王洪泉，師五喜，常紹平，修春波

天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，天津 300387

1 引言

移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是一類典型的非完整系統(tǒng)，近年來，許多學(xué)者對(duì)其跟蹤控制問題進(jìn)行了大量研究[1-6]。根據(jù)參考軌跡是否為時(shí)間的函數(shù)，跟蹤控制分為軌跡跟蹤和路徑跟蹤。對(duì)于軌跡跟蹤問題，文獻(xiàn)[1-4]基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分別提出了反步法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和輸入輸出線性化方法。對(duì)于路徑跟蹤問題，文獻(xiàn)[5]研究了機(jī)器人質(zhì)心恰好位于輪軸幾何中心時(shí)的路徑跟蹤問題，文獻(xiàn)[6]研究了機(jī)器人質(zhì)心位于兩驅(qū)動(dòng)輪的中軸線上時(shí)機(jī)器人的路徑跟蹤問題。眾所周知，所設(shè)計(jì)的機(jī)器人最終是負(fù)載的，而負(fù)載的位置將直接影響整個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)質(zhì)心位置，通常情況下質(zhì)心位置并不在兩驅(qū)動(dòng)輪的中軸線上，且其準(zhǔn)確位置不好確定，所以文[5-6]假設(shè)機(jī)器人質(zhì)心位于輪軸幾何中心或兩驅(qū)動(dòng)輪的中軸線上對(duì)負(fù)載機(jī)器人系統(tǒng)是不合適的。由于質(zhì)心位置不好確定，所以負(fù)載移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)典型的不確定非線性系統(tǒng)。

自從文[7]證明了模糊系統(tǒng)的萬能逼近性以來，自適應(yīng)模糊系統(tǒng)和傳統(tǒng)線性滑模控制相結(jié)合，已被應(yīng)用到了含不確定性的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)跟蹤控制中[8-11]。但傳統(tǒng)的線性滑?？刂圃谙到y(tǒng)到達(dá)滑模面后只能實(shí)現(xiàn)無限時(shí)間的漸近收斂，因此不能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間跟蹤。此時(shí)為了加快收斂速度，必需增大滑?？刂浦械脑O(shè)計(jì)參數(shù)，這會(huì)使控制器的增益增大，從而導(dǎo)致控制輸入的飽和，這種現(xiàn)象在實(shí)際應(yīng)用中是不期望產(chǎn)生的。終端滑模（TSM）[12]作為一種有效的有限時(shí)間收斂方法得到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注[13-23]，近些年來相繼提出了快速終端滑模（FTSM）[17]、非奇異終端滑模（NTSM）[18]，而且已被應(yīng)用到機(jī)器人控制中。如文獻(xiàn)[18，20-21]基于NTSM對(duì)機(jī)械手進(jìn)行了跟蹤控制研究，文[23-24]基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型對(duì)移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行了簡(jiǎn)單的終端滑模控制設(shè)計(jì)。但文[23-24]的研究對(duì)象是質(zhì)心位于驅(qū)動(dòng)輪軸中點(diǎn)的已知系統(tǒng)。

本文對(duì)質(zhì)心位置不確定的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行了基于快速終端滑模的自適應(yīng)模糊路徑跟蹤控制研究。文中利用模糊系統(tǒng)逼近機(jī)器人系統(tǒng)中的未知函數(shù)來設(shè)計(jì)間接自適應(yīng)模糊控制器，設(shè)計(jì)魯棒控制器來對(duì)逼近誤差進(jìn)行補(bǔ)償。文中基于李亞普諾夫穩(wěn)定性分析方法為未知參數(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律，并證明了該方法不但可以保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)有界，而且可使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)的小鄰域內(nèi)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2 問題描述

本文所研究的移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中前方左右兩輪為驅(qū)動(dòng)輪，車體后方為無動(dòng)力的萬向輪，起到支撐平衡機(jī)器人的作用。

考慮實(shí)際情況中機(jī)器人帶有負(fù)載，其質(zhì)心一般并不在車體的幾何中心。圖1中假設(shè)機(jī)器人的質(zhì)心位于C點(diǎn)，P點(diǎn)為機(jī)器人兩個(gè)驅(qū)動(dòng)前輪的軸線的中點(diǎn)，P點(diǎn)到C點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)（當(dāng)質(zhì)心位于兩輪軸的前半部時(shí)L為正，否則為負(fù)），直線CP與機(jī)器人車體的中軸線的夾角為γ。u1為機(jī)器人前進(jìn)方向上的線速度，u2為機(jī)器人轉(zhuǎn)向的角速度。設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1，x2，x3)，其中x1、x2分別為橫縱坐標(biāo)，x3為機(jī)器人車體中軸線和X1軸的夾角。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為 (x′1，x′2，x′3)，則P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

又P點(diǎn)與C點(diǎn)(x1，x2，x3)的位置關(guān)系如下：

對(duì)式（2）求導(dǎo)，并將式（1）代入得到：

圖1 輪式移動(dòng)機(jī)器人

其中˙˙，分別為C點(diǎn)的速度分量，上式即為機(jī)器人以C點(diǎn)為參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

根據(jù)路徑跟蹤問題的提法[5]，本文的控制目的為：對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為式（3）的機(jī)器人，給定光滑的幾何路徑f(x1，x2)=0 ，定義跟蹤誤差z=f(x1，x2)，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)L與γ未知時(shí)，在反饋控制律u(x1，x2，x3)的作用下，使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)沿期望的幾何路徑運(yùn)動(dòng)，即對(duì)于一個(gè)任意給定的小正數(shù)?，存在時(shí)間t1，當(dāng)t＞t1時(shí)，使得跟蹤誤差z=f( )x1(t)，x2(t) ＜?。

本文假設(shè)機(jī)器人以期望的線速度u1運(yùn)行，角速度u2作為控制輸入。對(duì)跟蹤誤差z求導(dǎo)得：

將式（3）代入式（4）得：

令x=[x1，x2，x3]T，并設(shè)：

并記u2=u，則式（5）可寫為：

由系統(tǒng)的可控性知，g(x)≠0，本文不妨假設(shè)g(x)＞0，并作如下假設(shè)：

假設(shè)1存在常數(shù)g0＞0，使得g(x)＞g0＞0。

對(duì)圖1所示的機(jī)器人系統(tǒng)，如果質(zhì)心C的準(zhǔn)確位置已知，即L以及γ均已知，則此時(shí)設(shè)計(jì)控制律：

其中k＞0。將式（7）代入到式（6）得誤差方程：

顯然跟蹤誤差z必將漸近收斂到零。

但在實(shí)際運(yùn)行時(shí)，由于負(fù)載的影響，質(zhì)心C的準(zhǔn)確位置無法得知，從而使得L和γ未知，即式（7）中的g(x)未知，因此控制律（7）無法實(shí)現(xiàn)，而且式（7）不能實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)本文的控制目的，即在有限時(shí)間內(nèi)使含不確定性的機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤，本文采用基于終端滑模的自適應(yīng)模糊控制方法。

引理1[19]假設(shè)存在連續(xù)函數(shù)V(t)＞0滿足如下不等式：

則V(t)將在有限時(shí)間ts收斂到平衡點(diǎn)，其中

以上α＞0，β＞0，p和q為奇數(shù)，且q＜p。

3 基于終端滑模的模糊自適應(yīng)路徑跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

為了能使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，設(shè)計(jì)滑模面為：

其中α＞0，β＞0，p和q皆是正奇數(shù)，且q＜p，為表示方便，文中令γ=q/p。

此時(shí)將控制律u設(shè)計(jì)為：

將式（9）代入式（6）得到：

跟據(jù)引理1，z將在有限時(shí)間內(nèi)收斂。但由于式（6）中g(shù)(x)是未知的，因此控制律（9）無法實(shí)現(xiàn)，本文使用模糊邏輯系統(tǒng)的萬能逼近性來逼近非線性函數(shù)g(x)，其模糊邏輯系統(tǒng)的模糊規(guī)則庫(kù)為如下形式：

其中(i=1，2，…，n)和Gl均為模糊集合，隸屬函數(shù)分別為(xi)和(y)，且皆為高斯型，M為模糊規(guī)則數(shù)。x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn為模糊系統(tǒng)的輸入向量，y∈R為輸出變量。采用單值模糊產(chǎn)生器、乘積推理規(guī)則和中心平均模糊消除器。于是模糊系統(tǒng)的輸出就可以表示成如下形式：

其中θ=[θ1，θ2，…，θM]T為自適應(yīng)變量向量，θl=為取最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψM(x)]T為模糊基函數(shù)向量，其中

由于模糊系統(tǒng)的逼近誤差總是存在的，為對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，設(shè)計(jì)控制律如下：

其中魯棒控制uc后面來設(shè)計(jì)。

將式（12）代入式（6），可得

定義自適應(yīng)向量最優(yōu)參數(shù)為：

其中集合Ωg為自適應(yīng)參數(shù)θ的容許集，集合Dx為模糊系統(tǒng)的輸入變量的定義域。

其中η＞0，λ＞0，μ＞0，h＞0。

定理對(duì)形如式（6）的機(jī)器人系統(tǒng)，采用自適應(yīng)模糊控制律式（12），未知參數(shù)自適應(yīng)律為式（16）～（19），則

（1）閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)都有界。

其中w，V′，α′，β′的定義見定理證明。

證明（1）選取李亞普諾夫函數(shù)：

對(duì)上式求導(dǎo)得：

用z左乘式（14）得

將式（22）代入式（21）得到

將自適應(yīng)律式（16）代入式（23），又因?yàn)?|ω|≤ρ*，所以

將式（15）代入式（24）得

由假設(shè)1知g(x)≥g0＞0，則式（25）改寫為：

由于

于是將式（27）代入式（26）得到

再將自適應(yīng)律式（17）～（19）代入式（28），得到

所以閉環(huán)系統(tǒng)中的所有變量z，θg，，，ζ都有界。又由式（11）和式（15）可知等效控制律ueq和魯棒控制律uc都有界，所以u(píng)有界。

（2）因?yàn)?|ω|≤ρ*，由式（22）得：

式（30）可寫為如下形式：

若選擇適當(dāng)?shù)摩?，使得?w|z|-1＞α0＞0，則對(duì)于式（33）有

記α′=2α0，β′=22β，則式（34）可寫為：

4 仿真

以下對(duì)本文提出的控制方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。控制目的是使機(jī)器人在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望路徑跟蹤誤差，此時(shí)

則有

假設(shè)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（3）中，L=0.3，γ=π/6，機(jī)器人的初始位姿為 (0.4，0.2，π/8)，線速度u1=1。參數(shù)(0)初始值的每個(gè)分量在區(qū)間[-1，1]內(nèi)隨機(jī)選取，(0)=0.1，(0)=0.1，ζ(0)=0.1，自適應(yīng)律中的參數(shù)選擇為：η=3.8，λ=1.5，μ=0.6，h=0.1?？刂坡芍械膮?shù)ε=0.1。

圖2和圖3分別為線性滑模和本文提出的基于快速終端滑模的自適應(yīng)模糊路徑跟蹤控制作用下機(jī)器人對(duì)半徑R=1圓形路徑的跟蹤效果，可以看出在本文提出控制律作用下，機(jī)器人明顯更加快速地實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤。

圖2 線性滑?？刂坡勺饔孟聶C(jī)器人跟蹤路徑

圖3 本文提出的控制律作用下機(jī)器人跟蹤路徑

圖4為兩種控制律的作用下機(jī)器人路徑跟蹤誤差的比較，在有限時(shí)間ts=8.67 s后，跟蹤誤差z已經(jīng)收斂到一個(gè)小鄰域|z|≤1×10-2內(nèi)，收斂效果明顯優(yōu)于線性滑?？刂?，從而驗(yàn)證了本文提出方法使得機(jī)器人跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

圖4 兩種控制方法下誤差曲線

圖5為本文所設(shè)計(jì)的控制律u的曲線，可以看出控制信號(hào)是有界的。

圖5 控制輸入曲線

5 結(jié)論

本文研究了質(zhì)心位置不確定的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的路徑跟蹤問題，為含有不確定性的機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于快速終端滑?？刂频淖赃m應(yīng)模糊路徑跟蹤控制方法。文中利用模糊系統(tǒng)逼近機(jī)器人系統(tǒng)中的未知函數(shù)來設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊控制器，設(shè)計(jì)魯棒控制器來對(duì)逼近誤差進(jìn)行補(bǔ)償。文中基于李亞普諾夫穩(wěn)定性分析方法為未知參數(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律，并證明了該方法不但可以保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)有界，而且可使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)的小鄰域內(nèi)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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