虛擬控制α1進(jìn)行濾波

(20)

其中：κ2>0為濾波器時(shí)間常數(shù)。

定義動(dòng)態(tài)面

(21)

對(duì)其求導(dǎo)并考慮式(8)可得

(22)

設(shè)計(jì)控制器

(23)

將式(23)代入式(22)可得

(24)

可以看出，式(24)是一個(gè)1階系統(tǒng)，因此可設(shè)計(jì)如圖1所示的擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)外部干擾d進(jìn)行估計(jì)。

圖1 擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)Fig.1 Disturbance observer structure

圖1中，v=-k2s2，Q(s)為低通濾波器且

(25)

其中：τi為低通濾波器時(shí)間常數(shù)，i=1，2，3。

在分析上文所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器性能之前，首先給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：外部干擾有界且滿(mǎn)足

(26)

假設(shè)2：存在足夠小的低通濾波器時(shí)間常數(shù)τi使得如下等式成立：

(27)

圖1中，系統(tǒng)的輸出s2可以用傳遞函數(shù)的形式表示為

(28)

考慮外部干擾d一般分布在低頻段，因此，為有效地抑制外部干擾，須取足夠小的低通濾波器時(shí)間常數(shù)τi滿(mǎn)足假設(shè)2使得在低頻段有Q(s)=I。此時(shí)，式(28)重新寫(xiě)為

(29)

或者

(30)

可以看出，輸出s2是漸進(jìn)收斂于零的。

(31)

由假設(shè)1和假設(shè)2根據(jù)終值定理可進(jìn)一步推導(dǎo)

(32)

綜上設(shè)計(jì)過(guò)程，可以得出如下標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制算法

(33)

2.3 閉環(huán)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

下面對(duì)由控制算法式(33)和系統(tǒng)式(8)組成的閉環(huán)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)

(34)

其中：y2=x2d-α1，對(duì)Vs求導(dǎo)可得

(35)

(36)

其中，κ>0，則有

(37)

(38)

(39)

分析式(38)可知，為保證控制精度，一般情況下，可以選擇足夠大的參數(shù)κ保證系統(tǒng)輸出的最終界任意小。但是考慮控制能量的限制以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性，參數(shù)κ不可能取任意大且不宜過(guò)大。比較式(38)和式(39)可以看出，本文擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)的運(yùn)用有利于減小系統(tǒng)輸出的最終界，此時(shí)參數(shù)κ可以在保證同樣的控制精度的前提下取較小的值，有效克服較大的κ引起的控制能量限制與系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。

3 數(shù)值仿真與分析

以軟著陸433號(hào)小行星Eros為例，驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)與控制算法。仿真計(jì)算中，探測(cè)器動(dòng)力學(xué)模型采用4階引力勢(shì)函數(shù)

(40)

Eros相關(guān)參數(shù)：GM=8.86×10-4km3/s2，ra=16 km，C20=1.13×10-1，C22=3.96×10-2，C40=6.8×10-2，C44=2.79×10-4，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為5.27 h。

圖2 標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤誤差Fig.2 Tracking error curves of nominal trajectory

圖3 總干擾估計(jì)誤差的時(shí)間歷程Fig.3 Estimation error curves for the lumped disturbance

圖4 控制量的時(shí)間歷程Fig.4 Control input curves

圖2給出了標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤誤差，可以看出，在軟著陸過(guò)程，位置跟蹤誤差的界始終小于4×10-4m，速度跟蹤誤差的界始終小于4×10-4m/s，表明本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制算法具有較高的控制精度。圖3總干擾估計(jì)誤差快速收斂在零附近，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)總干擾具有良好的跟蹤能力，可以有效地抑制外部干擾。圖4控制量計(jì)算結(jié)果表明控制量是連續(xù)平緩變化的。圖5為探測(cè)器的軟著陸軌跡。綜上分析可知，本文設(shè)計(jì)的小天體軟著陸制導(dǎo)控制算法具有良好的性能，對(duì)外部干擾具有良好的魯棒性，可以以較高的精度有效實(shí)現(xiàn)小天體軟著陸。

4 結(jié) 論

本文將引力場(chǎng)建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾等視為總擾動(dòng)，結(jié)合動(dòng)態(tài)面控制和擾動(dòng)觀測(cè)器技術(shù)，提出一種小天體軟著陸的動(dòng)態(tài)面魯棒制動(dòng)方法。基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論，分析了閉環(huán)標(biāo)稱(chēng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制參數(shù)的選取條件。該方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、強(qiáng)魯棒性的特點(diǎn)，且能保證較高的軟著陸精度。

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[責(zé)任編輯：宋宏]

Dynamic Surface Robust Guidance and Control for Landing on Asteroids

ZHENG Yiyu1， CUI Hutao1， WANG Xiaofang2

(1.Deep Space Exploration Research Center， Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China； 2.School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

With a comprehensive application of the theory of the disturbance observer based (DOB) control and dynamic surface control， this paper develops a dynamic surface robust guidance method for precise landing on asteroids. A reference trajectory is first generated by using the spacecraft initial conditions and the terminal landing constraints. We consider the gravitational field modeling errors of the asteroid， parameter perturbations of the spacecraft， and external disturbances as a lumped disturbance of the dynamic system and then design a reference trajectory tracking controller using the DOB technique and dynamic surface control theory. We analyze the asymptotic convergence problem of the estimation of the lumped disturbance. We also present the stability analysis of the closed-loop reference trajectory tracking control system and develop a method to determine the controller parameters. Numerical simulation results show that the DOB designed in this paper can estimate the lumped disturbance effectively and that the closed-loop reference trajectory tracking control system has a fine stability and control precision．

asteroid; soft landing; guidance and control; dynamic surface control; disturbance observer

2014-11-01

2015-03-20

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2012CB720005)；國(guó)家自然科學(xué)基金(61174201)

V412.4

A

2095-7777(2015)02-0155-07

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.02.009

鄭藝裕(1988—)，男，博士研究生，主要研究方向：導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制，行星進(jìn)入、下降與著陸技術(shù)。 通信地址：黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)一匡街，哈爾濱工業(yè)大學(xué)科學(xué)園深空探測(cè)基礎(chǔ)研究中心313室(150008) 電話(huà)：(0451)86418320-312 E-mail:dserc.zhengyiyu@gmail.com