邱芳忠

（江西省信豐縣第七中學(xué)）

函數(shù)最值和值域的求法是高中數(shù)學(xué)函數(shù)的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是每年高考的熱點(diǎn).而三角函數(shù)最值和值域的求法比一般函數(shù)最值和值域的求法，其解題過程要更復(fù)雜，解題方法要更靈活，解題技巧要更多樣.本文就以簡單分式型正、余切三角函數(shù)為例，對(duì)其最值和值域的求法加以歸類并指出解題方法.

解法1：（“1”的代換與公式法的結(jié)合）

所以原函數(shù)的值域?yàn)閥∈｛y|y≠1｝.

點(diǎn)評(píng)：上面的解題過程，要注意“1”代換的內(nèi)容和兩角和與差正切公式的正確運(yùn)用。

解法2：（分離常數(shù)法）

從而原函數(shù)的值域?yàn)閥∈｛y|y≠1｝.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)分式型三角函數(shù)的分子和分母都一次式時(shí)，首先應(yīng)對(duì)其進(jìn)行常數(shù)分離，這樣問題就自然迎刃而解了.

解法1：（多次換元與二次函數(shù)配方的結(jié)合）

因?yàn)棣?22-4×1×2=-4＜0，所以u(píng)（t）＞0，從而y＞0.

綜上所述，原函數(shù)的值域?yàn)閥∈（0，2］.

點(diǎn)評(píng)：有些數(shù)學(xué)問題利用多次換元后，復(fù)雜的式子就變得簡單多了，要求解的問題立刻躍然紙上，這感覺猶如“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”.

解法2：（判別式法）

原函數(shù)可變?yōu)椋簓tan2x+2ytanx+2y-2=0（tanx∈R），

當(dāng)y=0 時(shí)，-2=0 顯然不成立，所以y≠0；

從而由△≥0 可得到：4y2-4y（2y-2）≥0，即y2-2y≤0，解得0≤y≤2.

因?yàn)閥≠0，所以0＜y≤2，從而得到原函數(shù)的值域?yàn)閥∈（0，2］.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用判別式法求分式型三角函數(shù)的值域時(shí)，首先要保證自變量取自身的范圍；其次去分母變形后所得到二次方程，要討論二次項(xiàng)系數(shù)為零與不為零的情況.

解：（等價(jià)轉(zhuǎn)化與換元、二次函數(shù)配方的結(jié)合）

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)所給的簡單分式型三角函數(shù)是齊次式的正、余弦函數(shù)時(shí)，習(xí)慣上把它轉(zhuǎn)化成分式型正切函數(shù)來求解問題.