【摘要】青年教師基本功競賽中一道關(guān)于“分?jǐn)?shù)”判斷題的答題情況引發(fā)了廣泛思考：形式上的不平均分，為什么會對分?jǐn)?shù)概念的形成產(chǎn)生影響？通過科學(xué)選取三至六年級部分學(xué)生為樣本，采用書面測試和訪談的形式，探究學(xué)生對于“平均分”理解上的偏差，并分析產(chǎn)生這種偏差的原因，其中學(xué)材的影響是關(guān)鍵因素，進(jìn)而提出防止和糾正這種偏差的策略措施，概念教學(xué)需要完善概念意象，才能促進(jìn)學(xué)生掌握概念本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué);分?jǐn)?shù);學(xué)材;概念意象

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）41-0036-03

【作者簡介】張所濱，江蘇省泰州市教育局教研室（江蘇泰州，225300），高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

一、緣起

一次青年教師基本功競賽中，有這樣一道判斷題：下圖因為不是平均分，所以陰影部分不能用 表示。（ "）

部分參加測試的教師打“√”，理由是圖形沒有平均分，陰影部分不能用分?jǐn)?shù)表示。教師對分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)尚且存在模糊認(rèn)識，那么學(xué)生的認(rèn)識情況又如何呢？

帶著這樣的疑問，筆者用同樣的題目，對隨機(jī)選擇的一所學(xué)校三至六年級各兩個班學(xué)生進(jìn)行了測試，測試結(jié)果如下：

從表中數(shù)據(jù)可以看出，三、四年級學(xué)生的正確率較低，五、六年級學(xué)生的正確率均超過了50%。

二、追問

這一現(xiàn)象引起了筆者的思考，為什么三、四年級與五、六年級測試的結(jié)果差異較大？其核心影響因子是什么？

在訪談時，五、六年級答對的學(xué)生陳述了三種理由，第一種，用等分法（如圖1）;第二類，用割補(bǔ)法（如圖2）;第三類，拼接法（如圖3）。

（圖1） " " "（圖2） " " "（圖3）

從這里，我們不難發(fā)現(xiàn)，五、六年級學(xué)生由于有了多邊形面積的知識基礎(chǔ)，從而想到了如圖2、圖3的方法來解答，而三、四年級學(xué)生還沒有這樣的知識基礎(chǔ)，只有少數(shù)學(xué)生是通過圖1的方法獲得結(jié)果。

其實，用分?jǐn)?shù)表示陰影部分，實際上就是用一個數(shù)來表示陰影部分與整個圖形面積之間的關(guān)系，而與所分圖形的具體形狀無直接關(guān)系。

但是，為什么很多學(xué)生、甚至教師對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識容易受到直觀圖形的影響，而出現(xiàn)認(rèn)識偏差呢？帶著這樣的思考，筆者對三、四年級學(xué)生又進(jìn)行了一項測試：下面哪些圖形中的涂色部分表示的是 ？

（圖4） " " （圖5） " "（圖6） " "（圖7）

前三個圖形學(xué)生的判斷結(jié)果高度一致，但對圖形7的意見出現(xiàn)了很大分歧。

師：請認(rèn)為可以用 表示的同學(xué)說說理由。

生：平行四邊形被平均分成了4份。

此時，有學(xué)生說這不是平均分。

師：為什么你認(rèn)為不是平均分？

生：兩個三角形的形狀不一樣。

顯然，這些學(xué)生對于形狀不同的兩個三角形是否一樣大不能確定。筆者為了讓學(xué)生看得更清楚，指著圖引導(dǎo)學(xué)生。

師：平行四邊形被平均分成了幾個小平行四邊形？

生：兩個。

師：左邊平行四邊形被平均分成了幾份？

生：兩份。

師：右邊平行四邊形被平均分成了幾份？

生：兩份。

師：那整個平行四邊形被平均分成了幾份？

生：4份。

師：陰影部分是不是 ？

…………

在剛才的對話過程中，學(xué)生的思維清晰地顯示出來，他們認(rèn)為只有分得的每個部分形狀一樣才能叫平均分。而對于筆者的引導(dǎo)，顯然理解起來有一定的難度。

筆者研究了幾種不同版本的教材，對“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容編排進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)每個版本的教材在初次認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，提供的圖形都是平均分成形狀相同、大小相等。同時，教師教學(xué)過程中提供給學(xué)生的自然也是分成形狀相同、大小相等的圖形，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)的感官刺激，自然就會產(chǎn)生這樣的認(rèn)知偏差。

三、重建

基于上述分析，筆者以三年級學(xué)生為研究對象，在沒有相關(guān)面積知識基礎(chǔ)的情況下，嘗試通過完善概念的意象，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識與理解圖形的平均分，來理解“分?jǐn)?shù)”概念的本質(zhì)。

首先引導(dǎo)學(xué)生折出一張長方形紙的 ，并進(jìn)行比較（如圖8～圖10）。盡管分法不一樣，但只要平均分成兩份，每份都可以用 來表示，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的意義就會有更為深刻的理解。

（圖8） " " （圖9） " "（圖10）

在找到共同點后，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生比較圖8～圖10中的陰影部分，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有什么不同點。經(jīng)過比較學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在圖8～圖10中，雖然分法不一樣，所得的每一份形狀也不一樣，但都是平均分，因此陰影部分都是長方形紙的 。找共同點是為了更好地抽象概括，找不同點是為了更好地把握概念的本質(zhì)。

經(jīng)過這一比較后，筆者請學(xué)生對圖7重新作出判斷。經(jīng)過討論，學(xué)生先畫出圖11并這樣解釋，將平行四邊形平均分成兩份，得到兩個小的平行四邊形，再將每個小的平行四邊形平均分成兩份（如圖12），這樣就將整個圖形平均分成了四份，因此，陰影部分可以用 來表示。在圖13中，兩個小的平行四邊形也都平均分成了兩份，只是分法不同，這樣也是將整個圖形平均分成了4份，因此，圖13（即圖7）中陰影部分也可用 來表示。

（圖11） " "（圖12） " "（圖13）

這樣，學(xué)生經(jīng)歷了長方形紙的 、平行四邊形的 的探索過程，豐富了分?jǐn)?shù)概念的意象，在充分感知的基礎(chǔ)上明晰了圖形“平均分”的內(nèi)涵。

在進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，筆者安排了這樣一道習(xí)題：

多數(shù)學(xué)生這樣表示 ：

有一個學(xué)生這樣表示：

盡管該生結(jié)合分?jǐn)?shù)概念講出了理由，但還是有部分學(xué)生無法理解，認(rèn)為這不是平均分。

經(jīng)過仔細(xì)研究教材，我們發(fā)現(xiàn)這里教材安排的習(xí)題與例題有以下的共同點：1.在表示平均分時，總是從左往右或從上往下進(jìn)行平均分;2.在用分?jǐn)?shù)表示時，總是表示左面的部分或上面的部分，也就是按順序表示。

編者為什么如此編排？這樣編排到底給學(xué)生怎樣的心理暗示？造成怎樣的認(rèn)知影響？

筆者做了個實驗，在做完教材上的習(xí)題1后，呈現(xiàn)圖14，讓學(xué)生說一說能用分?jǐn)?shù)表示嗎？如果可以，用怎樣的分?jǐn)?shù)來表示？

（圖14）

不出意料，許多學(xué)生都認(rèn)為這不可以用分?jǐn)?shù)來表示，他們認(rèn)為沒有平均分怎么能用分?jǐn)?shù)表示呢？筆者動畫演示，將右側(cè)豎著的三個小正方體旋轉(zhuǎn)平放在最上面，變成圖15。

（圖15）

學(xué)生看到此圖后立刻明白，可以用 來表示，因為將這些小正方體平均分成了兩部分。筆者追問，涂色的個數(shù)與未涂色的個數(shù)有沒有變化？學(xué)生回答，沒有變化。再次追問，為什么現(xiàn)在可以用 表示？有學(xué)生回答，現(xiàn)在平均分成了兩份，因為涂色的個數(shù)與未涂色的個數(shù)相等，各占兩排，也就是平均分成了兩份。進(jìn)一步追問，既然涂色的與未涂色的沒有變化，并且個數(shù)相等，那原題中涂色的小正方體能用 表示嗎？此時，筆者出示這樣一道習(xí)題：有12根小棒，你能拿出其中的 嗎？學(xué)生回答拿出 的過程與方法：先將12根小棒平均分成2份，取出其中的1份，也就是取出6根。多數(shù)學(xué)生都經(jīng)歷了先平均分再取的過程。筆者再次提問，你能直接拿出其中的 嗎？如果不能直接拿出來，可以先分一分再取一取。學(xué)生受到啟發(fā)，從中取出了4根。筆者進(jìn)一步追問，可以調(diào)換其中的1根嗎？學(xué)生回答可以，只要取出4根就可以。筆者最后追問，圖中涂色的部分能用 表示嗎？學(xué)生搶答可以，并且說出涂色的與未涂色的盡管位置不是整齊排放，但涂色的個數(shù)與未涂色的個數(shù)一樣多，也就是平均分成了相等的兩份。經(jīng)過這樣的教學(xué)，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解了平均分，剔除了形式上的干擾，突出了平均分的本質(zhì)。

在概念教學(xué)時，為了有利于學(xué)生形成正確的概念，我們應(yīng)給學(xué)生提供較為科學(xué)、合理而全面的學(xué)材，一方面是指素材內(nèi)容的齊全，但更重要的是呈現(xiàn)方式的多樣化，唯有這樣才能使概念意象豐盈起來，才能剔除非本質(zhì)的因素，從而更為準(zhǔn)確地理解與掌握所學(xué)概念，深刻地把握其本質(zhì)。