馬 超，蔡 軍，楊 飛，崔 彬

MA Chao,CAI Jun,YANG Fei,CUI Bin

國電南瑞科技股份有限公司，南京210061

Nari Technology Development Limited Company,Nanjing 210061,China

1 引言

粒子群算法（PSO）的基本思想是模擬鳥類的群體行為，鳥類在搜索食物過程中，首先記錄每個個體在搜索食物過程找到的最好位置，稱之為“局部最優(yōu)”，其次記錄所有成員找到的最好位置，稱為“全局最優(yōu)”。每一只鳥都會依據這兩個變量為軌跡來搜索最佳位置。粒子群算法具有原理簡單，收斂效率高，收斂精度高等優(yōu)點，但前期易陷入局部最優(yōu)解等缺點。遺傳算法（GA）的基本思想是模擬生物遺傳進化過程，是一種進化算法，采用選擇、交叉和變異等遺傳算子，有很強的全局搜索能力，具有簡單、通用、魯棒性強等優(yōu)點，但算法效率及精度有待提高，特別是后期易陷入局部最優(yōu)解。目前，智能優(yōu)化算法已廣泛應用在系統(tǒng)控制、計算機工程、人工智能和管理工程等工程領域。針對具有非線性、多極值、大規(guī)模、強約束等特點的工程問題，尋求一種適應性強，具有通用作用的智能交互算法已成為有關學科的主要研究目標和方向。

散熱器基板簡稱散熱基板，常用材料有鋼、鋁、銅等，常用于電力系統(tǒng)IGBT、GTO 等功率元件的熱交換場合。功率元件的散熱能力受貼裝工藝、散熱器和冷卻方式等因素影響，而研究表明，材料的表面質量會對材料的導熱性產生一定影響，比如隨著表面粗糙度增大，材料的導熱率下降[1]；隨著表面殘余應力增大，材料的導熱率下降[2]。因此，散熱基板的表面質量對功率元件的散熱有很大影響。散熱基板工藝參數主要包括：切削速度、進給量和切削深度，該三要素直接影響產品質量和企業(yè)效益。

當前對于材料加工的工藝參數優(yōu)化的方法有多種，根據文獻[3]所述，綜合機械動力學理論和智能優(yōu)化算法在工藝參數優(yōu)化領域有很明顯的優(yōu)勢，本文首先是提出一種用于求解非線性、多極值、多維度的智能優(yōu)化算法，然后給出上述工藝參數優(yōu)化理論應用于散熱基板銑削優(yōu)化的工程實例。

2 粒子群和遺傳交互學習算法

在粒子群算法中，群體由個粒子構成，也即種群規(guī)模。設zi=(zi1，zi2，…，ziD)，zi為第i個粒子的D維位置矢量，根據適應度函數計算每個粒子的適應值，比較每個粒子所處位置的優(yōu)劣；vi=(vi1，vi2，…，viD)為第i個粒子的飛行速度；pi=(pi1，pi2，…，piD)為單個粒子搜索的最優(yōu)位置；pg=(pg1，pg2，…，pgD)為整個群體搜索的最優(yōu)位置。在更換搜索位置時，粒子根據式（1）和（2）更新速度和位置：

其中，w為慣性權重，j是迭代次數，r1，r2為概率隨機數。式（1）第二項是粒子對自身經驗學習的認識，第三項是粒子間的協(xié)作經驗學習。粒子通過公式（1）、（2）來更新自身的速度和位置尋找最優(yōu)解。

粒子群算法是一種基于自身學習和社會學習的智能進化算法，其優(yōu)點：群體搜索并基于經驗學習，具有記憶能力；通用性強，不依賴于問題信息；搜索效率高，原理簡單，便于實現。當然還有一些缺點，如：粒子全局學習能力弱，容易陷入局部最優(yōu)解；算法性能對參數具有一定依賴性；缺乏具體的理論指導等。針對上述缺點，不同學者都對基本PSO 算法提出改進，主要類別有：基于位置和速度更新策略[4-6]的改進；基于多種群的策略[7-8]的改進；基于拓撲策略[9-10]的改進；基于混合粒子群和其他算法[11-14]的改進；基于生物行為策略[15-17]的改進。

針對PSO 算法的不足，本文提出一種基于粒子群和遺傳算法的交互學習的搜索算法，算法屬于所述混合策略中的一種。綜合遺傳算法和粒子群算，并采用交互學習的搜索策略，在搜索最優(yōu)解過程中避免算法過早陷入局部極值點，從而獲得全局最優(yōu)解，命名為Integrated PSO and GA，簡稱“IPGA”。

2.1 基本思想

PSO 和GA 都屬于搜索算法，PSO 側重于比較過程搜索，GA 側重于自然尋優(yōu)搜索，因此，PSO 在搜索時間上有優(yōu)勢，而GA 在搜索解上有優(yōu)勢，因此，本文提出一種采用PSO 和GA 的混合搜索架構，利用各自優(yōu)勢進行尋優(yōu)的混合算法思想。在粒子搜索最優(yōu)位置過程中，同時探索是否有更好的位置，這一隨機探索過程將大大增加優(yōu)良粒子的機會，并獲取較優(yōu)的解。從原理可以看出，PSO 和GA 進行共同進化、尋優(yōu)和相互學習，基本示意圖可看圖1。

圖1 PSO 算法基本思想

2.2 IPGA 參數分析

為了滿足算法的動態(tài)搜索性，PSO 中的參數如w，c1，c2等要具有一定的動態(tài)特性以滿足種群特性，本文采用動態(tài)遞減非線性慣性權重[18]，即：

式（3）中，k，wmax，wmin，j，jmax分別是控制因子，最大權重值，最小權重值，當前迭代次數，最大迭代次數。本文采用非對稱線性變化學習因子策略：

式中，c1s，c2s表示c1和c2的迭代初值，c1e，c2e表示c1和c2的迭代終值。

算法中采用的遺傳算子有選擇、交叉和變異。為了使粒子在搜索過程中找到更多的優(yōu)良粒子，并且不過分破壞已獲取較優(yōu)粒子的優(yōu)良性，故在采用遺傳算子過程中，采用以下兩種措施：

（1）使用順序選擇的方法[19]，設置給粒子的選擇概率，并且把最好的粒子賦予最大的選擇概率，這樣一定概率選擇的父代和隨機選擇的母代經過交叉變異[20]后將產生一定的隨機粒子（式（6）），便于得到較優(yōu)良的粒子。

式（6）（7）中，p表示（0，1）間的隨機數。

（2）粒子群體的聚集程度進行分析[21]，當粒子的聚集達到一定程度時，采用高斯變異措施使粒子強制分散。設個體i的適應度為Fi，當前種群的平均適應度為Favg，適應度方差σ2：

式（8）中N為種群總數，F為歸一化因子，限制σ2的大小，F由式（9）獲得：

σ值小于一定值時，認為算法進入后期搜索，將容易出現早熟收斂現象，可以采用式（10）進行變異處理：

式（10）中，pb(i)為第i個粒子目前為止的最好位置，μ是服從（0，1）正態(tài)分布的隨機向量。當種群的適應度方差小于給定的集聚閥值C時，說明粒子過于聚集，為了避免變異對粒子解的優(yōu)良性產生破壞，對部分粒子采用高斯變異。粒子變異概率為q。實驗發(fā)現當C，q的取值分別在（5，10）和（0.2，0.4）范圍內算法表現較好。

2.3 IPGA 算法流程圖及過程分析

通過對上述講解，下面給出本文算法的流程圖和實現步驟。

圖2 IPGA 算法流程圖

IPGA 算法實現步驟：

步驟1確定算法中的參數值，如變異概率、種群規(guī)模、慣性權重、學習因子、粒子維度和選擇概率等。

步驟2根據初始搜索區(qū)間，隨機初始化粒子速度和位置。

步驟3計算粒子的適應度值，并確定最優(yōu)粒子的個體極值Pb和全局極值Pg。

步驟4增加粒子迭代次數，并判別迭代代數是偶數還是奇數。

步驟4.1偶數代時把粒子用遺傳算子進行位置和速度更新。

步驟4.2奇數代時用粒子群進行速度和位置的更新。

步驟5計算粒子的聚集層度，對一定數量的粒子采用變異處理。

步驟6再次判別評價函數，確定粒子的個體和全局極值。

步驟7判定迭代次數是否滿足要求，是則轉向步驟8，否則轉向步驟4。

步驟8輸出最優(yōu)粒子的全局最優(yōu)位置和最優(yōu)解。

3 數值實驗與分析

為了體現本文算法在優(yōu)化問題方面的求解性能，選取了一些常用的優(yōu)化函數[20]進行對比測試。針對10維函數，采用的測試函數有：f1～f15（依次表示Sphere、Schwefel2.22、Schwefel1.2、Schwefel2.21、Rosenbrock、Rastrigin、Ackley、Griewank、Branin、GoldPrice、Hartman1、Hartman2、Shekel-Fam1、ShekelFam2、ShekelFam3、Schwefel2.26，下文用函數序號代表函數名稱）。對比分析中，f1～f8的數據來源參考文獻[21]；f9～f15的數據來源參考文獻[22]。本次對比過程中算法采用的參數：

最大迭代次數：jmax=1 000；種群大?。篘=40；權重w的最大最小值是：c1和c2的開始和終止值分別是（2，1）和（1.5，2.75）；0.9 和0.4；控制因子k取3.0；變異閥值和變異概率C，pm取值10 和0.25；運行次數30 次。

3.1 收斂精度和算法執(zhí)行能力分析

基于考慮數據來源于不同參考文獻，分析方法有所差別，因此表1 采用求出平均最優(yōu)值結果的對比分析方法；表2 采用獨立運行100 次，求出其成功運行的次數和誤差[23]分析方法，本文表中黑正體表示較優(yōu)解。

表1 不同算法結果性能對比分析（10 維）

表1 中Vave表示多次測試后，算法獲取偏離最優(yōu)解的平均誤差，表2 中Psuc表示成功收斂的次數，從表1 的平均函數值以及表2 的成功搜索率和與最優(yōu)值偏差可分析得知，IPGA 算法對各測試函數表現出較優(yōu)的精度。采用的測試函數中f1～f5是單峰函數。f1可以測試算法的尋優(yōu)精度，f5用來測試算法的執(zhí)行能力；f6～f8是高維多峰函數，可以測試算法對復雜問題的求解能力；f9～f15低維多峰函數，用來檢驗算法的適應性。經過對比分析，IPGA 在多種復雜度問題有很高的計算精度和普遍適用性。

表2 不同算法結果性能對比分析

表3 10 維度問題的數值實驗結果

表4 30 維度問題的數值實驗結果

根據不同測試函數具有的功能，采用f5～f8來檢測IPGA 對于復雜問題的求解能力，并與不同算法進行對比分析。引用文獻[24-27]的實驗結果進行對比分析，采用誤差平均值和標準方差（獨立運行30 次）的大小進行評定。上述函數實驗結果具體見表3 和表4，可以看出在10 維和30 維的測試函數上，IPGA 都表現出廣泛的適應性和求解能力。

3.2 算法收斂速度分析

為進一步說明IPGA 在收斂效率方面的優(yōu)越性。本文結合仿真圖表給出IPGA 與本文所引用比較有優(yōu)勢的AMQPSO 和DE/BBO 算法在求解高維復雜函數f6和f8（30 維）過程中搜索對比圖。

由圖3 和圖4 可知，IPGA 算法在處理高維多局部最優(yōu)點問題時依然具有很高的搜索效率，前30 次迭代就表現出很強的收斂性，IPGA 普遍迭代100～250 次就可以找到最終的收斂位置。在IPGA 的速度和效率方面，設置j=300，采用平均成功運行時間At的評價方法，并根據文獻的數據[31]對f9～f15進行收斂效率上的對比。由于文獻[22]中的GA-PSO 較CGA 和CHA 在精度和收斂性方面好，下面僅對GA-PSO 作對比，對比效果見表5?？芍?，IPGA 在收斂效率上占有很大優(yōu)勢。

圖3 f6 函數（Griewank30 維）收斂圖

圖4 f8 函數（Rastrigin30 維）收斂圖

表5 算法收斂時間

4 建立銑削參數優(yōu)化模型

銑削用量三要素是指銑削速度、進給量、切削深度，散熱基板銑削參數即優(yōu)化模型設計變量是：銑削速度v、每齒進給量fz和銑削深度ap。散熱基板的加工是以降低加工工時tw[28]和加工成本Cp[29]，以提高加工質量Ra[30]和加工穩(wěn)定性St[31]為優(yōu)化目標，同時要滿足機床的功率Pmax、銑削進給力FHmax和銑削扭矩Mmax約束，以及銑削加工過程中刀具所能承受的最大銑削速度v、每齒進給量fz和銑削深度ap等約束條件。其中：

式（12）中參數見文獻[29]，加工質量是機床加工精度的重要評價指標之一，工程上采用輪廓算術平均偏差Ra作為加工表面粗糙度的重要衡量指標[32]。根據文獻[32]的機械動力學理論，把銑削加工過程簡化為單自由振動過程，利用振動力學理論，有如下數學模型：

式（13）中，x(t)為銑削刀刃與工件之間在銑削表面法線方向上的相對運動軌跡，此運動軌跡形成了散熱基板的表面輪廓。式（13）中需要實驗來獲取銑削機床的特性參數：固有頻率wn，剛度系數k，阻尼比ξ，銑削特性ks。

切削穩(wěn)定性分析預測目的是提高材料去除率和獲得高的加工質量。切削過程越穩(wěn)定，表面質量一般越好，在穩(wěn)定銑削的前提下，材料去除率越高越好，即轉速n=1 000v/πd0與對應的穩(wěn)定切削軸向深度極限值aplim的乘積越大越好。用不同加工過程中的最大主軸轉速附近區(qū)域是否處在穩(wěn)定區(qū)以及穩(wěn)定區(qū)域最大即St的大小來評價機床切削過程的穩(wěn)定性[31]。

式（11）至式（17）中，參數含義見文獻[28，31-32]及手冊[33]。相關參數可以通過實驗、手冊及生產經驗獲得。

m=0.15，pv=0.1，uv=0.5，yv=0.4，xv=0.1,qv=0.2，Cv=25Kv=1.0

CF=30,xF=1.0,yF=0.65,uF=0.83,wF=0,qF=0.83,

kFc=0.4，d0=315 mm，Z=10，Ct=3 000元，tot=2 min，tct=2 min，Hc=5 元/min，D=349.98，μ=0.423，

wn=447，k=1.1×108，ξ=0.027，ks=2331 N/mm2，L=273 mm

在粒子群和遺傳相互學習算法中，每一個進化個體z=(v，fz，ap) 的 搜 索 范 圍：160 m/min ≤v≤300 m/min，0.1 mm/z≤fz≤0.28 mm/z，0 ＜ap≤4 mm。IPGA 中 的參數 設 置：N=20，j=100，0.9 ≥w≥0.4，2.5 ≥c1≥1.0，1.5 ≤c2≤2.75，p=0.5，q=0.25，C=5。

根據優(yōu)化模型中的需要，本實例中采用個體粒子與最優(yōu)粒子之間的間距作為目標評價函數：

式（21）中，tw0、Cp0、Ra0、St0分別表示加工工時、加工成本、表面質量、加工穩(wěn)定性各自最優(yōu)時的目標函數值。w1、w2、w3、w4 表示每一目標函數的權重值。優(yōu)化結果見表6，表中單目標優(yōu)化是只考慮單個目標函數時的優(yōu)化結果，多目標優(yōu)化是同時考慮每一個優(yōu)化目標函數的結果，散熱基板表面要有很高的加工質量，所以表面粗糙度和加工穩(wěn)定性在多目標優(yōu)化中應占有相當重的權重，表6 中只列出一種符合散熱基板加工的組合優(yōu)化結果。

表6 IPGA 算法求解銑削工藝參數優(yōu)化模型的結果

5 結語

本文從不同方面來闡述IPGA 算法的計算精度、執(zhí)行能力和效率。實驗證明，在IPGA 中通過引入遺傳算子，并通過交叉搜索交互學習的方法使粒子盡快搜索到最優(yōu)解的思路是正確的，該算法在克服粒子群算法易陷入局部最優(yōu)和遺傳算法收斂精度不高的缺點方面有明顯優(yōu)越性。比較適用于簡單問題的精度求解和復雜問題的普遍適用能力方面具有優(yōu)勢。在工程應用中，一般并不知道問題的復雜度，而采用IPGA 這樣在適用性較強的算法，求解工程問題是有優(yōu)勢的，通過實例也證明了算法在散熱基板銑削工藝參數優(yōu)化中的成功應用。

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