【摘要】一線數(shù)學(xué)教師往往因?yàn)樽陨韺W(xué)術(shù)修養(yǎng)的不足和視野的局限性，致使數(shù)學(xué)本質(zhì)形式化、片面化乃至虛幻化缺失等現(xiàn)象的發(fā)生。要從微觀上正確理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵，需要我們樹立整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀念，準(zhǔn)確把握并合理地處理教材內(nèi)容，努力探尋數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性、數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)本質(zhì);缺失現(xiàn)象;微觀;數(shù)學(xué)規(guī)律;數(shù)學(xué)思想方法

【中圖分類號(hào)】G622.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）25-0023-03

【作者簡(jiǎn)介】彭永新，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué)（江蘇蘇州，215021），高級(jí)教師。

一、數(shù)學(xué)課堂數(shù)學(xué)本質(zhì)缺失的現(xiàn)象透視

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）開篇即指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)知識(shí)作為客觀事物在數(shù)與形方面的特征與聯(lián)系在人腦中的能動(dòng)反映，反映的是一類對(duì)象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，不僅表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、法則、公式等抽象的言語(yǔ)信息，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想方法等策略性知識(shí)。在實(shí)際教學(xué)中，一些教師往往只專注于浮于表面的教學(xué)內(nèi)容，而看不清楚教學(xué)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而不能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，甚至輕視數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)。下面選取幾個(gè)教學(xué)案例進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析：

1.數(shù)學(xué)本質(zhì)“形式化”。

【案例1】某教師教學(xué)蘇教版四上《線段、射線、直線之間的關(guān)系》，先出示一條線段，然后一邊擦端點(diǎn)一邊告訴學(xué)生：“擦掉線段的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了射線;再擦掉射線的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了直線。”

我們知道，線段是直線的一部分，它有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量，而直線和射線都是無限長(zhǎng)的，射線只有一個(gè)端點(diǎn)，而直線沒有端點(diǎn)。因此，“擦掉線段的一個(gè)端點(diǎn)”，而不作延長(zhǎng)的標(biāo)示，它依然是一條線段，因?yàn)椤安恋簟币粋€(gè)端點(diǎn)，必然會(huì)產(chǎn)生新的端點(diǎn)。同理，只“擦掉射線的一個(gè)端點(diǎn)”，它依然是一條射線。這位教師告訴學(xué)生“擦掉線段的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了射線;再擦掉射線的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了直線”，顯然是淺顯地理解了“習(xí)慣上教材有意識(shí)地把射線的一個(gè)端點(diǎn)或線段的兩個(gè)端點(diǎn)放大，使在線上隱形的、抽象的點(diǎn)顯性化、形象化”的真實(shí)用意。如此看來，“擦掉一個(gè)端點(diǎn)”，迎合的只是一種數(shù)學(xué)概念外在的“形似”，而忽略了直線和射線的本質(zhì)特點(diǎn)——“無限長(zhǎng)”。這樣的教學(xué)有可能會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解——“直線就是線段去掉兩個(gè)點(diǎn)，射線就是線段去掉一個(gè)點(diǎn)”，從而誤解直線、線段、射線的本質(zhì)屬性。

2.數(shù)學(xué)本質(zhì)“片面化”。

【案例2】教學(xué)蘇教版三上《倍的認(rèn)識(shí)》，一位教師出示下圖，●表示紅花，讓學(xué)生猜一猜：藍(lán)花可能有幾朵？紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？

有的學(xué)生說有2朵，有的說可能有3朵、4朵，也有的說可能有5朵或者8朵……

接著，教師請(qǐng)學(xué)生用○表示藍(lán)花，在練習(xí)紙上先畫一畫、圈一圈，看看紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍。數(shù)分鐘后，教師展示藍(lán)花分別有2朵、3朵、4朵和6朵這四種情況，并讓學(xué)生說出紅花的朵數(shù)分別是藍(lán)花的幾倍。

教師再問：藍(lán)花可以是5朵或者8朵嗎？

學(xué)生齊答：不可以。

為什么不可以呢？執(zhí)教者的解釋是二年級(jí)學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)僅限于整數(shù)范圍。其實(shí)，倍的本質(zhì)是“比”。兩個(gè)量之間不僅僅是整數(shù)倍的關(guān)系，也可以是比率關(guān)系，關(guān)鍵是確定比的標(biāo)準(zhǔn)。將被比量看作一個(gè)單位，通過比較量有幾個(gè)或幾分之幾個(gè)這樣的單位來確定兩者之間的倍比關(guān)系。比如：藍(lán)花有5朵，就把5朵看作一份，紅花有12朵，可以圈出2個(gè)5朵，還多2朵，我們就可以說紅花的朵數(shù)比藍(lán)花的2倍還多2朵。如果藍(lán)花是8朵，也可以把4朵看作一份，藍(lán)花有2份，紅花有這樣的3份，紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的二分之三。由此看來，學(xué)生出現(xiàn)的5朵、8朵的猜想，不僅不能被排除在對(duì)倍的認(rèn)識(shí)的討論之外，相反，它們是教學(xué)走向深刻的一個(gè)契機(jī)。

3.數(shù)學(xué)本質(zhì)“虛幻化”。

【案例3】一位教師執(zhí)教蘇教版五下《圓的周長(zhǎng)》一課，課前先引導(dǎo)學(xué)生觀看微課：通過電腦演示圓的周長(zhǎng)分別與它的外接正方形的周長(zhǎng)和內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)相比較，得出圓的周長(zhǎng)比它的直徑的三倍多一些，又比它的直徑的四倍小一些。

接著，教師讓學(xué)生分組用滾圓法或繞圓法開展測(cè)量活動(dòng)，并計(jì)算出圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值（要求保留兩位小數(shù)），巧合的是，學(xué)生測(cè)量的結(jié)果大多接近3.14。然后，教師讓學(xué)生交流前面微課學(xué)習(xí)的體會(huì)，引出古今中外關(guān)于圓周率的研究歷史，如“周三徑一”、祖沖之的歷史貢獻(xiàn)等。

本節(jié)課意圖通過微課的形式充分展示圓周率的歷史文化，而對(duì)操作測(cè)量活動(dòng)的安排一帶而過。筆者認(rèn)為，如果沒有測(cè)量法的實(shí)踐感受，學(xué)生很難會(huì)產(chǎn)生深刻的“文化”體驗(yàn)。這里不僅需要讓學(xué)生做真實(shí)的測(cè)量活動(dòng)，而且應(yīng)該讓學(xué)生從取一位小數(shù)到兩位小數(shù)再到三位小數(shù)甚至四位小數(shù)的近似值結(jié)果，使他們感受到用測(cè)量法求圓周率的誤差難以把握，在此基礎(chǔ)上，再借機(jī)探求古代數(shù)學(xué)家們計(jì)算圓周率的方法，這不僅僅是一種科學(xué)精神的教育，更重要的是一種數(shù)學(xué)思想的滲透過程。

二、數(shù)學(xué)課堂數(shù)學(xué)本質(zhì)缺失的對(duì)策探析

從上述三個(gè)案例的分析來看，一些教師在教學(xué)時(shí)之所以會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的偏差，一個(gè)重要的原因就是：他們不能從微觀出發(fā)來認(rèn)識(shí)、把握和處理數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。所謂微觀，即從小的方面、局部去研究，這種研究方法，叫作微觀方法。在微觀上，數(shù)學(xué)本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。對(duì)此，章建躍、張翼等人提出：數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔等特點(diǎn)上。這對(duì)我們的教學(xué)實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。下面筆者談幾點(diǎn)個(gè)人體會(huì)：

1.由表及里，用整體的觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性。

當(dāng)代教學(xué)論從三個(gè)層面對(duì)教材進(jìn)行了廣義的界定：首先，教材是兒童應(yīng)當(dāng)掌握的知識(shí)體系，包括事實(shí)、概念、法則、原理等;第二，教材是知識(shí)背后的能力體系，通過各種作業(yè)和活動(dòng)促進(jìn)兒童能力的發(fā)展;第三，教材還包括能力體系背后的價(jià)值觀、世界觀和倫理道德規(guī)范。這三個(gè)層面是統(tǒng)一而不可分割的。從這個(gè)意義上講，我們?cè)诮虒W(xué)前必須認(rèn)真研讀教材，深入理解教學(xué)內(nèi)容的前后聯(lián)系，把握住教學(xué)動(dòng)態(tài)發(fā)展的主脈絡(luò)，居高臨下看教材，這樣才能擺脫只依據(jù)例題、習(xí)題或照搬教師用書所帶來的局限和狹隘。

比如：大家一般都認(rèn)為“分?jǐn)?shù)的意義”就是課本上的一段話：“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)?！睂?duì)此，有人提出這只是分?jǐn)?shù)的一種定義，即份數(shù)定義。孫京紅、張丹等人在閱讀文獻(xiàn)、分析教材和實(shí)踐反思等的基礎(chǔ)上，提出從四個(gè)方面來完成對(duì)分?jǐn)?shù)意義豐富性的認(rèn)識(shí)，即比、測(cè)量、運(yùn)算和商。所謂比，就是指部分與整體的關(guān)系和兩個(gè)量之間的（比的）關(guān)系。“測(cè)量”指的是可以將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位累積的結(jié)果（即按照一定測(cè)量單位所測(cè)得的量）。例如： 里面有3個(gè) ，就是用分?jǐn)?shù) 作為單位度量3次的結(jié)果?！斑\(yùn)算”主要指的是將對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)運(yùn)算的過程?！吧獭敝饕侵阜?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果，它使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)由“過程”凝聚到“對(duì)象”，即分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)。這四個(gè)方面對(duì)于學(xué)生從多個(gè)角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義豐富性認(rèn)識(shí)的建構(gòu)。

這個(gè)例子說明，一些重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法、思想，或者說“核心知識(shí)”（數(shù)學(xué)本質(zhì)），學(xué)生需要經(jīng)歷一個(gè)整體的建構(gòu)過程，才能逐步感悟、理解和掌握。

2.由此及彼，用聯(lián)系的觀點(diǎn)豐富數(shù)學(xué)概念的意義世界。

新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，它提出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，使他們有更多的機(jī)會(huì)從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用。

教學(xué)蘇教版六上《認(rèn)識(shí)比》一課，筆者大膽改編教材例題，呈現(xiàn)三張長(zhǎng)寬比不同的學(xué)校圖片。在學(xué)生分析最美圖片的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系后，呈現(xiàn)兩張放大后的圖片：其中一張為按“倍數(shù)關(guān)系”放大的圖片，另一張為按“相差關(guān)系”放大的圖片。然后組織學(xué)生觀察比較：為什么按“倍數(shù)關(guān)系”放大就不變形，而按“相差關(guān)系”放大會(huì)變形呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的屬性：按“相差關(guān)系”放大會(huì)改變圖形的比例關(guān)系。這樣，通過觀察、比較上述圖形和原圖形，學(xué)生深刻感悟到按“相差關(guān)系”放大圖形不合適，“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)自然就凸顯出來了。

數(shù)學(xué)之間總存在著千絲萬縷的聯(lián)系。新課標(biāo)指出：幫助學(xué)生理解類似的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。這就要求我們：在教學(xué)中，要善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生溝通知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，不斷豐富他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的理解。

3.由近及遠(yuǎn)，用發(fā)展的觀點(diǎn)探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的源與流

學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象、內(nèi)化過程中，必然會(huì)出現(xiàn)一系列的“是什么”“為什么”“怎么做”的疑難困惑。這就需要我們對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，一層一層地追問：隱藏在客觀事物背后的規(guī)律是什么？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么？用辨析的眼光來了解和分析數(shù)學(xué)本質(zhì)的源和流，構(gòu)建活的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

比如：教學(xué)蘇教版五下《解決問題的策略：轉(zhuǎn)化》，讓學(xué)生解決這樣一道計(jì)算題： + + + 的和是多少？如果把這個(gè)加法過程一直繼續(xù)下去，結(jié)果又會(huì)是多少？很多學(xué)生愣住了。有人猜測(cè)會(huì)不會(huì)是1，有人卻表示懷疑：不可能，因?yàn)椴还苣惆讯嗌倨钸M(jìn)正方形里，總有一小塊是空的，總是填不滿的。

對(duì)于怎樣解決這個(gè)問題，學(xué)生爭(zhēng)論得很厲害。筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，曾經(jīng)也遇到過類似的問題，還記得當(dāng)時(shí)把圓分割成8等份和16等份后，大家就不愿意繼續(xù)分下去了，是什么原因嗎？”學(xué)生恍然大悟：圓如果等分越來越多的份數(shù)后，就能拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。這里如果也一直這樣加下去，它們的和一定會(huì)接近1。這不就是數(shù)學(xué)的極限思想嗎？極限思想正是解決這一計(jì)算問題的本源所在。

這里，學(xué)生雖然沒有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明（暫時(shí)也不需要），但他們經(jīng)歷了一種體驗(yàn)性的和探索性的過程，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更重要的是，他們?cè)诮鉀Q問題的過程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思想的洗禮，不僅有轉(zhuǎn)化思想，還有遷移思想、極限思想……他們覺得數(shù)學(xué)不再是機(jī)械枯燥的，而是神奇有趣的。

綜上所述，教師要實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和把握，應(yīng)該樹立整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)，深入分析教材細(xì)節(jié)，努力豐富數(shù)學(xué)意義，不斷探尋數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性、數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考和問題解決能力以及情感態(tài)度的和諧發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]章建躍，張翼.對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的若干認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（6）：3-5.

[3]孫京紅，張丹，李紅云.分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的整體設(shè)計(jì)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（5）：11-14.

[4]魏光明.長(zhǎng)程設(shè)計(jì)：關(guān)注階段性和一致性[J].江蘇教育（小學(xué)教學(xué)版），2014（5）：57-58.

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。